傅立葉變換的原理意義和應用

1、傅立葉變換的原理、意義和應用1概念：編輯傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這 些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅里葉變換用正弦波作為信號的成分。參考數字信號處理楊毅明著p.89,機械工業(yè)出版社2012年發(fā)行。定義f(t)是t的周期函數，如果t滿足狄里赫萊條件：在一個周期內具有 有限個間斷點，且在這些間斷點上，函數是有限值；在一個周期內具 有有限個極值點；絕對可積。則有下圖式成立。稱為積分運算f(t) 的傅里葉變換，式的積分運算叫做F(o)的傅里葉逆變換。F(o)叫做f(t)的像 函數，f(t)叫做F ( 3)的像原函數。F ( 3)

2、是f(t)的像。f(t)是F ( 3)原像。傅里葉變換二萬二出父的心一8傅里葉逆變換8/二尸伸引二巴3打加一時中文譯名Fourier transform 或 Transform e e de Four商多個中文譯名，常見的 有傅里葉變換”、付立葉變換”、傅立葉轉換"、傅氏轉換: 傅氏 變換”、等等。為方便起見，本文統(tǒng)一寫作 傅里葉變換，應用傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概 率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都 有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信 號分解成幅值譜 顯示與頻率對應的幅值大?。?。相關* 傅里葉變換

3、屬于諧波分析。* 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；* 正弦基函數是微分運算的本征函數，從而使得線性微分方程的求解 可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內， 頻率是個不變的性質，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其 對不同頻率正弦信號的響應來獲?。? 卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；* 離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速地算出（其算法稱 為快速傅里葉變換算法（FFT）,12性質編輯線性性質傅里葉變換的線性，是指兩函數的線性組合的傅里葉變換， 等于這兩 個函數分別做傅里葉變換后再進

4、行線性組合的結果。 具體而言，假設 函數/和的傅里葉變換廠【月和廠圉都存在，a和為任意常系數，則有尺度變換性質若函數人工的傅里葉變換為,則對任意的非零實數n,函數%=/(狗的傅里葉變換存在，且等于F(3 = # 圖對于a > 0的情形，上式表明，若將門幻的圖像沿橫軸方向壓縮 倍，則其傅里葉變換的圖像將沿橫軸方向展寬n倍，同時高度變?yōu)樵瓉淼?。對于a < 0的情形，還會使得傅里葉變換的圖像關于縱軸做鏡像對稱。平移性質若函數門幻的傅里葉變換為F®）,則對任意實數,函數儲=/（碇兩工也存在傅里葉變換，且其傅里葉變換%（卬）等于產鈾（必二也就是說，可由F向右平移得到。微分關系若函數

5、門幻的傅里葉變換為F®）,且其導函數的傅里葉變換存在，則有尸八刈二皿F的即導函數的傅里葉變換等于原函數的傅里葉變換乘以因子山。更一般地，若門幻的 階導數嚴的傅里葉變換存在，則產/叫磯二（皿陽切即n階導數的傅里葉變換等于原函數的傅里葉變換乘以因子（皿卷積特性若函數門幻以及£都在取上絕對可積，則卷積函數十g的傅里葉變換存在，且尸丁加=尸用尸Parseval定理以及Plancherel定理若函數門幻以及平方可積，二者的傅里葉變換分別為與G3),則有£+CW1f(x)g*(x)tix = JF但上式被稱為Parseval定理。特別地，對于平方可積函數門分,有£+

6、(» p twlf(x)l2x= -J|F 2 .上式被稱為Plancherel定理。這兩個定理表明，傅里葉變換是平方可積空間L2上的一個運算符(若不考慮因子1/2ji)°3特殊變換編輯連續(xù)傅里葉變換一般情況下，若 傅里葉變換”一詞的前面未加任何限定語，則指的是連續(xù)傅里葉變換連續(xù)傅里葉變換”將平方可積的函數f(0表示成復指數函數的積分形式：1 r+w上式其實表示的是連續(xù)傅里葉變換的逆變換，即將時間域的函數表示為頻率域的函數F同的積分。反過來，其正變換恰好是將頻率域的函數F(表示為時間域的函數的積分形式。一般可稱函數f為原函數，而稱函數為傅里葉變換的像函數，原函數和像函數構成

