卡爾曼濾波簡介及其算法實現(xiàn)代碼

1、卡爾曼濾波簡介及其算法實現(xiàn)代碼卡爾曼濾波算法實現(xiàn)代碼（C, C+分別實現(xiàn)）卡爾曼濾波器簡介近來發(fā)現(xiàn)有些問題很多人都很感興趣。所以在這里希望能盡自己能力跟大家討論一些力所能及的算法?，F(xiàn)在先討論一下卡爾曼濾波器，如果時間和能力允許，我還希望能夠?qū)憣懫渌乃惴?，例如遺傳算法，傅立葉變換，數(shù)字濾波，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，圖像處理等等。因為這里不能寫復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式，所以也只能形象的描述。希望如果哪位是這方面的專家，歡迎討論更正。卡爾曼濾波器-Kalman Filter1.什么是卡爾曼濾波器（What is the Kalman Filter? ）在學(xué)習(xí)卡爾曼濾波器之前，首先看看為什么叫“卡爾曼”。跟其他著名的理論（

2、例如傅立葉變換，泰勒級數(shù)等等）一樣，卡爾曼也是一個人的名字，而跟他們不同的是，他是個現(xiàn)代人！卡爾曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利數(shù)學(xué)家，1930年出生于匈牙利首都布達(dá)佩斯。1953,1954年于麻省理工學(xué)院分別獲得電機工程學(xué)士及碩士學(xué)位。1957年于哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位。我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和1960年發(fā)表的論文A NewApproach to Linear Filtering and Prediction Problems （線性濾波與預(yù)測問題的新方法）。如果對這編論文有興趣，可以到這里的地址下載：/

3、welch/media/pdf/Kalman1960.pdf。簡單來說，卡爾曼濾波器是一個 “optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對于解決很大部分的問題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過30年，包括機器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來更被應(yīng)用于計算機圖像處理，例如頭臉識別，圖像分割，圖像邊緣檢測等等。2.卡爾曼濾波器的介紹（Introduction to the Kalman Filter）為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這里會應(yīng)用形象的描述方

4、法來講解，而不是像大多數(shù)參考書那樣羅列一大堆的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)符號。但是，他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合現(xiàn)代的計算機，其實卡爾曼的程序相當(dāng)?shù)暮唵危灰憷斫饬怂哪?條公式。在介紹他的5條公式之前，先讓我們來根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設(shè)我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度(假設(shè)我們用一分鐘來做時間單位)。假設(shè)你對你的經(jīng)驗不是100%勺相信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲(WhiteGaussian Noise)，也就是這些偏差跟前后時間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分配(GaussianDis

5、tribution)。另外，我們在房間里放一個溫度計，但是這個溫度計也不準(zhǔn)確的，測量值會比 實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了，現(xiàn)在對于某一分鐘我們有兩個有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗的預(yù)測值(系統(tǒng)的預(yù)測值)和溫度計的值(測量值)。下面我們要用這兩個值結(jié)合他們各自的噪聲來估算出房間的實際 溫度值。假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時刻的溫度值，來預(yù)測k時刻的溫度。因為你相信溫度是恒定的，所以你會得到k時刻的溫度預(yù)測值是跟k-1時刻一樣的，假設(shè)是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度(5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3,你對自己預(yù)測的

6、不確定度是4度，他們平方相加再開方，就是5)。然后，你從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的covariance來判斷。因為KgA2=5A2/(5A2+4A2)，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時刻的實際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度?？梢钥闯觯驗闇囟扔嫷腸ovariance比較小(比較相信溫度計)，所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是

7、要進入k+1時刻，進行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對了，在進入k+1時刻之前，我們還要算出k時刻那個最優(yōu)值(24.56度)的偏差。算法如下：(1-阿)*5人2)人0.5=2.35。這里的5就是上面的k時刻你預(yù)測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入k+1時刻以后k時刻估算出的 最優(yōu)溫度值的偏差(對應(yīng)于上面的3)。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運行的很快，而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的Kg,就是卡爾曼增益(Kalman Gain)。他可以隨不同的時刻而改變他自己的值，是不是很神奇

