一元二次方程求解教法解析

1、一元二次方程講解與解析一元二次方程 一元：代表未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這里指的是只含有一個(gè)未知數(shù)； 次：代表次數(shù)，這里指次數(shù)為2。第一節(jié) 一元二次方程的概念：知識點(diǎn)1一元一次方程的概念定義：只含有一個(gè)未知數(shù)， 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次 方程。了解：只有同時(shí)滿足三個(gè)條件： 是整式方程； 只含一個(gè)未知數(shù)； 未知數(shù)最高次數(shù) 為2。這樣的方程才是一元二次方程，不滿足其中任意一條件都不是一元二次 方程。一元二次方程的一般式為：axax2+bx+c=0+bx+c=0（a a 0 0）其中ax2為二次項(xiàng)，bx為一次項(xiàng)，c為常數(shù)項(xiàng)。a為二次項(xiàng)的系數(shù)，b為一次 項(xiàng)的系數(shù)。 盡可能在正常情況下將右邊的

2、數(shù)值移動到左邊，使右邊的數(shù)值為 0 0。 【總結(jié)】上面的方程都只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程并且都可以化成ax2+bx+c=0（a, b,c為常數(shù)，aM0）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。我們吧ax2+bx+c=0（a，b, c為常數(shù)，aM0） 稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2,bx,c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),a,b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù) 和一次項(xiàng)系數(shù)。例子：4x2+5x-仁0（般形式）。4x2為二次項(xiàng)，5x為一次項(xiàng)，-1為常數(shù)項(xiàng)。4為二次項(xiàng)系數(shù),5為一次項(xiàng)系數(shù)。隨堂練習(xí)：1.根據(jù)題意列方程：已知直角三角形的三邊長為連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長。解：設(shè)直角三角形的三邊長為x，x+1,x+

3、2。x2+(x+1) 2=(x+2) 2(只需要列車方程到這步即可)x2-2x-3 =0 x2-2x+12=3+12(x-1) 2=4x-1 =2習(xí)題2.1知識技能1根據(jù)題意，列方程：(1)有一個(gè)面積為54川的長方形，將它的一邊剪短5m,另一邊剪短2m,恰好變成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的變長是多少？解：設(shè)這個(gè)正方形的邊長是x m(x0)。(x+5)(x+2)=54，即x2+7x-44=0。(2)三個(gè)連續(xù)整數(shù)兩兩相乘，再求和，結(jié)果為242，這三個(gè)數(shù)分別是多少？設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為x，x+1，x+2。x (x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=242，即x2+2x-80=0。2.把下列方程化

4、成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)3x2=5x-13x2-5x+1=03-59(x+2) (x-1 )x2+x-8=011-84-7x2=0-7x2+4=0-7043.請根據(jù)這一問題列方程 例：有一個(gè)人拿著一根竹竿，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺。后來他沿著門的兩個(gè)對角斜著拿桿， 不多不少剛好進(jìn)去了 。你知道這 根竹竿有多長嗎？解：設(shè)竹竿長x尺，貝心框?qū)挒椋▁-4）尺，門框高為（x-2）尺。(x-2)2+(x-4)2=x2即：x2-12x+20=0。知識點(diǎn)2估計(jì)一元二次方程的取值范圍 在得到一元二次方

5、程后， 我們最關(guān)心的是它的解及其取值范圍。 可利用列表 取值法判斷一元二次方程的取值范圍，具體步驟如下：（1） 列表，利用未知數(shù)的取值分別計(jì)算方程ax2+bx+c工0）中ax2+bx+c的值;（2）在表中找出使ax2+bx+c的值可能等于0的未知數(shù)符合要求的取值范圍；（3）進(jìn)一步在（2）中的范圍內(nèi)列表、計(jì)算、估計(jì)范圍，直到符合題中精確度要 求為止。知識拓展：在估計(jì)一元二次方程解的取值范圍時(shí)，當(dāng)ax2+bx+c工0）的值由正變負(fù)或由負(fù)變正時(shí)，x的取值范圍很重要， 因?yàn)橹挥性谶@個(gè)范圍內(nèi)， 才能存在使ax2+bx+c=0成立的x值。第二節(jié) 配方法【知識點(diǎn)】 直接開平方（重點(diǎn)；掌握）定義：利用平方根的

