線性代數(shù)授課教案

1、 課程授課教案 線 性 代 數(shù) 2009年5月8日 線性代數(shù)授課教案 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 1 頁(yè) 標(biāo)題 §1、1 二階與三階行列式 §1、2全排列及逆序數(shù) §1、3 n階行列式定義 教目 通過(guò)給n階行列式下定義，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力教要了解全排列及逆序數(shù)的概念理階行列式定義重與點(diǎn)階行列式定義是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。其處理方法是：從二階與三階行列式出發(fā)通過(guò)觀察與歸納，利用全排列及逆序數(shù)，逐步引階行列式定作布2）課小階行列式是為了研元線性方程組而提出的，為定階行列式，先要介全排列等知識(shí) 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代

2、數(shù)授課教案 標(biāo)題 §1、4 對(duì)換 §1、5 行列式性質(zhì) 教學(xué)目的 通過(guò)了解行列式性質(zhì)的證明過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力 教學(xué)要求 1、了解對(duì)換的概念及對(duì)換與排列的奇偶性間的關(guān)系。 2、掌握n階行列式的另一定義及行列式的性質(zhì)。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 行列式的性質(zhì)是重點(diǎn)，其證明過(guò)程是難點(diǎn)。處理方法是：從對(duì)換與排列的奇偶性間的關(guān)系及n階行列式的另一定義出發(fā)，了解行列式性質(zhì)的證明過(guò)程，從而逐步掌握行列式的性質(zhì) 作業(yè)布置 26P：5（2）、（5）, 課后小記 為研究n階行列式的性質(zhì)，先要介紹對(duì)換的概念及對(duì)換與排列的奇偶性間的關(guān)系 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 2 頁(yè)

3、 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §1、6 行列式按行（列）展開 §1、7 克拉默法則 教學(xué)目的 通過(guò)掌握行列式按行（列）展開法則，簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，同時(shí)會(huì)利用克拉默法則解決n元線性方程組的有關(guān)問(wèn)題，初步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力 教學(xué)要求 1、了解余子式及代數(shù)余子式的概念及重要性質(zhì)，熟悉行列式按任一行（列）展開公式。 2、掌握克拉默法則。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 行列式按行（列）展開法則及克拉默法則是重點(diǎn)，行列式按任一行（列）展開公式及代數(shù)余子式的概念及重要性質(zhì)的證明是難點(diǎn)。其處理方法是：利用構(gòu)造性證明方法證明行列式按行（列

4、）展開法則，并通過(guò)典型例題掌握行列式的計(jì)算及克拉默法則的應(yīng)用。 作業(yè)布置 27P：7（2）、（5）（6），8（1），10 課后小記 掌握了n階行列式的計(jì)算，便可以利用克拉默法則解決n元線性方程組的有關(guān)問(wèn)題。 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 3 頁(yè) 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §2、1 矩陣 §2、2矩陣的運(yùn)算 教學(xué)目的 從矩陣應(yīng)用的廣泛性出發(fā)，使學(xué)生了解矩陣的概念；從矩陣與矩陣間的關(guān)系出發(fā)，掌握矩陣的運(yùn)算 教學(xué)要求 1、理解矩陣的概念，知道方陣、零陣、單位陣、行（列）矩陣、對(duì)角陣等特殊矩陣。 2、掌握矩陣間的運(yùn)算及

5、運(yùn)算律。 3、熟悉伴隨陣的一個(gè)重要公式：EAAAAA?。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 矩陣及其運(yùn)算法則是重點(diǎn)，矩陣與矩陣相乘是難點(diǎn)。其處理方法是：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題逐步引出矩陣的概念，聯(lián)想數(shù)與數(shù)間的運(yùn)算及運(yùn)算律來(lái)學(xué)習(xí)矩陣間的運(yùn)算，特別要注意的是矩陣間的相乘不滿足交換律和消去律。 作業(yè)布置 53P：3，4（4），8，10 課后小記 矩陣的應(yīng)用非常廣泛，它在數(shù)學(xué)自身（如線性變換、對(duì)策論等）、經(jīng)濟(jì)管理（如產(chǎn)品的銷售問(wèn)題）、工程技術(shù)、日常生活（如民航中的航線問(wèn)題）等中都有著非常重要的應(yīng)用。與矩陣有關(guān)的一系列理論也是線性代數(shù)的核心內(nèi)容。矩陣的運(yùn)算是聯(lián)系矩陣與矩陣間的橋梁，當(dāng)然這中間必須先定義矩陣與矩陣的相等。 授課對(duì)象：

