中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：勾股定理

1、中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：勾股定理一. 選擇題（共7小題）1. （濱州）在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可.【解答】解：在直角三角形中，勾為3,股為4,弦為 &3? + 4故選：A.2. （棗莊）如圖，在 RtAABC 4i/ZACB=90°/CD丄AB,垂足為 D,AF 平分ZCAB,交 CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.若AC=3,AB=5/則CE的長(zhǎng)為（）【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出ZCAF+ZCFA=90：ZFAD+ZAED=90；根據(jù) 角平分線和對(duì)頂角相等得出ZCEF=ZCFE,即可得出EC=

2、FC/再利用相似三角形的判 定與性質(zhì)得出答案.【解答】解：過點(diǎn)F作FG丄AB于點(diǎn)G,/ ZACB=90°,CD±AB, ZCDA=90°, ZCAF+ZCFA=90°/ZFAD+ZAED=90°/AF 平分 ZCAB,.ZCAF=ZFAD,ZCFA=ZAED=ZCEF/ACE=CF/VAF 平分 ZCAB, ZACF= ZAGF=90°z Z B= Z B, z FG B= z ACB=90°,A ABFGABAC,.BF_FG歹麗V AC=3/AB=5/ ZACB=90°/ BC=4,.4-FC FGVFC=FG

3、,.4-FC FC解得：FC=|,即CE的長(zhǎng)為尋.故選:A.3（瀘州）趙爽弦圖巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的 驕傲.如圖所示的"趙爽弦圖"是山四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的 一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為b.若ab=8,大 正方形的面積為25,則小正方形的邊長(zhǎng)為（ ）A. 9 B6 C4 D3【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：ab,根據(jù)勾股定理以及題目給 出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng).【解答】解：山題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b,°4x£ab+ (a - b) 2=25,/.

4、 (a - b) 2=25 - 16=9, a - b=3,故選：D.4. （溫州）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形） 分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式.后人借助這種分 割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形山兩個(gè)這樣的圖形拼成，若 a=3,b=4,則該矩形的而積為（）C.罟D.詈【分析】欲求矩形的面積，則求出小正方形的邊長(zhǎng)即可U此可設(shè)小正方形的邊長(zhǎng) 為x,在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值, 進(jìn)而可求出該矩形的面積.【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為X,a=3,b=4,AAB=3+4=7Z在 RtAABC

5、 中,AC2+BC2=AB2,即(3+x) 2+ (x+4) 2=72,整理得y+7x12=0,解得x二叵或x二叵(舍去)，該矩形的面積=(丄尹+3)(蘭護(hù)4) =24, 故選：B.5. (婁底)如圖川I四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169川、正方 形的面積為49,則sinacosa=()c D 13 J 13 °13【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)，再利用勾股定理列式求出AC,然后 根據(jù)正弦和余弦的定義即可求sina和cosa的值，進(jìn)而可求出sinacosa的值.【解答】解：小正方形面積為49,大正方形面積為169,小正方形的邊長(zhǎng)是7,大正方形的邊長(zhǎng)是13,在

6、RtAABC 中,AC2+BC2二AB£即 AC2+ (7+AC) 2=13勺整理得,AC2+7AC - 60=0,解得 A05,AC二-12 (舍去)，: BC 認(rèn) b'-AcS,Asina：cosa=BC 12AB 1351312_ J_13一 ' 13Asina -cosa-6. （長(zhǎng)沙）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作數(shù)書九章里記載有這樣一道 題：“問有沙田一塊，有三斜,其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田兒 何？"這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里,12里,13里,問這塊 沙田面積有多大？題中“里"是我國(guó)市制長(zhǎng)度單

