地球物理計(jì)算方法PPT課件

1、地球物理計(jì)算方法地球物理與信息技術(shù)學(xué)院地球物理與信息技術(shù)學(xué)院上節(jié)課講了些什么？上節(jié)課講了些什么？緒論：緒論：u誤差分析誤差分析復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)u誤差來源誤差來源復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)地質(zhì)問題物理模型數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算地質(zhì)解釋計(jì)算結(jié)果是否滿足要求修改處理否是？地質(zhì)地質(zhì)問題問題物理物理模型模型數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型數(shù)值數(shù)值計(jì)算計(jì)算地質(zhì)地質(zhì)解釋解釋計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果是否滿足是否滿足要求要求修改處理修改處理否否是是u誤差來源誤差來源復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)地質(zhì)問題物理模型數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算地質(zhì)解釋計(jì)算結(jié)果是否滿足要求修改處理否是模型模型誤差誤差截?cái)嘟財(cái)嗾`差誤差舍入舍入誤差誤差地質(zhì)地質(zhì)問題問題物理物理模型模型數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型數(shù)值數(shù)值計(jì)算計(jì)算地質(zhì)地質(zhì)解釋

2、解釋計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果是否滿足是否滿足要求要求修改處理修改處理否否是是以下誤差來源中主要由數(shù)值計(jì)算方法引入的是：截?cái)嗾`差與模型誤差舍入誤差與觀測誤差舍入誤差與截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差與觀測誤差A(yù)BCD提交單選題2分重要概念：重要概念：u誤差誤差/ /誤差限誤差限u相對誤差相對誤差/ /相對誤差限相對誤差限u有效數(shù)字有效數(shù)字復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)u誤差限、相對誤差限、有效數(shù)字三者關(guān)系誤差限、相對誤差限、有效數(shù)字三者關(guān)系 近似值（觀測值）： 絕對誤差限與有效數(shù)字關(guān)系： 相對誤差限與有效數(shù)字關(guān)系： 已知有效數(shù)字： 已知相對誤差限：復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)u誤差的傳播誤差的傳播u病態(tài)問題與條件數(shù)病態(tài)問題與條件數(shù) 什么是病態(tài)問題？什么是病態(tài)問

3、題？復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)條件數(shù)是評價(jià)算法優(yōu)劣條件數(shù)是評價(jià)算法優(yōu)劣程度的一個重要參數(shù)！程度的一個重要參數(shù)！u避免誤差危害若干原則避免誤差危害若干原則1.1. 避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法；避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法；2.2. 避免兩相近數(shù)相減；避免兩相近數(shù)相減；3.3. 防止大數(shù)吃小數(shù)；防止大數(shù)吃小數(shù)；4.4. 簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)以下說法中正確的有：ABCD提交高精度運(yùn)算可以改善問題的病態(tài)性經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)都是有效數(shù)字計(jì)算機(jī)上將1000個數(shù)量級不同的數(shù)相加，不管次序如何結(jié)果都是一樣的解對數(shù)據(jù)的微小變化高度敏感是病態(tài)的多選題2分1

4、1第第1 1章章 插值方法插值方法如果我繼承了可觀的財(cái)產(chǎn)，那我在數(shù)學(xué)上可能就沒有多少價(jià)值了。如果我繼承了可觀的財(cái)產(chǎn)，那我在數(shù)學(xué)上可能就沒有多少價(jià)值了。拉格朗日拉格朗日內(nèi)內(nèi) 容容插值概念插值概念各種插值方法各種插值方法（泰勒、拉格朗日、牛頓、埃爾米特、分段、樣條泰勒、拉格朗日、牛頓、埃爾米特、分段、樣條）插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)曲線擬合曲線擬合（最小二乘最小二乘）121、插值概念、插值概念2、拉格朗日插值、拉格朗日插值3、牛頓插值、牛頓插值4、埃爾米特插值、埃爾米特插值5、分段插值、分段插值6、樣條插值、樣條插值7、最小二乘曲線擬合、最小二乘曲線擬合1314 許多實(shí)際問題內(nèi)在規(guī)律的函數(shù)關(guān)系并不顯然易得:

5、問題的提出問題的提出xx0 x1x2xnyy0y1y2yn 更多實(shí)際情況下，僅能獲得函數(shù)在定義區(qū)間上的一部分函數(shù)值。(如地球物理中的實(shí)驗(yàn)/觀測值)15地球物理中的插值問題：（一維）測得在某處海洋不同深度處的水溫如下深度（m） 466 741 950 1422 1634水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，如何合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫？問題的提出問題的提出16地球物理中的插值問題：中國大陸地表熱流分布（二維）問題的提出問題的提出17地球物理中的插值問題：礦產(chǎn)資源勘探（三維）問題的提出問題的提出表述表述：已知：求： 在此區(qū)

6、間上任意點(diǎn) 的近似值; 稱為插值節(jié)點(diǎn)；插值節(jié)點(diǎn)；x 稱為插值點(diǎn)插值點(diǎn)； 稱為樣本值樣本值；19解決思路：解決思路：構(gòu)造一個具有解析表達(dá)式的簡單函數(shù)，近似求解：（1）構(gòu)造一個簡單函數(shù)p(x)來替代未知（或復(fù)雜）函數(shù)f(x);（2）用p(x)的函數(shù)值作為f(x)的近似值；20 從幾何上看，插值法就是找曲線y=p(x) ，使其通過給定的 n+1個點(diǎn) ，并用它近似未知曲線 . 21根據(jù)插值函數(shù)p(x)的形式不同，可以分為：代數(shù)插值（代數(shù)多項(xiàng)式）三角插值（三角函數(shù)傅里葉級數(shù)）有理插值（有理函數(shù)）分段插值（分段函數(shù)）樣條插值（樣條函數(shù)）混合插值（多種插值函數(shù)同時(shí)使用）22復(fù)習(xí)：泰勒級數(shù)復(fù)習(xí)：泰勒級數(shù)預(yù)備知

7、識預(yù)備知識定義定義：如果 在點(diǎn)x=x0具有任意階導(dǎo)數(shù)，則冪級數(shù) 稱為 在點(diǎn)x0處的泰勒級數(shù)。在泰勒公式中，取x0=0，得到的級數(shù) 稱為麥克勞林級數(shù)。23函數(shù) sinx 在 x=0 處的泰勒級數(shù)展開為：ABCD提交單選題2分24復(fù)習(xí)：泰勒級數(shù)復(fù)習(xí)：泰勒級數(shù)預(yù)備知識預(yù)備知識25復(fù)習(xí)：泰勒多項(xiàng)式復(fù)習(xí)：泰勒多項(xiàng)式預(yù)備知識預(yù)備知識26復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：羅爾定理：羅爾定理：中值定理：中值定理：預(yù)備知識預(yù)備知識27泰勒（泰勒（TaylorTaylor）插值）插值已知：復(fù)雜函數(shù) 在點(diǎn)的函數(shù)值 ，求 ： 附近另一點(diǎn) 的函數(shù)值 。 泰勒插值問題泰勒插值問題：28解決方法：解決方法：u構(gòu)造一個代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù) ，u使得 與

8、 在 點(diǎn)充分逼近。泰勒多項(xiàng)式為：泰勒多項(xiàng)式為：在x=x0, pn(x)與f(x)具有相同的i階導(dǎo)數(shù)值（i=0,1,n）。29誤差分析（泰勒余項(xiàng)定理）誤差分析（泰勒余項(xiàng)定理）其中， 在 與 之間。30幾何意義幾何意義31幾何意義幾何意義32計(jì)算機(jī)中對于三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)計(jì)算機(jī)中對于三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)的計(jì)算都是通過泰勒插值的方法實(shí)現(xiàn)的。的計(jì)算都是通過泰勒插值的方法實(shí)現(xiàn)的。33例：例：已知函數(shù) 在x0=100的一次和二次泰勒多項(xiàng)式，求f(115).求解：已知“復(fù)雜”函數(shù) 在x0=100處的函數(shù)值f(x0)=10 。求：x0附近一點(diǎn)的x0+15的函數(shù)值f(x0+

9、15)。利用泰勒展開將非線性問題線性化利用泰勒展開將非線性問題線性化是數(shù)值計(jì)算方法中的一種重要思想！是數(shù)值計(jì)算方法中的一種重要思想！34泰勒插值存在的問題：泰勒插值存在的問題：1.函數(shù)f(x)必須存在n+1階導(dǎo)函數(shù)階導(dǎo)函數(shù)，即使存在n+1階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算的工作量也比較大；2.要求h為一個小量（即x在在x0附近附近），若h較大，則計(jì)算的誤差就很大。1、插值概念、插值概念2、拉格朗日插值、拉格朗日插值3、牛頓插值、牛頓插值4、埃爾米特插值、埃爾米特插值5、分段插值、分段插值6、樣條插值、樣條插值7、最小二乘曲線擬合、最小二乘曲線擬合3536LagrangeLagrange插值插值問題提出問題提出:已知