7、一個傅里葉變換對(transform pair)。當為奇函數（或偶函數）時，其余弦（或正弦）分量為零，而可以稱這 時的變換為余弦變換（或正弦變換）。傅里葉級數主條目：傅里葉級數連續(xù)形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對于周期函數，它的傅里葉級數（Fourierseries）表示被定義為：加二£片產5廳其中T為函數的周期，&為傅里葉展開系數，它們等于1 T721 J-Tf2對于實值函數，函數的傅里葉級數可以寫成：刖=（華+九Sin（華18=1其中an和bn是實頻率分量的振幅。離散時間傅里葉變換 主條目：離散時間傅里葉變換離散時間傅里

8、葉變換(discrete-time Fourier transform, DTFT)針對的是定義域為X的數列。設為某一數列，則其DTFTM定義為相應的逆變換為十PC一gDTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的，它一般用來對離散時間信號進行頻譜分析。DTFTW以被看作是傅里葉級數的逆。離散傅里葉變換 為了在科學計算和數字信號處理等領域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數定義在離散點上而非連續(xù)域內，且須滿足有限性或周期性條件。這種情況下，序列的離散傅里葉變換（discrete Fourier transform, DFT 為N-ln=0其逆變換為1 N-L二 diJ2reJf«/NW-直

9、接使用DFT的定義計算的計算復雜度為O(N2j,而快速傅里葉變換（fast Fourier transform, FFT可以將復雜度改進為O（ttlog。計算復雜度的降低以及數字電路計算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號處理領域十分實用且重要的方法。在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問題屬于調和分析的范疇。在調和分析中，一個變換從一個群變換到它的對偶群（dual group）。止匕外，將傅里葉 變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調和分析中也有類似的結論。傅里葉變換家族下表列出了傅里葉變換家族的成員。容易發(fā)現，函數在時（頻）域的離散對應于

10、其像函數在頻（時）域的周期性，反之連續(xù)則意味著在對應域的信號的非周期性。變換時間域頻率域連續(xù)傅里葉變換連續(xù)，非周期性連續(xù)，非周期性傅里葉級數連續(xù)，周期性離散，非周期性離散時間傅里葉變換離散，非周期性連續(xù)，周期性離散傅里葉變換4相關編輯離散，周期性離散，周期性2變換提出傅里葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是JeanBaptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourie對熱傳遞很感興趣，于 1807 年在法國科學學會上發(fā)表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布， 論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組 適當的正弦曲線組合而成。當時審查

11、這個論文的人，其中有兩位是歷 史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)拉普 拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)當拉普拉斯和其它審查者投 票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在他此后生命的六 年中，拉格朗日堅持認為傅里葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續(xù)變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望， 拒絕了傅里葉的工作，幸運的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加 了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而 一直在逃避。直到拉格朗日死后 15年這個論文才被發(fā)表出來。拉

12、格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是， 我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存 在能量差別，基于此，傅里葉是對的。用正弦曲線來代替原來的曲線而不用方波或三角波來表示的原因在 于，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地 處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁 有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入 后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率 和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質， 正因如此我們才不用方波或三角波來表示。變換分類根據原信號的不同類型，我們可以把傅

13、里葉變換分為四種類別：1非周期性連續(xù)信號傅里葉變換(Fourier Transform)2周期性連續(xù)信號傅里葉級數(Fourier Series)3非周期性離散信號離散時域傅里葉變換( Discrete Time FourierTransform)4周期性離散信號離散傅里葉變換 (Discrete Fourier Transform)下圖是四種原信號圖例：A 3 1m TamAfaH qwrtv w fwinw * jpnrir國 I,Stem F is rmtaB. 1fc _J G *jT這四種傅里葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來