8、！下面就要言歸正傳，討論真正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。3.卡爾曼濾波器算法(The Kalman Filter Algorithm )在這一部分，我們就來描述源于Dr Kalman的卡爾曼濾波器。下面的描述，會涉及一些基本的概念知識，包括概率(Probability),隨即變量(Randomvariable),高斯或正態(tài)分配(Gaussian Distribution)還有State-space Model等等。但對于卡爾曼濾波器的詳細(xì)證明，這里不能一一 描述。首先，我們先要引入一個離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個線性隨機微分方程(Stochastic Difference equation) 來

9、才苗述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)Linear再加上系統(tǒng)的測量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上兩式子中，X(k)是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時刻對系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃?。Z(k)是k時刻的測量值，H是測量系統(tǒng)的參數(shù)，對于多測量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過程和測量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(White GaussianNoise)，他們的covariance分別是Q R(這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化)。對于滿足上面的條件(線性隨機微分系統(tǒng)，過程和測量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器

10、。下面我們來用他們結(jié)合他們的covariances來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出(類似上一節(jié)那個溫度的例子)。首先我們要利用系統(tǒng)的過程模型，來預(yù)測下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k,根據(jù)系統(tǒng)的模型，可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預(yù)測出現(xiàn)在狀態(tài)：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ,. (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態(tài)預(yù)測的結(jié)果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了，可是，對應(yīng)于X(k|k-1)的covariance還沒更新。我們用P表示covariance :P(k|k

11、-1)=A P(k-1|k-1) A +Q , (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對應(yīng)的covariance , P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對應(yīng)的covariance , A表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過程的covariance。式子1, 2就是卡爾曼濾波器5個公式當(dāng)中的前兩個，也就是對系統(tǒng)的預(yù)測?，F(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測結(jié)果，然后我們再收集現(xiàn)在狀態(tài)的測量值。結(jié)合預(yù)測值和測量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k)的最優(yōu)化估算值X(k|k):X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1) , (3)其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Ga

12、in):Kg(k)= P(k|k- 1) H / (H P(k|k -1) H + R) , (4)到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k) o但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運行下去直到系統(tǒng)過程結(jié)束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k)的covariance :P(k|k)=(I-Kg(k) H ) P(k|k- 1) , (5)其中I為1的矩陣，對于單模型單測量，I=1。當(dāng)系統(tǒng)進入k+1狀態(tài)時，P(k|k)就是式子 的P(k-1|k-1)。這樣，算法就可以自回歸的運算下去?？柭鼮V波器的原理基本描述了，式子1, 2, 3, 4和5就是他的5個基本公式。根據(jù)這5個公 式，可以很容

13、易的實現(xiàn)計算機的程序。下面，我會用程序舉一個實際運行的例子。4.簡單例子(A Simple Example )這里我們結(jié)合第二第三節(jié)，舉一個非常簡單的例子來說明卡爾曼濾波器的工作過程 是進一步描述第二節(jié)的例子，而且還會配以程序模擬結(jié)果。根據(jù)第二節(jié)的描述，把房間看成一個系統(tǒng)，然后對這個系統(tǒng)建模。當(dāng)然，我們見的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個房間的溫度是跟前一時刻的溫度相同的，所以A=1o沒有控制量，所舉的例子所以U(k)=0。因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k- 1) ,. (6)式子(2)可以改成：P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q , (7)因為測量的值是溫度計的，跟

14、溫度直接對應(yīng)，所以H=1。式子3, 4 , 5可以改成以下：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1) , (8)Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) , (9)P(k|k)=(1-Kg(k) ) P(k|k- 1) , (10)現(xiàn)在我們模擬一組測量值作為輸入。假設(shè)房間的真實溫度為25度，我模擬了200個測量值，這 些測量值的平均值為25度，但是加入了標(biāo)準(zhǔn)偏差為幾度的高斯白噪聲(在圖中為藍(lán)線)。為了令卡爾曼濾波器開始工作，我們需要告訴卡爾曼兩個零時刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他們的值不用太在意，隨便給一個就可以了，因為隨