6、本科生 授課專業(yè) 課時(shí)：2/30 第 4 頁(yè) 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §2、3 逆矩陣 教學(xué)目的 從線性變換的可逆性引出矩陣可逆的定義，使學(xué)生清楚可逆陣的概念及矩陣可逆的充要條件。 教學(xué)要求 1、理解逆矩陣的概念及性質(zhì)。 2、掌握矩陣可逆的充要條件，會(huì)利用矩陣的逆公式：?AAA11求矩陣的逆。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 逆矩陣的概念及性質(zhì)和矩陣可逆的充要條件是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。其處理方法是：要讓學(xué)生清楚與數(shù)相比，并非所有的非零矩陣均可逆，其存在是有條件的；同時(shí)，在可逆運(yùn)算中，矩陣的消去律成立。 作業(yè)布置 54P：11（3），12（4），15，16，1

7、8，22，23，25 課后小記 矩陣的逆運(yùn)算是矩陣運(yùn)算中非常重要的一種運(yùn)算，要熟練掌握。關(guān)于矩陣可逆的充要條件今后還有很多等價(jià)的描述，要及時(shí)總結(jié)。 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 5頁(yè) 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §2、4 矩陣分塊法 教學(xué)目的 使學(xué)生了解矩陣的分塊法，以簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。 教學(xué)要求 1、了解矩陣的分塊法及分塊矩陣的運(yùn)算法則，會(huì)利用矩陣的分塊法簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。 2、掌握矩陣的按行和按列分塊法，會(huì)把m個(gè)方程的n元線性方程組用矩陣表示為三種等價(jià)的簡(jiǎn)潔形式。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 分塊矩陣的運(yùn)算及矩陣的按行和按列分塊法是重

8、點(diǎn)，也是難點(diǎn)。其處理方法是：從簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算的目的出發(fā)，說(shuō)明矩陣分塊法的必要性；為后面向量組的線性相關(guān)性的討論，必須要介紹矩陣的按行和按列分塊法。 作業(yè)布置 56P：29（1）（2），30（1）、（2） 課后小記 矩陣的按行和按列分塊法為后面向量組的線性相關(guān)性的討論埋下伏筆。 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 6 頁(yè) 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §3、1 矩陣的初等變換 §3、2 初等矩陣 教學(xué)目的 使學(xué)生能夠掌握矩陣的初等變換及用矩陣的初等變換求逆矩陣的方法 教學(xué)要求 1、掌握矩陣的初等變換，了解矩陣等價(jià)的概念。

9、2、了解初等矩陣的概念與性質(zhì)。 3、掌握用矩陣的初等變換求逆矩陣的方法，會(huì)用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 矩陣的初等變換和用矩陣的初等變換求逆矩陣的方法是重點(diǎn)，初等矩陣的性質(zhì)是難點(diǎn)。其處理方法是：從解線性方程組的消元法的三種重要運(yùn)算入手，引出矩陣的初等變換的定義；初等矩陣與矩陣的初等變換密切相關(guān)，三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣；從分析初等矩陣的性質(zhì)出發(fā)，推理出用矩陣的初等變換求逆矩陣的方法。 作業(yè)布置 79P：1（3），3（2），5 課后小記 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，它在解線性方程組、求逆陣、求矩陣的秩及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸计鹬匾淖饔谩?授課對(duì)象：本科生

10、授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 7頁(yè) 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §3、3 矩陣的秩 教學(xué)目的 通過(guò)對(duì)矩陣的秩的定義及求法的了解，使學(xué)生明白矩陣的秩在矩陣?yán)碚撝兄匾浴?教學(xué)要求 1、理解矩陣的秩的概念和基本性質(zhì)，特別是“矩陣的初等變換不改變矩陣的秩”這一性質(zhì)。 2、掌握用矩陣的初等變換求矩陣的秩的方法 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 矩陣的秩的概念和基本性質(zhì)及用矩陣的初等變換求矩陣的秩的方法是重點(diǎn)，理解矩陣的秩的概念和基本性質(zhì)是難點(diǎn)。其處理方法是：矩陣的秩是用矩陣的最高階非零子式的階數(shù)來(lái)定義的，因此，若R（A）=r，則意謂著，A中必有一個(gè)r階非零子式，同時(shí)