14、說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅里葉變換呢？沒有。 因為正余弦波被定義成 從負無窮大到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度 有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無 限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸， 延伸的部分用零來表 示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以 用到離散時域傅里葉變換的方法。 還有，也可以把信號用復制的方法 進行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號， 這時我們就可以用離散傅里葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對于連續(xù) 信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值信號， 我們的最 終目的是運用計算

15、機來處理信號的。但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來 表示，這對于計算機來說是不可能實現的。 所以對于離散信號的變換 只有離散傅里葉變換（DFTD才能被適用，對于計算機來說只有離散 的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演 算中才能用到，在計算機面前我們只能用 DFT方法，后面我們要理解 的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為 了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或 怎樣得到是無意義的。每種傅里葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理 解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論

16、知 識，不過，如果理解了實數離散傅里葉變換（real DFT）再去理解復數 傅里葉就更容易了，所以我們先把復數的傅里葉放到一邊去， 先來理 解實數傅里葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅里葉變換的基礎上再來理解復數傅里葉變換。如 上圖所示，實信號四種變換在時域和頻域的表現形式。還有，這里我們所要說的變換（transform）雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散 數字信號處理（DSP,有許多的變換：傅里葉變換、拉普拉斯變換、 Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的 定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡

17、單地說變換就是把一堆的數據 變成另一堆的數據的方法。變換意義傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅里葉變 換算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義。傅里葉原理表明：任 何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無 限疊加。而根據該原理創(chuàng)立的傅里葉變換算法利用直接測量到的原始 信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅里葉變換算法對應的是反傅里葉變換算法。該反變換從本質上說 也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個 信號。因此，可以說，傅里葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成 了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利

18、用一些工具對這些頻 域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信 號轉換成時域信號。從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將 滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。 在 不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式， 如連續(xù)傅里 葉變換和離散傅里葉變換。在數學領域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具， 但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的 函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類：1.傅里葉變換是線性算子，若賦予

19、適當的范數，它還是酉算子；2.傅里葉變換的逆 變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；3,正弦基函數是微分運 算的本征函數，從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代 數方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算 ，從而提 供了計算卷積的一種簡單手段；4.離散形式的傅里葉的物理系統(tǒng)內 頻率是個不變的性質，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其 對不同頻率正弦信號的響應來獲取 ；5.著名的卷積定理指出：傅里葉 變換可以化復變換可以利用數字計算機快速的算出(其算法稱為快速 傅里葉變換算法(FFT)正是由于上述的良好性質，傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、 信號處理、概率、統(tǒng)計、密

20、碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應 用。圖像傅里葉變換圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空 間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域， 對應的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是 一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應的頻率值較高。傅里葉變換在實際中 有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅里 葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅里葉變換是將一個 函數轉換為一系列周期函數來處理的。 從物理效果看，傅里葉變換是 將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空 間域。換句話說，傅里葉變換的物理意義是將圖像

21、的灰度分布函數變 換為圖像的頻率分布函數，傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變 換為灰度分布函數。傅里葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現實空 間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習慣用一個二維矩陣表示空 間上各點，則圖像可由z=f（x,y）來表示。由于空間是三維的，圖像是 二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關系就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應關系。為什么要提梯度？因為實際上對圖像進行二維傅里葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一 對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。 傅里葉頻譜圖上我們 看

22、到的明暗不一的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱， 即梯度的大小，也即該點的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低 頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的 亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅里葉變換后的頻譜圖，也 叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗 的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不 大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖 像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。 對頻譜移頻 到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。 將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻

23、率分布以外，還有一個 好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副 帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在 以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生 的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。另外說明以下幾點：1、圖像經過二維傅里葉變換后，其變換系數矩陣表明：若變換矩陣Fn原點設在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數短陣 的中心附近（圖中陰影區(qū)）。若所用的二維傅里葉變換矩陣 Fn的原點 設在左上角，那么圖像信號能量將集中在系數矩陣的四個角上。這是由二維傅里葉變換本身性質決定的。同時也表明一股圖像能量集中低 頻區(qū)域。2、變換之