15、著卡爾曼的工作，X會逐漸的收斂。但是對于P,一般不要取0,因為這樣可能會令卡爾曼完全相信你給定的X(0|0)是系統(tǒng)最優(yōu)的，從而使算法不能收斂。我選了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。該系統(tǒng)的真實溫度為25度，圖中用黑線表示。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸出的最優(yōu)化結(jié)果(該結(jié)果在算法中設(shè)置了Q=1e-6 , R=1e-1)。最佳線性濾波理論起源于40年代美國科學(xué)家Wiener和前蘇聯(lián)科學(xué)家K oJI Mo r o等次曲研 究工作，后人統(tǒng)稱為維納濾波理論。從理論上說，維納濾波的最大缺點是必須用到無限過去的數(shù)據(jù)，不適用于實時處理。為了克服這一缺點，60年代Kalman把狀態(tài)空間模型引入濾波理論，并導(dǎo)

16、出了一套遞推估計算法，后人稱之為卡爾曼濾波理論。卡爾曼濾波是以最小均方誤差為估計的最佳準(zhǔn)則，來尋求一套遞推估計的算法，其基本思想是：采用信號與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時刻地估計值和現(xiàn)時刻的觀測值來更新對狀態(tài)變量的估計，求出現(xiàn)時刻的估計值。它適合于實時處理和計算機運算。現(xiàn)設(shè)線性時變系統(tǒng)的離散狀態(tài)防城和觀測方程為：X(k) = F(k,k- 1) - X(k-1)+T(k,k- 1) - U(k-1)Y(k) = H(k) - X(k)+N(k)其中X(k)和Y(k)分別是k時刻的狀態(tài)矢量和觀測矢量F(k,k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣U(k)為k時刻動態(tài)噪聲T(k,k-1)為系統(tǒng)控制矩陣H(k)為k

17、時刻觀測矩陣N(k)為k時刻觀測噪聲則卡爾曼濾波的算法流程為：預(yù)估計X(k)A= F(k,k- 1) - X(k-1)1.計算預(yù)估計協(xié)方差矩陣C(k)A=F(k,k- 1) x C(k) x F(k,k -1)+T(k,k-1) x Q(k) x T(k,k -1)Q(k) = U(k) x U(k)2.計算卡爾曼增益矩陣K(k) = C(k)A x H(k) x H(k) x C(k)A x H(k)+R(k)A(-1)R(k) = N(k) x N(k)3.更新估計X(k)=X(k)A+K(k) x Y(k) - H(k) x X(k)A4.計算更新后估計協(xié)防差矩陣C(k) =I- K(k

18、) x H(k) x C(k)A x I - K(k) x H(k)+K(k) x R(k) x K(k)5.X(k+1) = X(k)C(k+1) = C(k)重復(fù)以上步驟Kalman Filter科技2010-05-29 21:13:49閱讀90評論0字號：大中小 訂閱Kalman Filter是一個高效的遞歸濾波器，它可以實現(xiàn)從一系列的噪聲測量中，估 計動態(tài)系 統(tǒng)的狀態(tài)。廣泛應(yīng)用于包含Radar、計算機視覺在內(nèi)的等工程應(yīng)用領(lǐng)域，在控制理論和控制系統(tǒng)工程中也是一個非常重要的課題。連同線性均方規(guī)劃，卡爾曼濾波器可以用于解決LQG(Linear-quadratic-Gaussian contr

19、ol)問題?？柭鼮V波器，線性均方歸化及線性均方高斯 控制器，是大部分控制領(lǐng)域基礎(chǔ)難題的主要解決途徑。 目錄1應(yīng)用實例2命名和發(fā)展歷史3基本動態(tài)系統(tǒng)模型4卡爾曼濾波器4.1預(yù)測4.2更新4.3不變量5實例6推導(dǎo)6.1后驗估計協(xié)方差矩陣推導(dǎo)6.2Kalman增益推導(dǎo)6.3后驗誤差協(xié)方差矩陣簡化7信息濾波8非線性濾波器8.1擴展Kalman濾波8.2 Unscented Kalman filter9 Kalman-Bucy濾波10應(yīng)用11參見12參考文獻13外部鏈接1應(yīng)用實例一個簡單的應(yīng)用是估計物體的位置和速度；簡要描述如下：假設(shè)我們可以獲取一個物體的包含噪聲的一系列位置觀測數(shù)據(jù)，我們可以獲得此物