10、函數(shù)y=f(x)在n+1個節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2,.xn，上的函數(shù)值y0,y1,y2,.yn ，求任意一點(diǎn)x的函數(shù)值f(x),函數(shù)y=f(x)可能是未知的；也可能是已知的，但它比較復(fù)雜，很難計(jì)算其函數(shù)值f(x)。37解決方法解決方法構(gòu)造一個n次代數(shù)多項(xiàng)式pn(x)函數(shù)來替代未知（或復(fù)雜）函數(shù)y=f(x),則用pn(x)為函數(shù)值f(x),的近似值。設(shè)構(gòu)造pn(x)即是確定n+1個多項(xiàng)式的系數(shù)38構(gòu)造構(gòu)造pn(x)的依據(jù)的依據(jù)當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)也同時(shí)過已知的n+1個節(jié)點(diǎn)時(shí)，我們可以認(rèn)為多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)逼近于原來的函數(shù)f(x)。根據(jù)這個條件，可以寫出非齊次線性方程組：39系數(shù)矩陣的行列式V為范

11、德蒙行列式：故當(dāng)n+1個點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0,x1,x2,.xn互不相等時(shí)，方程組系數(shù)矩陣的行列式V不等于零，故方程組有唯一解。即有如下結(jié)論：當(dāng)即有如下結(jié)論：當(dāng)n+1個點(diǎn)的橫坐標(biāo)個點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0,x1,x2,.xn互不相等時(shí)，互不相等時(shí)，總總能夠構(gòu)造唯一的能夠構(gòu)造唯一的n次多項(xiàng)式函數(shù)次多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)，使使pn(x)也過這也過這n+1個點(diǎn)。個點(diǎn)。40系數(shù)求解系數(shù)求解l當(dāng)n很大時(shí)，通過求方程組方法得到系數(shù)ai的工作量很大；l求系數(shù)的新構(gòu)造方法：（1） Lagrange插值方法（2）牛頓插值方法41u約瑟夫約瑟夫拉格朗日拉格朗日 - 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家； - 歷史性貢獻(xiàn)：數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)； -

12、數(shù)學(xué)成就最為突出：數(shù)學(xué)分析、變分法、 微分方程、方程論、插值方法； - 物理學(xué)：分析力學(xué)、天體力學(xué)； - “高聳在數(shù)學(xué)界的金字塔”。 如果我繼承了可觀的財(cái)產(chǎn)，那我在數(shù)學(xué)上可能就沒有多少價(jià)值了。如果我繼承了可觀的財(cái)產(chǎn)，那我在數(shù)學(xué)上可能就沒有多少價(jià)值了。我把數(shù)學(xué)看成是一件有意思的工作，而不是想為自己建立什么紀(jì)念碑?？梢钥隙ǖ匚野褦?shù)學(xué)看成是一件有意思的工作，而不是想為自己建立什么紀(jì)念碑?？梢钥隙ǖ卣f，我對別人的工作比自己的更喜歡。我對自己的工作總是不滿意。說，我對別人的工作比自己的更喜歡。我對自己的工作總是不滿意。一個人的貢獻(xiàn)和他的自負(fù)嚴(yán)格地成反比，這似乎是品行上的一個公理。一個人的貢獻(xiàn)和他的自負(fù)嚴(yán)格地成反比，這似乎是品行上的一個公理。拉格朗日拉格朗日42LagrangeLagrange插值公式插值公式xx0 x1yy0y1如果已知函數(shù)y=f(x)的值如表所示。求：構(gòu)造一次多項(xiàng)式p1(x),在插值節(jié)點(diǎn)上，滿足p1(x)=f(x)1、線性插值：43直線的兩點(diǎn)式表達(dá)式：一次多項(xiàng)式插值基函數(shù)：一次多項(xiàng)式插值系數(shù)： y0， y144幾何意義：x0 x145例：已知 ， ， 求解：得：462、Lagrange拋物線插值拋物線插值xx0 x1x2y