24、后的圖像在原點平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中 間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大） 。5例子編輯一個關于實數離散傅里葉變換（Real DF快例先來看一個變換實例，一個原始信號的長度是 16,于是可以把這個 信號分解9個余弦波和9個正弦波（一個長度為N的信號可以分解成N/2+1個正余弦信號，這是為什么呢？結合下面的18個正余弦圖，我想從計算機處理精度上就不難理解，一個長度為N的信號，最多只能 有N/2+1個不同頻率，再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度 范圍），如下圖： 9個正弦信號：9個余弦信號:把以上所有信號相加即可得到原始信號，至于是怎么分別變換出9種不同頻率

25、信號的，我們先不急，先看看對于以上的變換結果，在程序 中又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個示例圖:lime Ikrnrnng'frnddn用r用|曲用j上圖中左邊表示時域中的信號，右邊是頻域信號表示方法，從左向右 表示正向轉換(Forward DFT)從右向左表示逆向轉換(Inverse DFT)用 小寫x表示信號在每個時間點上的幅度值數組，用大寫X表示每種頻率的幅度值數組，因為有N/2+1種頻率，所以該數組長度為N/2+1,X數組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值： Re X口，另 一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X口, Re是實數(Real的意思,Im是虛數(I

26、magine)的意思，采用復數的表示方法把正余弦波組合起來 進行表示，但這里我們不考慮復數的其它作用，只記住是一種組合方 法而已，目的是為了便于表達（在后面我們會知道，復數形式的傅里 葉變換長度是N,而不是N/2+1）。用Matlab進行傅里葉變換FFT是離散傅里葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有 些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后， 就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另 外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經 常用的。FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過 ADC采樣之后，就變 成了數字信號。采樣定理

27、告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍。 采樣得到的數字信號，就可以做 FFT變換了。N個采樣點，經過FFT 之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常 N取2的整數次方。假設采樣頻率為Fs,信號頻率F,采樣點數為No那么FFT之后結果 就是一個為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模 值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系 呢？假設原始信號的峰值為 A,那么FFT的結果的每個點（除了第一 個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分 量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻 率下的信號的相位。第一個

28、點表示直流分量（即0Hz）,而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1 個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后)則表 示采樣頻率Fs,這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率 依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公 式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N,如果采樣頻率Fs為1024Hz, 采樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024 點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT,則結果 可以分析到1Hz,如果采樣2秒時間的信號并做FFT；則結果可以分 析到0.5H

29、z如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數，也即采 樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。假設FFT之后某點n用復數a+bi表示，那么這個復數的模就是 An= 根號a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a>根據以上的結果，就可以計 算出n點(n? 1,且n<=N/2 )對應的信號的表達式為： An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即 2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于 n=1 點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由于FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小于采樣頻率一半的結果。下面以一個實際的信號來做說明。假設我們有一

30、個信號，它含有 2V 的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號， 以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數 學 表 達 式 就 是 如 下 ： S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中 cos參數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz 的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。按照我們上面的分 析，Fn=(n-1)*Fs/N,我們可以知道，每兩個點之間的間距就是 1Hz, 第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50

31、Hz、75Hz, 應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點 應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看 FFT的結果的模值如圖所 示。從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大 的值。我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看：1 點:512+0i2 點:-2.6195E-14 - 1.4162E-13i3 點:-2.8586E-14 - 1.1898E-13i50 點:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i51 點:332.55 - 192i52 點:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i75 點:-2.2199E-13 -1.007

32、6E-12i76 點:3.4315E-12 + 192i77 點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0,即在那些頻率點上的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結果如下:1 點:51251 點：38476 點：192按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2; 50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3 ; 75Hz 信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5?？梢姡瑥念l譜分析出來的幅度是正確的。然后再來計算相位信

33、息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236結果是弧度，換算為角 度就是 180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算 75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是 180*1.5708/pi=90.0002?？梢?，相位也是對的。根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可 以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。總結：假設采樣頻率為F§采樣點數為N,做FFT之后，某一點n (n 從1開始)表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N;該點的*