11、A中所有的r+1階子式（若存在的話）必為零。搞清楚了矩陣的秩的概念，便可進(jìn)一步理解矩陣的秩的基本性質(zhì)及其它性質(zhì)。 作業(yè)布置 79P：9（3），11，18 課后小記 矩陣的秩是矩陣?yán)碚撝杏忠粋€(gè)十分重要的概念，它是揭開線性方程組解和向量組的線性相關(guān)性的判定的一把鑰匙。掌握用矩陣的初等變換求矩陣的秩的方法及矩陣的秩的相關(guān)性質(zhì)非常必要。 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 8頁(yè) 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §3、4 線性方程組的解 教學(xué)目的 利用矩陣的秩，使學(xué)生清楚“線性方程組的解Ax=b有解的充要條件是),()(bARAR?”和“n元

12、齊次線性方程組的解Ax=0有非零解的充要條件是nAR?)(”這兩個(gè)線性方程組理論中的最基本的定理。并能用行初等變換求解教學(xué)要求 線性方程組的解。 1、理解齊次線性方程組的解有非零解的充要條件及非齊次線性方程組的解有解的充要條件。 2、掌握用行初等變換求解線性方程組解的方法。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 齊次線性方程組的解有非零解的充要條件和非齊次線性方程組的解有解的充要條件及用行初等變換求解線性方程組的解是重點(diǎn)，理解齊次線性方程組的解有非零解的充要條件及非齊次線性方程組的解有解的充要條件是難點(diǎn)。其處理方法是：借助于矩陣的初等變換和矩陣的秩，搞清楚線性方程組理論中的兩個(gè)最基本的定理的來(lái)龍去脈，并通過(guò)典型例題

13、具體地講解幾道求解線性方程組解的題目。 作業(yè)布置 80P：13（2），14，17，20 課后小記 線性方程組是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象，線性方程組解的討論與求解也是線性代數(shù)的中心議題。線性方程組理論和矩陣?yán)碚摌?gòu)成線性代數(shù)活的靈魂。 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 9 頁(yè) 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 10 頁(yè) 標(biāo)題 §4、1 向量組及其線性組合 教學(xué)目的 教學(xué)使學(xué)生能理解n維向量、向量組的線性組合與線性表示的概念及掌握向量組的線性表示的充要條件 1、理解n維向量的概念，掌握n維向量的線

14、性運(yùn)算，了解向量組及向量組等價(jià)要求 重點(diǎn)的概念。 2、理解向量組的線性組合與線性表示的概念。 3、掌握單個(gè)向量或一向量組可由另一向量組線性表示充要條件及性質(zhì)。 n維向量、向量組的線性組合與線性表示的概念及單個(gè)向量或一向量組可由另一與難點(diǎn)處理 向量組線性表示充要條件與性質(zhì)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。其處理方法是：借助于已知的2、3維向利向量理解n維向量，若向量?可由m?,21?經(jīng)線性運(yùn)算所得，就說(shuō)向量?是m?,21?的線性組合，或說(shuō)?可由m?,21?線性表示。單個(gè)向量或一向量組能否由另一向量組線性表示歸結(jié)為線性方程組或矩陣方程是否有解，籍助于矩陣的秩可解決。 作業(yè)布置 108P：2，4，5 課后小記 向量

15、組中有沒(méi)有某個(gè)向量可由其余向量線性表示，是向量組的一個(gè)重要性質(zhì)，稱為向量組的線性相關(guān)性。 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 11 頁(yè) 標(biāo)題 §4、2 向量組的線性相關(guān)性§4、3向量組的秩 教學(xué)目的 通過(guò)對(duì)向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念的理解和線性相關(guān)性判定，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力。同時(shí)通過(guò)對(duì)向量組的秩的求法進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和想像能力。 教學(xué)要求 1、理解向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念，了解并會(huì)用向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。 2、了解向量組的最大無(wú)關(guān)組與向

16、量組的秩的概念，以及向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。其處理方法是：向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念可從以下幾個(gè)方面理解，1、從幾何意義：含兩個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是兩個(gè)向量共線。含三個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是三個(gè)向量共面。2、從線性相關(guān)與線性表示的關(guān)系：含至少兩個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充要條件是其中必有一個(gè)向量可由其余的向量線性表示。3、從線性方程組：向量組A：m?,21?線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組0?Ax有非零解。4、從矩陣的秩：向量組m?,21?線性相關(guān)的充要條件是矩陣),(21mA?的秩小于向量個(gè)數(shù)m。