20、體的精確速度和位置連續(xù)更新信息。例如，對于雷達(dá)來說，我們關(guān)心的是跟蹤目標(biāo)，而目標(biāo)的位置，速度，加速度的測量值是時 刻含有誤差的，卡爾曼濾波器利用目標(biāo)的動態(tài)信息，去掉噪聲影響，獲取目標(biāo)此刻好的位置估計(濾波)，將來位置估計(預(yù)測)，也可以是過去位置估計的(插值或平滑)2命名和發(fā)展歷史這個濾波器以它的發(fā)明者Rudolf.E.Kalman而命名，但是在Kanlman之前，Thorvald NicolaiThiele和Peter Swerling已經(jīng)提出了類似的算法。Stanley Schmidt首次實現(xiàn)了Kalman濾波 器。在一次對NASA AmesResearch Center訪問中，卡爾曼發(fā)現(xiàn)

21、他的方法對于解決阿波羅計 劃的軌跡預(yù)測很有用，后來阿波羅飛船導(dǎo)航電腦就使用了這種濾波器。這個濾波器可以追溯到Swerling(1958),Kalman(1960),Kalman和Bucy(1961)發(fā)表的論文。這個濾波器有時叫做Stratonovich-Kalman-Bucy濾波器。因為更為一般的非線性濾波器最初由Ruslan L.Stratonovich發(fā)明，而Stratonovich-Kalman-Bucy濾波器只是非線性濾波器的一個 特例。事實上，1960年夏季，Kalman和Stratonovich在一個Moscow召開的會議中相遇，而作為非線性特例的線性濾波方程，早已經(jīng)由Strato

22、novich在此以前發(fā)表了。在控制領(lǐng)域，Kalman濾波被稱為線性二次型估計，目前，卡爾曼濾波已經(jīng)有很多不同的實現(xiàn)，有施密特擴展濾波器、信息濾波器以及一系列的Bierman和Thornton發(fā)明的平方根濾波器等，而卡爾曼最初提出的形式現(xiàn)在稱為簡單卡爾曼濾波器。也許最常見的卡爾曼濾波器應(yīng)用是鎖相環(huán)，它在收音機、計算機和幾乎全部視頻或通訊設(shè)備中廣泛存在。 3基本動態(tài)系統(tǒng)模型Kalman濾波基于時域描述的線性動態(tài)系統(tǒng)，它的模型是Markov Chain ,而Markov Chain建立在一個被高斯噪聲干擾的線性算子之上。系統(tǒng)的狀態(tài)可以用一個元素為實數(shù)的向量表示。隨著離散時間的增加，這個線性算子就會作

23、用到當(dāng)前狀態(tài)之上，產(chǎn)生一個新的狀態(tài)， 并且會帶入一定的噪聲，同時一些已知的控制信息也會加入。同時另外一個受噪聲干擾的線性算子將產(chǎn)生這些隱含狀態(tài)的可見輸出。Kalman濾波可以被看作為類似隱馬爾科夫模型，它們的顯著不同點在于：隱狀態(tài)變量的取值空間是一個連續(xù)的空間，而離散狀態(tài)空間則不是；另為，隱馬爾科夫模型可以描述下一個狀態(tài)的一個任意分布，這也與應(yīng)用于Kalman濾波器中的高 斯噪聲模型相反。Kalman濾波器方程和隱馬爾科夫方程之間有很大的二重性，關(guān)于Kalman濾波方程和隱馬爾科夫方程之間二重性參看Roweis and Ghahramani（1999）4。為了從一系列的噪聲觀測中，應(yīng)用Kalm