34、II值除以N/2就是 對應該頻率下的信號的幅度(對于直流信號是除以 N);該點的相位 即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數atan2(b,a計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值，范圍從-pi至U pi。要精確 到xHz,則需要采樣長度為1/x秒的信號，并做FFT要提高頻率分 辨率，就需要增加采樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需 要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法， 比 較簡單的方法是采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數量的 0,使其長度達到需要的點數，再做FFT這在一定程度上能夠提高頻 率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻

35、。6應用編輯盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方 法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數通過一定 的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類， 這一想法跟化學上的原子論 想法何其相似！奇妙的是，現代數學發(fā)現傅里葉變換具有非常好的性 質，使得它如此的好用和有用，讓人不得不感嘆造物的神奇：傅里葉變換是線性算子，若賦予適當的范數，它還是酉算子； 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；正弦基函數是微分運算的本征函數，從而使得線性微分方程的求解可 以轉化為常系數的代數方程的求解

36、.在線性時不變的物理系統(tǒng)內，頻 率是個不變的性質，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對 不同頻率正弦信號的響應來獲取；著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘 積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；離散形式的傅里葉變換可以利用數字計算機快速的算出（其算法稱為 快速傅里葉變換算法(FFT).正是由于上述的良好性質，傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、 信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應 用。有關傅里葉變換的FPGA實現傅里葉變換是數字信號處理中的基本操作，廣泛應用于表述及分析離散時域信號領域。但由于其運算量與變換點數N的平方成正比關系，因此

37、，在N較大時，直接應用DFT算法進行譜變換是不切合實際的。 然而，快速傅里葉變換技術的出現使情況發(fā)生了根本性的變化。本文主要描述了采用FPG襪實現2k/4k/8k點FFT的設計方法。整體結構一般情況下，N點的傅里葉變換對為：其中，WN=exp( 2pi/N)。X(k)和x(n)都為復數。與之相對的快速 傅里葉變換有很多種，如DIT(時域抽取法)、DIF(頻域抽取法)、Cooley 一Tukey和 Winograd等。對于2n傅里葉變換，Cooley- Tukey算法可 導出DIT和DIF算法。本文運用的基本思想是 Cooley- Tukey算法， 即將高點數的傅里葉變換通過多重低點數傅里葉變換

38、來實現。雖然 DIT與DIF有差別，但由于它們在本質上都是一種基于標號分解的算 法，故在運算量和算法復雜性等方面完全一樣，而沒有性能上的優(yōu)劣之分，所以可以根據需要任取其中一種，本文主要以DIT方法為對象來討論。N=8192點DFT的運算表達式為:式中，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2 k=2048k1+k0 其中 n1 和 k2可取 0,1,., 2047,k1 和 n2 可取 0,1,2,3。由式(3)可知，8k傅里葉變換可由4X2k勺傅立葉變換構成。同理， 4k傅立葉變換可由2 x 2k勺傅里葉變換構成。而2k傅里葉變換可由 128 X 1的傅立葉變換構成。12

39、8的傅里葉變換可進一步由16X8的傅 里葉變換構成，歸根結底，整個傅里葉變換可由基2、基4的傅里葉變換構成。2k的FFT可以通過5個基4和1個基2變換來實現；4k 的FFT變換可通過6個基4變換來實現；8k的FFT可以通過6個基4 和1個基2變換來實現。也就是說：FFT的基本結構可由基2/4模塊、 復數乘法器、存儲單元和存儲器控制模塊構成，其整體結構如圖1所 示。圖1中，RAM用來存儲輸入數據、運算過程中的中間結果以及運算 完成后的數據，ROM用來存儲旋轉因子表。蝶形運算單元即為基2/4 模塊，控制模塊可用于產生控制時序及地址信號，以控制中間運算過程及最后輸出結果。蝶形運算器基4和基2的信號流