17、 作業(yè)布置 108P：6（1），7，8，11，13（1），14（2），15，17，19 課后小記 向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)是線性代數(shù)中一個(gè)十分重要的概念，具有高度的抽象性。向量組線性相關(guān)性是向量組的一個(gè)重要性質(zhì)。向量組的秩可借助于求矩陣的秩的方法求出。 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §4、4 線性方程組的解的結(jié)構(gòu) §4、5 向量空間 教學(xué)目的 通過(guò)給對(duì)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)的了解，進(jìn)一步使求解線性方程組的解規(guī)范化。 同時(shí)了解向量空間的一些基本知識(shí)。 教學(xué)要求 1、理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念 2、理解非齊次線性方程組

18、解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。 3、掌握用行初等變換求解線性方程組解的方法。 4、了解n維向量空間、子空間、基（底）、維數(shù)、坐標(biāo)等概念。 5、會(huì)求向量空間中的向量在其基底下的坐標(biāo)。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 作業(yè)布置 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)是重點(diǎn)，基礎(chǔ)解系的求法是難點(diǎn)。其處理方法是： 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是用齊次線性方程組解集的最大無(wú)關(guān)組來(lái)定義的，因而可借助于求向量組的最大無(wú)關(guān)組方法來(lái)求。 n維向量空間、子空間、基（底）、維數(shù)、坐標(biāo)等概念及向量空間中的向量在其基底下的坐標(biāo)的求法是重點(diǎn)，向量空間中的向量在其基底下的坐標(biāo)的求法是難點(diǎn)。其處理方法是：了解了n維向量空間、子空間、基（底）

19、、維數(shù)、坐標(biāo)等概念，借助于行初等變換便可求出向量空間中的向量在其基底下的坐標(biāo)。 110P：21，22（1），24，25，27，28（2），30，32，38，39，40 課后小記 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理有非常重要的應(yīng)用，學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)牢記以下兩個(gè)定理：1、設(shè)nm?矩陣A的秩rAR?)(，則n元齊次線性方程組0?Ax的解集S的秩rnRS?。2、設(shè)?是非齊次線性方程組bAx?的一個(gè)特解，,21? rn?,是其導(dǎo)出組0?Ax的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則方程組bAx?的通解為 ?rniiikx1?，其中rnkkkrAR?,)(21為任意常數(shù)。 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 12 頁(yè) 教材：同濟(jì)

20、大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §5、1 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性 §5、2 方陣的特征值與特征向量 §5、3相似矩陣 教學(xué)目的 使學(xué)生了解n維向量?jī)?nèi)積的一些基本知識(shí)。掌握矩陣的特征值理論及矩陣可相似對(duì)角化的充要條件。 教學(xué)要求 1、了解向量的內(nèi)積的概念及運(yùn)算規(guī)律，了解向量的長(zhǎng)度、單位向量、向量的正交、正交向量組、規(guī)范正交基、正交矩陣及正交變換的定義。 2、知道正交向量組的性質(zhì)和施密特（Schimidt）正交化公式。 3、理解方陣的特征值與特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求方陣的特征值與特征向量。 4、理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化

21、的充要條件。 重點(diǎn)與難點(diǎn)處理 向量的內(nèi)積、向量組的正交化和正交矩陣是重點(diǎn)，向量組的正交化是難點(diǎn)。其處理方法是：向量的內(nèi)積是3維空間的數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式向n維空間的推廣，向量組的正交化和正交矩陣均與向量的內(nèi)積密切相關(guān)。 方陣的特征值與特征向量的概念及性質(zhì)和相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充要條件是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。其處理方法是： 從實(shí)際問(wèn)題的背景去理解方陣的特征值與特征向量的概念及性質(zhì)，從特征值與特征向量的概念出發(fā)，利用可逆陣的特點(diǎn)去找到矩陣可相似對(duì)角化的充要條件。 作業(yè)布置 137P：1（1），3，5（1），7，10，12，13，14，15 課后小記 特征值理論是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)比較重要的部分。工程技術(shù)中的一些問(wèn)題，如振動(dòng)問(wèn)題和穩(wěn)定性問(wèn)題，常可歸結(jié)為求一個(gè)方陣的特征值與特征向量的問(wèn)題。數(shù)學(xué)中諸如方陣的對(duì)角化及解微分方程組等問(wèn)題，也要用到特征值的理論。 授課對(duì)象：本科生 授課專業(yè)： 課時(shí)：2/30 第 13 頁(yè) 教材：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版) 線性代數(shù)授課教案 標(biāo)題 §5、4 對(duì)稱矩陣的對(duì)角化§5、5二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 教學(xué)目的 使學(xué)生掌握實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法及實(shí)二次型用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。