古典概型與幾何概型考點與題型歸納

1、古典概型與幾何概型考點與題型歸納一、根底知識1古典概型(1) 古典概型的特征： 有限性：在一次試驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的,即只有有限個不同的根本領(lǐng)件； 等可能性：每個根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性是相等的一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征一一有限性和等可能性(2) 古典概型的概率計算的根本步驟： 判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的,設(shè)出所求的事件為A； 分別計算根本領(lǐng)件的總數(shù)n和所求的事件 A所包含的根本領(lǐng)件個數(shù) m； 利用古典概型的概率公式P(A) = m,求出事件A的概率n(3) 頻率的計算公式與古典概型的概率計算公式的異同名稱不同點相同點頻率計算公式頻率計算中的m,

2、n均隨隨機試驗的變化而變化,但隨著 試驗次數(shù)的增多,它們的比值逐漸趨近于概率值都計算了一個比值m古典概型的概率計算公式半是一個定值,對同一個隨機事件而言,m, n都不會變化2幾何概型(1)概念：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型(2 )幾何概型的根本特點： 試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(根本領(lǐng)件)有無限多個； 每個根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等(3)計算公式：構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積P(A)=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積幾何概型應(yīng)用中的關(guān)注點1關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機事件對應(yīng)的幾何圖形,利用圖形的幾何度量來求

3、隨機事件的概率2確定根本領(lǐng)件時一定要選準(zhǔn)度量,注意根本領(lǐng)件的等可能性考點一古典概型典例精析12021全國卷n 我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界 領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜測是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和,如 30= 7 +30的概率是23在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于114A. 1222021武漢調(diào)研將一枚質(zhì)地均勻的骰子投擲兩次,得到的點數(shù)依次記為a和b,貝U方程ax2 + bx+ 1 = 0有實數(shù)解的概率是求概率31P= 45=亦.7A 361B.219 C C365D.花解析1不超過30的所有素數(shù)為 2,3,5,7,11,13,17,19,23,

4、29,共10個,隨機選取兩個不同的數(shù),共有C1o = 45種情況,而和為30的有7+ 23,11+ 19,13 + 17這3種情況,所以所_ *1 < a<6, a N ,所以a和b的投擲骰子兩次,所得的點數(shù)a和b滿足的關(guān)系為1 w b< 6, b N*,組合有36種.假設(shè)方程ax2 + bx+ 1 = 0有實數(shù)解,貝U = b2- 4a> 0,所以 b2> 4a.當(dāng)b = 1時,沒有a符合條件；當(dāng) b= 2時,a可取1;當(dāng)b = 3時,a可取1,2 ;當(dāng)b = 4 時,a 可取 1,2,3,4 ;當(dāng) b= 5 時,a 可取 1,2,3,4,5,6 ;當(dāng) b= 6

5、 時,a 可取 1,2,3,4,5,6.滿足條件的組合有19種,那么方程ax2 + bx+ 1 = 0有實數(shù)解的概率 P =36答案(1)C(2)C題組練習(xí)1. (2021 益陽、湘潭調(diào)研) a 2,0,1,2,3, b 3,5,那么函數(shù) f(x) = (a2- 2)ex+ b 為減函數(shù)的概率是()解析：選 C 假設(shè)函數(shù) f(x) = (a2 2)ex+ b 為減函數(shù),那么a2 2v 0,又 a 2,0,1,2,3,故只有a = 0, a = 1滿足題意,又b 3,5,所以函數(shù)f(x)= (a2 2)ex+ b為減函數(shù)的概率是XX2 52從分別標(biāo)有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每

6、次抽取1張,那么抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()54A吊B.957解析：選C由題意得,所求概率5X 4X 29X 859.3將A, B, C, D這4名同學(xué)從左至右隨機地排成一排,那么“A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)的概率是()B. 4C. 614.解析：選B A, B, C, D 4名同學(xué)排成一排有 A4= 24種排法當(dāng) A, C之間是B時, 有2X 2 = 4種排法,當(dāng)A, C之間是D時,有2種排法,所以所求概率考點二幾何概型類型(一)與長度有關(guān)的幾何概型例1 (2021濮陽模擬)在6,9內(nèi)任取一個實數(shù) m,設(shè)f(x) = x2 + mx + m,那么函數(shù)f(x)11的圖象

7、與x軸有公共點的概率等于()C3解析Tf(x)= x2 + mx + m的圖象與 x軸有公共點,二= m2+ 4m>0,m< 4或m> 0 , 在6,9內(nèi)取一個實數(shù)m,函數(shù)fx的圖象與x軸有公共點的概率P =一 4一 一 6 + 9一 01196=厲,應(yīng)選D.答案D類型二與面積有關(guān)的幾何概型例212021濰坊模擬如圖,六邊形 ABCDEF是一個正六邊形,假設(shè)在正六邊形內(nèi)任取一點,那么該點恰好在圖中陰影局部的概率是1A.1C.3d.32021洛陽聯(lián)考如圖,圓O:x2 + y2= n內(nèi)的正弦曲線y= sinx軸圍成的區(qū)域記為 M 圖中陰影局部A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是4A. nn4b