24、an濾波估計觀測過程的內(nèi)部狀態(tài)。我們必須把這個過程在Kalman濾波器的框架下建立模型，這就意味著，對于每一步k我們要定義矩陣 &、巨、怎、& 、坑 如下：Kalman Filter假設(shè)k時刻的真實狀態(tài)是從k-1時刻演化而來，符合下式X疽為&-1 +B講氐+%這里片1是作用在前一狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型（狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣）昆是作用在控制向量上的控制輸入模型（輸入輸出矩陣）叫是過程噪聲，假設(shè)是均值為0的白噪聲，協(xié)方差為0則：堆項。0）在k時刻，假設(shè)真實狀態(tài) 歡的觀測，瓦滿足如下公式：理=H/瓦+VJC其中是觀測模型（觀測矩陣），它把真實狀態(tài)映射到觀測空間，*是觀測噪聲，假設(shè)它是均值

25、是0,方差是&的高斯白噪聲：*項（。局）Kalman Filter基本動態(tài)系統(tǒng)模型如圖（1）所示，圓圈代表向量，方塊代表矩陣，星號代表高斯 噪聲，其協(xié)方差在右下方標(biāo)出。初始狀態(tài)以及每一時刻的噪聲向量x0, w1, ., wk, v1 . vk都為認(rèn)為是互相獨立的。實際中，真實世界中動態(tài)系統(tǒng)并不是嚴(yán)格的符合此模型。但是Kalman模型是設(shè)計在噪聲過程工作的，一個近似的符合已經(jīng)可以使這個濾波器非常有用了，更多復(fù)雜模型關(guān)于Kalman Filter模型的變種，將在下述中討論：inir tne t bufL圖(1)4卡爾曼濾波器Kalman Filter是一個遞歸的估計，即只要獲知上一時刻的狀

26、態(tài)估計和當(dāng)前狀態(tài)的觀測就可以計算出當(dāng)前狀態(tài)的估計，不同于其他的估計技術(shù)，Kalman濾波器不需要觀測或/和估計的 歷史記錄，KalmanFilter是一個純粹的時域濾波器，而不像低通濾波器等頻域濾波器那樣， 需要在頻域中設(shè)計，然后轉(zhuǎn)換到時域中應(yīng)用。下面，S 代表已知從m到n-1包括m時刻的觀測在n時刻的估計值卡爾曼濾波器的狀態(tài)由以下兩個變量表示：知月已知k時刻以前時刻觀測值，k時刻的狀態(tài)估計值烏*誤差協(xié)方差矩陣，度量狀態(tài)估計的精度程度Kalman濾波包括兩個階段：預(yù)測和更新；在估計階段，濾波器應(yīng)用上一狀態(tài)的估計做出對 當(dāng)前狀態(tài)的估計。在更新階段，濾波器利用在當(dāng)前狀態(tài)的觀測值優(yōu)化預(yù)測階段的預(yù)測值

27、，以獲的一個更精確的當(dāng)前狀態(tài)的估計。4.1預(yù)測狀態(tài)預(yù)測：一,.估計協(xié)方差預(yù)測：4.2更新新息或測量余量新息協(xié)方差 .二-二 yKalman增益狀態(tài)估計更新狀態(tài)協(xié)方差更新使用上述公式計算耳僅在最優(yōu)卡爾曼增益的時候有效。使用其他增益公式要復(fù)雜一些，看見推導(dǎo)4.3不變量如果模型準(zhǔn)確，工01。和值將準(zhǔn)確反映最初狀態(tài)的分布，那么下面所有不變量保持不變,所有估計的誤差均值為0:十.?。哼@里即日表示己的期望，而協(xié)方差矩陣則反映的估計的協(xié)方差一 5實例考慮在一個無摩擦、 無限長的直軌道上的一輛小車，它的初始位置在0點，但是它會隨機的受到?jīng)_擊作用，我們每隔測量一次小車的位置，但是這些測量數(shù)據(jù)不是很精確。我們想建

28、立一個關(guān)于小車位置和速度的模型，這里我們描述如何建立這個模型，以及從這個模型出發(fā)如何推導(dǎo)出Kalman濾波器。因為小車沒有控制輸入，我們可以忽略兌和。由于F, H , R和Q全是恒值，我們可以忽略時間下標(biāo)。小車的位置和速度用線性空間可以描述如下：這里應(yīng)表示速度，也就是位置對時間的微分。我們假設(shè)在時間間隔k-1和k之間，小車受到一個恒定的沖擊任總，啊.服從均值為0,方差 為萬旦的正態(tài)分布，根據(jù)Newton動力學(xué)方程，可得到：五=肱/ S 其中廣1AZ廣或0 1&J11我們發(fā)現(xiàn)：.-:在每一時刻，我們獲取真實位置的.我們假設(shè)噪聲服噪聲干擾測量，假設(shè)測量噪聲服從均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為正態(tài)分布。%