7、位J里=500米，則該沙田的面積為（ ）A. 7.5平方千米B. 15平方千米C. 75平方千米D. 750平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案.【解答】解： 52+122=132,三條邊長(zhǎng)分別為5里,12里,13里,構(gòu)成了直角三角形，這塊沙田面積為：寺X5X500X12X500=7500000 （平方米）=7.5 （平方千米）. 故選：A.7. （東營(yíng)）如圖所示，圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3Z現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）BCA. 3V1 + TT B. 3/2C.訓(xùn)些兀上 D. 3心 1+ 兀 $2【

8、分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短,然后利 用勾股定理即可求解.【解答】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為線段AC 的長(zhǎng).在 RtAADC 中,ZADC=90o,CD=AB=3zAD 為底面半圓弧長(zhǎng)zAD=1.5n,故選：C.二. 填空題（共8小題）8.（吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,A （4,0） ,B （0,3）,以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為 半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C坐標(biāo)為 （1,0）.【分析】求出OA、OB,根據(jù)勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC長(zhǎng)即可.【解答】解：點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（4,0） ,（0,3）,AOA=

9、4,OB=3,在RtAAOB中川I勾股定理得：AB=a/32 + 42=5,AAC=AB=5,OC=5 - 4=1,點(diǎn)c的坐標(biāo)為（-1,0）,故答案為:（-1,0）,9.（玉林）如圖，在四邊形ABCD中，/B= ZD=90°,ZA=60°,AB=4,則AD的取值范 圍是 2<AD<8【分析】如圖'延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于巳作BF丄AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判斷；【解答】解：如圖涎長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于E,作BF丄AD于F.E在 RtAABE 中,VZE=30°,AB=4,AAE=2AB=8,在 RtAABF 中/AF=-|-AB=

10、2/A AD的取值范圍為2<AD<8Z故答案為2<AD<8.10（襄陽）已知CD是ZXABC的邊AB上的內(nèi)若CD=V3/AD=1,AB=2AC,則BC的 長(zhǎng)為 2島或2肩 .【分析】分兩種情況： 當(dāng)AABC是銳角三角形，如圖1, 當(dāng)AABC是鈍角三角形，如圖2,分別根據(jù)勾股定理計(jì)算AC和BC即可.【解答】解：分兩種情況：當(dāng)AABC是銳角三角形，如圖1,VCD 丄 AB,AZCDA=90°/VCD=VAD=1?/. AC=2,VAB=2AC,AB 二 4, BD=4 - 1=3, BC=7C D2 +Bb M32 + (V3)2=2：當(dāng)AABC是鈍角三角形，如圖

11、2,同理得：AC=2,AB=4, BC=7cD2+BbM (a/3)綜上所述,BC的長(zhǎng)為或2街.故答案為：2仍或2聽(鹽城)如圖,在直角AABC中/ZC=90°zAC=6,BC=8/P. Q分別為邊BC、AB ± 的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若要使AAPQ是等腰三角形且ABPQ是直角三角形，則AQ= 乎或 訐【分析】分兩種情形分別求解：如圖1中，當(dāng)AQ二PQZQPB=90。時(shí),當(dāng)AQ二PQZ PQB=90° 時(shí)；【解答】解：如圖1中，當(dāng)AQ=PQZQPB=90。時(shí),設(shè)AQ=PQ=x,TPQAC,A ABPQABCA, BQ PQ*BA_ACZ.10-x x10肯1/14占/. A

12、Q=154當(dāng) AQ二PQ,ZPQB二90°時(shí)，設(shè) AQ二PQ二y.V AbqpAbca, PQ BQ AC_BC/ y_0"V綜上所述，滿足條件的AQ的值為乎或罟.12.（黔南州）如圖，已知在AABC中,BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點(diǎn)F,且 ZBAC=45°,BD=6,CD=4,則 AABC 的面積為 60【分析】首先證明厶AEFABEC,推出AF二BC“0,設(shè)DF二xillAADCABDF,推出 船器,構(gòu)建方程求出X即可解決問題；Uu Ur【解答】解：VAD丄BC，BE丄ACfZAEF二ZBEC二ZBDF二90：VZBAC=45°,AAE=E