8、. n n,隨機往圓O內(nèi)投一個點A,2c.nn2D. nn解析1設(shè)正六邊形的中央為點O, BD 與 AC 交于點 G, BC= 1,貝U BG = CG , /BGC=120°在厶BCG中,由余弦定理得1= BG2+ BG2 2BG2cos 120° 得 BG =,所以 Szbcg=1X BG X BG X sin 120°=2X 于X 于X 于=諸,由于 sc1六邊形 ABCDEF = S BOC X 6 = ?X 1 X 1 X Sin 60 °x 6 =冷3,所以該點恰好在圖中陰影局部的概率6Szbcg2P= 1 = 3.S六邊形ABCDEF3由題

9、意知圓O的面積為 ,正弦曲線y= sin x, x n, n與x軸圍成的區(qū)域記為M,根據(jù)圖形的對稱性得區(qū)域M的面積S= 2 /n sin xdx= 2cos x0 = 4,由幾何概型的概率計算公式可得,隨機往圓O內(nèi)投一個點A,那么點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率P = 4j.n答案1C2B類型三與體積有關(guān)的幾何概型例3在四棱錐 P-ABCD中,PA丄底面 ABCD,底面ABCD是正方形,PA = AB =2,現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或外表任取一點2O,那么四棱錐 O -ABCD的體積不小于 3的概率為解析當(dāng)四棱錐O -ABCD的體積為彳時,設(shè)O到平面ABCD的距離1 2 1 為 h,那么 3X "X

10、h= 3,解得 h = 2.如下圖,在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD,且平1 面EFGH與底面ABCD的距離為PH 34'由于PA丄底面ABCD,且FA = 2,所以筋=2所以四棱錐O -ABCD的體積不小于3的概率V四棱錐P-EFGHP =V四棱錐P-ABCDPH 3PA3 3= 274 = 64.“亠 27答案64類型四與角度有關(guān)的幾何概型例4如圖,四邊形 ABCD為矩形,AB= .3, BC= 1 , 圓心,1為半徑作四分之一個圓弧卜.性,在/ DAB內(nèi)任作射線射線AP與線段BC有公共點的概率為以A為AP,貝 U>4fa解析連接AC,如圖,由于 tan

11、 /CAB = B|=¥,an所以/CAB= 6,滿足條件的事件是直線 AP 在/CAB內(nèi),且AP與AC相交時,即直線AP與線段BC有公共點,所以射線 AP與線段BC有公共點的概率 P =n/CAB 61n= 3.2/DAB 1答案3題組練習(xí)1. 2021豫東名校聯(lián)考一個多面體的直觀圖和三視圖如下圖,點AB的中點,一只蝴蝶在幾何體ADF -BCE內(nèi)自由飛翔,那么它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率為M又四棱錐P-ABCD與四棱錐P-EFGH相似,1 34a 1所以它飛入幾何體F-AMCD內(nèi)的概率 P= = 2.A.41解析：選D由題圖可知11 cVf-amcd = 3 X S 四邊形31

12、AMCD X DF = 4a1 3Vadf-bce = 2 a2. 在區(qū)間0, n上隨機取一個數(shù)x,那么事件"sin x+ cosxA2發(fā)生的概率為sin x+ cos x>解析：由題意可得sin x+ n >1, 即42故所求的概率為直=右.答案：73. 2021唐山模擬向圓x 22+ y.2= 4內(nèi)隨機投擲一點,那么該點落在x軸下方的概率為.解析：如圖,連接CA, CB,依題意,圓心C到x軸的距離為.3,所以點落在x軸下方的概率14 n1 2 1 弦AB的長為2.又圓的半徑為2,所以弓形 ADB的面積為2 x 3 nX 2 ?答案:課時跟蹤檢測1.2021衡水聯(lián)考20

13、21年8月1日是中國人民解放軍建軍90周年,中國人民銀行為此發(fā)行了以此為主題的金銀紀(jì)念幣如下圖是一枚 8克圓形金質(zhì)紀(jì)念幣,直徑22 mm,面額100元為了測算圖中軍旗局部的面積,現(xiàn)用1粒芝麻向硬幣內(nèi)投擲100次,其中恰有30次落在軍旗內(nèi),據(jù)A 363 nA 102mm2363 nB.2mm2C.726 n52mm2363 n 2D.20 mm2此可估計軍旗的面積大約是 解析：選A向硬幣內(nèi)投擲100次,恰有30次落在軍旗內(nèi),所以可估計軍旗的面積大約是S=需八>< 112=警mm2.2. 2021漳州一模甲、乙、丙、丁、戊 5名同學(xué)參加"?論語?知識大賽,決出第 1 名到第5