29、=株+珍其中H=1 0,研咐f=建.0n0 0一4B43 知=0晶=0 0我們可以得到足夠精度的初始狀態(tài)數(shù)據(jù)，所以我們可以初始化L，L U如果初始位置和速度不是精確的知道，那么協(xié)方差矩陣應(yīng)該初始化為一個對角線元素B為適當(dāng)大小的矩陣如下：3 0B這樣與模型中已有信息相比，濾波器更趨向于使用首次的測量數(shù)據(jù)信息。 6推導(dǎo)6.1后驗估計協(xié)方差矩陣推導(dǎo)首先開始不變量后驗估計協(xié)方差矩陣WR的推導(dǎo)：瑞產(chǎn) egg -礎(chǔ)）帶入總定義， 可 得我=匚0戒&- （做+/烘）%山-+ 虹（瓦-擔(dān)V忘 3）.）P-偵呻+牌迅&+*-珞氟】）整差向量= C?v（7 -舟 ）（上氏標(biāo)A1）長泓）由于誤差向量

30、改 與其他不相關(guān)，所以琮=cov（/-K地）（她-舄心）+CQV（。*）由協(xié)方差矩陣性質(zhì)則W技為）-標(biāo)頊1 - 5）+虹曲煙:使用不變量Pk|k-1以及Rk的定義這一項可以寫作弓L（l &丑河尺血）+W四，此公式（Josephform）對任意增益Kk的都成立，如果Kk最優(yōu)卡爾曼增益，則可以進一步簡化，見下文。6.2 Kalman增益推導(dǎo)Kalman濾波器是一個最小均方誤差估計器，先驗狀態(tài)誤差估計可表示為氣一工祗我們最小2.化這個矢量幅度平方的期望值 占甲一兀,這等價于最小化后驗估計協(xié)方差矩陣瑞的跡， 通 過 展 開 合 并WR公 式， 可 得珞=耳 X -町叩u-5 再+忠期破+g=烏

31、 x -WhS-烏*實+尺遇忒冬）二一2（必弓+ 2 =0當(dāng)矩陣導(dǎo)數(shù)為0時，矩陣的跡取最小值，旗虹從這個式子解出Kalman增益 電薄;二與這個增益就是最優(yōu)Kalman增益，應(yīng)用它可以得到最小均方誤差。6.3后驗誤差協(xié)方差矩陣簡化當(dāng)應(yīng)用上述最優(yōu)Kalman增益時，后驗誤差協(xié)方差可以得到簡化，在最優(yōu)Kalman增益兩邊 同時乘以烷I ,可得-瑞危冬,參見后驗誤差協(xié)方差公式展開珞u= 耳虹i 蔑洪餌心-弓肽丑& +、罰X電琮=琮 t-5 苴 y（I-&丑,）昭這個公式的計算比較簡單，所以實際中總是使用這個公式，但是需注意這公式僅在最優(yōu)卡爾曼增益時它才成立。如果算術(shù)精度總是很低而導(dǎo)致數(shù)值穩(wěn)定性出現(xiàn)問題，或者特意使用非最優(yōu)卡爾曼增益，那么就不能使用這個簡化；必須使用上面導(dǎo)出的后驗誤差協(xié)方差公式。 7信息濾波在信息濾波器（逆方差濾波器）中，協(xié)方差估計和狀態(tài)估計將會被信息矩陣和信息向量所取 代，它們的定義如下：類似的預(yù)測協(xié)方差和預(yù)測狀態(tài)也有等價的信息形式，定義如下:同樣測量協(xié)方差和測量向量定義為:帶入上式4項臨覽信息更新現(xiàn)在變成一個加和形式：I.=晦一1 + NJ-1t?夕職=步*1+