40、如圖2所示。圖中，若 A=r0+j*i0, B=r1+j*i1 , C=r2+j*i2 , D=r3+j*i3 是要進行變換的信號，Wk0=c0+j*s0=1 , Wk1=c1+j*s1, Wk2=c2+j*s2, Wk3=c3+j*s3 為旋轉因子，將其分別代 入圖2中的基4蝶形運算單元，則有：A =r0+(r1 XcJ i1 Xs1)+(r2 x c2-i2 x s2)+(r3 x c3- i3 x s3）+ji0+（i1 x c1+r1 乂 s1）+（i2 乂 c2+r2 乂 s2） +（43 乂 c3+r3 乂 s3）?B' =r0+(i1 x c1+ r1-Xr21x c2i

41、2 x S2 (i3 x c3+r3 x s3)+jQ1 x cli1 x S1 - ( i2 x c2+r2 x s2)+(r3粒* s3) (5C' =r0 ( r1 x c1 i1 x s1)+(r2 兇22X S2- ( r3 x c3 i3 x s3)+ji0(i1 Xc1+r1 Xs1)+(i2 Xc2+r"623 Xc3+r3 Xs3) 6)D' =r0 (i1 x c1+r1 X s1 ( r2 x c2 i2 x s2)+(i3 x c3+r3 x s3)+ji0+(r1 x c1i1 xs 1 - (i2Xc2+r2 的s2 (r3Xc3i3Xs3

42、)?(7)而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均為1,這樣，將A, B, C和D的表達式代入圖2中的基2運算的四個等式中，則有：A =r0+(r1、idx s1)+ji0+(i1Xc1+r1(漪s1)?B' =r0 (r1 xdi1 x s1)+j論(i1 Xc1+r1 x s 19C =r2+(r3 貴i83x s3)+ji0+(i3x c3+r3 10s3)?D' =r2 (r3 x e3i3 x s3)+j的(i3 乂 c3+r3 乂 s3)|?1)在上述式(4)(11)中有很多類同項，如i1 Xc1+r1 x和r1 xc 1i1 x s等，它們僅僅是加減號的不同，其結構和

43、運算均類似，這就為簡化電路提供了可能。同時，在蝶形運算中，復數乘法可以由實數乘法以一定的格式來表示，這也為設計復數乘法器提供了一種實現的途徑。以基4為例，在其運算單元中，實際上只需做三個復數乘法運算，即只須計算BWk1、CWk2和DWk3的值即可，這樣在一個基 4蝶形單元里面，最多只需要3個復數乘法器就可以了。在實際過程中，在不提高時鐘頻率下，只要將時序控制好？便可利用流水線(Pipeline)技術并只用一個復數乘法器就可完成這三個復數乘法，大大節(jié)省了硬件資源 圖2基2和基4蝶形算法的信號流圖FFT的地址FFT變換后輸出的結果通常為一特定的倒序。因此，幾級變換后對地 址的控制必須準確無誤。倒序

44、的規(guī)律是和分解的方式密切相關的，以基8為例，其基本倒序規(guī)則如下：基8可以用2X 2X三級基2變換來表示，則其輸入順序則可用二進制 序列(n1 n2 n3)來表示，變換結束后，其順序將變?yōu)?n3 n2 n1), 如：X?011 一 x?110 ,即輸入順序為3,輸出時順序變?yōu)?。更進一步，對于基16的變換，可由2X2X2/4X4 4X2X等形式來 構成，相對于不同的分解形式，往往會有不同的倒序方式。以 4X4為 例，其輸入順序可以用二進制序列(n1 n2 n3n4)來表示變換結束后， 其順序可變?yōu)?n3 n4) (n1 n2),如：X?0111 t x?1101 。即輸 入順序為7,輸出時順序變?yōu)?3。在2k/4k/8k的傅里葉變換中，由于要經過多次的基 4和基2運算， 因此，從每次運算完成后到進入下一次運算前， 應對運算的結果進行 倒序，以保證運算的正確性。旋轉因子N點傅里葉變換的旋轉因子有著明顯的周期性和對稱性。其周期性表 現為：FFT之所以可使運算效率