14、名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績,答復(fù)者對甲說“雖然你的成績比乙好,但是你倆都沒得到第一名；名的概率是對乙說“你當(dāng)然不會是最差的,從上述答復(fù)分析,丙是第一11巧C1C.41解析：選B 由于甲和乙都不可能是第一名,所以第一名只可能是丙、 丁或戊.又由于所有的限制條件對丙、丁或戊都沒有影響,所以這三個人獲得第一名是等可能事件,所以丙是1第一名的概率是3.3.2021鄭州模擬現(xiàn)有5人參加抽獎活動,每人依次從裝有5張獎票其中3張為中獎票的箱子中不放回地隨機抽取一張,直到第4人抽完結(jié)束的概率為3張中獎票都被抽出時活動結(jié)束,那么活動恰好在11B.5C3C.102d.5解析：選C 將5張獎票不放回地依次

15、取出共有A5= 120種不同的取法,假設(shè)活動恰好在第四次抽獎結(jié)束,那么前三次共抽到2張中獎票,第四次抽到最后一張中獎票,共有C2C23 363A3= 36種取法,所以 P= 120= 10.4.2021長沙模擬如圖是一個邊長為 8的正方形苗圃圖案,中間黑色 大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心,圓與圓之間是相切的,且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍假設(shè)在正方形圖案上隨機取一點,那么該點取自黑色區(qū)域的概率為nA.8C.1解析：選C 正方形的面積為82,正方形的內(nèi)切圓半徑為4,中間黑色大圓的半徑為2,黑色小圓的半徑為1,所以白色區(qū)域的面積為 nX42 nX 22 4X nX 12= 8 n所以黑色區(qū)域

16、的面積為82 8 n在正方形圖案上隨機取一點,那么該點取自黑色區(qū)域的概率為P=丄"=1 才.5.2021鄭州模擬圓C: X2 + y2= 1,直線I : y= kx+ 2,在1,1上隨機選取一個數(shù)k,那么事件“直線I與圓C相離發(fā)生的概率為A.1C.寧2 .3D.亍解析：選C圓C： X2 + y2= 1的圓心C(0,0),半徑r = 1,圓心到直線I: y= k(x+ 2)的距離d =k,故所求的概率,直線l與圓C相離時d,即簡 1解得k仝或6從19這9個自然數(shù)中任取7個不同的數(shù),那么這 7個數(shù)的平均數(shù)是5的概率為解析：從19這9個自然數(shù)中任取7個不同的數(shù)的取法共有C9= 36 種,從

17、(1,9) ,(2,8),4 13,7, 4,6中任選3組,有C4= 4種選法,故這7個數(shù)的平均數(shù)是5的概率P= 36=7.個三位數(shù)的百位,十位,個位上的數(shù)字依次為a, b, c,當(dāng)且僅當(dāng)有兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱這個三位數(shù)為“好數(shù)如213,134,假設(shè)a, b, c 1,2,3,4,且a, b,c互不相同,那么這個三位數(shù)為“好數(shù)的概率是 .解析：從1,2,3,4中任選3個互不相同的數(shù)并進行全排列,共組成A4= 24個三位數(shù),而“好數(shù)的三個位置上的數(shù)字為1,2,3或1,3,4,所以共組成2A3 = 12個“好數(shù),故所求概12P= 2412.8太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案,展現(xiàn)了

18、一種相互轉(zhuǎn)化,相對統(tǒng)一的形式美根據(jù)太極圖的構(gòu)圖方法, 在如下圖的平面直角坐. n標(biāo)系中,圓0被函數(shù)y= 3sin§x的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案,其中小圓的半徑均為1,現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機取一點,那么此點取自陰影局部的概率為.解析：根據(jù)題意,大圓的直徑為函數(shù)y= Bsin的最小正周期 T,又T= 字12,所以大圓的面積 S= nQ 2= 36 n 一個小圓的面積 S' = n2=1 n,故在大圓內(nèi)隨機取一點,此點取自陰影局部的概率2S'P =飛2 n = 136n=1答案：189. 2021天津高考某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用

19、分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻愛心活動.1應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用 A, B, C, D, E, F, G表示,現(xiàn)從中隨機抽取 2名同學(xué)承 擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作 試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； 設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級,求事件 M發(fā)生的概率解：1由于甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3： 2 ： 2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),所以應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2 人,2人從抽取的7名同學(xué)中隨機抽取 2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為A, B, A, C , A,D , A, E