13、B,/ Z EAF+ ZC=90°, ZCBE+Z C=90oz ZEAF=ZCBE,A AAEFABEC,AAF=BC=10/設(shè) DF=x.V AADCABDF,.10+x 6整理得x2+10x24=0, 解得x=2或12 （舍棄）'AAD=AF+DF=12/S. .ABC 寺 BCAD#X 10X12=60. 故答案為60.13-（濱州）如圖,在矩形ABCD中,AB=2，BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，若AE=VK【分析】取AB的中點(diǎn)連接ME,在AD上截取ND二DF,設(shè)DF=DN=x,則NF二屆 再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明 AME-AFNA,利用相似三角形的性質(zhì)

14、：對(duì)應(yīng) 邊的比值相等可求出x的值,在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長(zhǎng).【解答】解：取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,四邊形ABCD是矩形，/. Z D= Z BAD= Z B=90°,AD=BC=4,/. NF=V2x,AN=4 - x,VAB=2,AAM=BM=1/VAE=V5,AB=2,ABE=1,mebM+beZVT ZEAF=45°,AZMAE+ZNAF=45°,VZMAE+ZAEM=45°, .ZMEA=ZNAF,A AAMEAFNA,.AN JE<<FN"AN, 1 _二衛(wèi)

15、血 x 4-*解得：x=|, af=VaD2+DF2=4 -14.（湘潭）九章算術(shù)是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在"勾股章中記載 了一道“折竹抵地問題："今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高兒何？ 翻 譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示,AABC中zZACB=90°,AC+AB=10,BC=3z求AC的長(zhǎng)，如果 設(shè)AC二X,則可列方程為 x2+32二（10x） 2【分析】設(shè)AC=x,可知AB=10 - X，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.【解答】解：設(shè)AC=x,VAC+AB=10,'AB二 10 - x.在 RtAABC 中,ZACB=90°,AAC2

16、+BC2=AB2,BP x2+32= (10 - x) 2. 故答案為:x2+32= (10-x) 2.15.（黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長(zhǎng)為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5cm 的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn) A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為二2_cm （杯壁厚度不計(jì)）.【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知NB的長(zhǎng)度即為所求.【解答】解：如圖:將杯子側(cè)面展開作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A； 連接AZB,則/VB即為最短距離丙1=20 （cm）.故答案為20三. 解答題（共2小題）16.（杭州）如

17、圖，在ZXABC中,ZACB=90。，以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫弧,交線段 AB于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心,AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段AC于點(diǎn)E,連結(jié)CD.（1）若ZA=28°?求ZACD的度數(shù).（2）設(shè) BC=a,AC=b.線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax - b2=0的一個(gè)根嗎？說明理由.若AMEC,求壬的值.B【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ZB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出ZBCD, 計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AD,利用求根公式解方程，比較即可；根據(jù)勾股定理列出算式，計(jì)算即可.【解答】解：（1） V ZACB=90°/ZA=28°zZB=62。，T BD=

18、BC,A ZBCD=ZBDC=59°, ZACD=90° ZBCD=31°；（2）山勾股定理W,AB=/aC2+BC2=7a2 + b2/ AD=J/ + b ? - a,解方程 x2+2ax - b2=0 得,x=.冬 W，Y °a2+t2 - a,2線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2axb2=0的一個(gè)根； VAD=AE,：ae=ec寺由勾股定理得a2+b2= （|b+a） 2, 整理得,學(xué)今.17.（臺(tái)灣）嘉嘉參加機(jī)器人設(shè)計(jì)活動(dòng)，需操控機(jī)器人在5X5的方格棋盤上從A 點(diǎn)行走至B點(diǎn)，且每個(gè)小方格皆為正方形，主辦單位規(guī)定了三條行走路徑R,R2,R3,其行經(jīng)位置如圖與表所示:路徑編號(hào)圖例行徑位置第一條路徑RiATCTD