20、, A, F, A, G , B , C , B , D , B , E , B , F , B , G , C , D, C , E, C , F, C , G, D , E, D , F , D , G , E , F , E , G , F , G,共 21種.由,不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來自甲年級的是 A, B, C,來自乙年級的是 D , E, 來自丙年級的是 F, G,那么從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的 2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共 5 種.所以事件M發(fā)生的概率P(M = 21.10. 在某大型活動中,甲、乙等五名志愿者被隨機地分到A

21、,B,C,D四個不同的崗位效勞,每個崗位至少有一名志愿者(1) 求甲、乙兩人同時參加 A崗位效勞的概率；(2) 求甲、乙兩人不在同一個崗位效勞的概率；(3) 求五名志愿者中僅有一人參加A崗位效勞的概率.A 31解：(1)記“甲、乙兩人同時參加 A崗位效勞為事件Ea,那么P(Ea) =40,1即甲、乙兩人同時參加 A崗位效勞的概率是40.記“甲、乙兩人同時參加同一崗位效勞為事件E,那么P(E)=鈴=秸,所以甲、9乙兩人不在同一崗位效勞的概率是P( E ) = 1 P(E)= 10.Ca3 1(3)由于有兩人同時參加 A崗位效勞的概率 P2= C2A4 = 4,所以僅有一人參加 A崗位服3務(wù)的概率

22、P1= 1 P2=：.41.(2021太原聯(lián)考)甲、乙二人約定 7: 10在某處會面,甲在 7: 007: 20內(nèi)某一時刻 隨機到達,乙在7: 057:20內(nèi)某一時刻隨機到達,那么甲至少需等待乙 5分鐘的概率是()A.8解析:選C 建立平面直角坐標(biāo)系如圖,x,y分別表示甲、乙二人到達的時刻,那么坐標(biāo)系中每個點(x,y)可對應(yīng)甲、乙二人到達時刻的可能性,yx>5,那么甲至少等待乙 5分鐘應(yīng)滿足的條件是0< xw 20,其構(gòu)成的區(qū)域為5 w yw 20,12X 15X 153如圖陰影局部,那么所求的概率P = 20X 15 = 8.2.2021開封模擬如圖,某建筑工地搭建的腳手架局部類

23、似于一個2X 2 X 3的長方體框架,一個建筑工人欲從 最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為A處沿腳手架攀登至 B處,C.74D.4解析：選B 根據(jù)題意,最近路線就是不能走回頭路,不能走重復(fù)的路,一共要走 次向上,2次向右,2次向前,共7次,.最近的行走路線共有 A7= 5 040種.不能連續(xù)向上,先把不向上的次數(shù)排列起來,也就是2次向右和2次向前全排列為 A4.接下來,就是把3次向上插到4次不向上之間的空當(dāng)中,5個位置排3個元素,也就是 A5,那么最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的路線共有a4a5= 1 440種,其最近的行走路線中不連續(xù)向上1 4402攀登的概率p=5"040=

24、7.應(yīng)選b.3等腰直角厶 ABC中,/ C= 90°在/ CAB內(nèi)作射線 AM,那么使/ CAM V 30°的概率為解析：如圖,在/ CAB內(nèi)作射線AM0,使/CAM0= 30°于是有/CAM 030 230°)=CAB=40= 3.答案:4P是厶ABC所在平面內(nèi)一點,且"PB + "PC + 2"PA = 0,現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在 ABC 內(nèi),那么黃豆落在 PBC內(nèi)的概率是1B.31A.41C.2解析：選C 以PB, PC為鄰邊作平行四邊形PBDC,連接PD交BC于點0,那么百B +"Pc =PD .B B B/

25、 PB + PC + 2 PA = 0,> > > > > PB + PC =- 2 PA,即 PD =- 2 PA ,由此可得,P是BC邊上的中線 AO的中點,點P到BC的距離等于點 A到BC的距離1 1S/PBC的5,：Szpbc=3S從BC,.將一粒黃豆隨機撒在 ABC內(nèi),黃豆落在 PBC內(nèi)的概率P =-2 2S/ABC12.5.點集 Q= (x, y)|0wxw e, 0< yw e, A= (x, y)|y> ex, (x, y) Q,在點集 Q 中任取 一個元素a,貝U a A的概率為()1B.e2e 1c.-ee2 1 Dh解析：選B 如圖,根據(jù)題意可知Q表示的平面區(qū)域為正方形BCDO ,面積為e2, A表示的區(qū)域為圖中陰影局部,面積為/ 1 (e ex)dx1=(ex ex)|0 = (e e) ( 1) = 1,根據(jù)幾何概型可知a A的概率P= 2.na