6、定義直接開平方求一元二次方程的解的方法， 叫做直接開平 方法直接開平方法的理論依據(jù)是平方根的定義。 直接開平方法試用于解形如下（x+a）2 =b（b三0）的一元二次方程。先給出解題的前提條件，讓大家重點(diǎn)掌握！ （重點(diǎn)，必背）（下面的用在二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的情況下）1移（移常數(shù)項(xiàng)）2方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 構(gòu)成 （x+nx+n）2=m=m 的形式，然后開方（ x x， m m 只是代數(shù)） 解：x+m=Vn,x =Vnm?；颍ㄏ旅娴挠迷诙雾?xiàng)系數(shù)不為“1”的情況下） 化二次項(xiàng)系數(shù)為1 移 將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊3配：方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方4開方（x+m） 2=n（m,n只

7、是代數(shù)）5解:x+m=Vn,x =Vnm。上面的背好后 簡單記?。阂换?、二移、三配、四開、五解（統(tǒng)一使用此方法記?。?例題：課本P55頁隨堂練習(xí)（1）x 2-10 x+25 =7x 2-10 x+25-7=0（首先先使右邊為 0,將“ 7”移到左邊，左右兩邊移動要變號。）x 2-10 x+18 =0（為一元二次方程的一般形式）x2-10 x+52=-18+52（移，常數(shù)項(xiàng)“ 18”移到方程右邊；方程兩邊同乘以一次項(xiàng)系 數(shù)一半的平方）（x-5） 2=7（構(gòu)成 （x+m） 2=n 的形式了）x-5 =V7（解的步驟，從上一步到下一步，方程左邊去掉括號和平方后，右邊直 接開方,開不了的用根號。必須為

8、正和負(fù)兩個(gè)）二 x0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根判別式 =b2-4ac=0有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根判別式 =b2-4ac0沒有實(shí)數(shù)根_ -b Vb2-4ffc一元二次方程的根是(a0)【知識拓展】1.被開方數(shù)b 2-4ac必須是非負(fù)數(shù)，否 Vb 2-4ac沒有意義。2.由于根公式可知，一元二次方程的根是有其系數(shù)a,b,c決定的，只有確定了a, b,c的值，就可帶入公式求一元二次方程。方程的兩根與系數(shù)的關(guān)系：（也稱韋達(dá)定理）fci+x2=Xj .x2=-aa根據(jù)韋達(dá)定理逆推可得：當(dāng)方程的兩根為 xi=p，X2=q 時(shí)，方2程為：x -（p+q）x+pq=O計(jì)算時(shí)以一元二次方程一般式為主，不是的要先化，二次項(xiàng)系數(shù)

9、可以是非1的數(shù)；分別用a，b，c來取代 二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)。但方程右邊 確保要等于0的情況下?！咎崾尽肯葘⒁淮雾?xiàng)系數(shù)化為 1 （這樣能使方程簡便），然后再用 a、b、c 取值，但是在化為 1 時(shí)發(fā)現(xiàn)會出 現(xiàn)分?jǐn)?shù)的情況下，就盡量不要化為1，這個(gè)時(shí)候直接用 a、b、c 代替取值。例題1:=17x 2-7x-18=0（元二次方程一般形式）a=1b=-7c=-18（二次項(xiàng)系數(shù)或一次項(xiàng)系數(shù)為一的用1代替，常數(shù)項(xiàng)為0的照樣用0代替）b 2-4ac=（-7） 2-4X1X（-18） =121（牢記固定公式“b2-4ac”,直接計(jì)算）-b Vb2= 2a（套用公式）X1=9,X2=-9例題2:2x

10、2-9x+8=0a=2 b=-9 c=8b2-4ac =（-9） 2-4X2X8=81-64利用公式法可以求出有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根2.下列各一元二次方程是一般形式的是( )A. 6x2=10+5x B. 5x-6x2-10=0 C. 6x2-5x-103.下列方程不是整式方程的是A.22/2 x2+1/2x=1B. 0.2x3-0.4x2=0C.(x2+1)/5=3 D. 1/(x2+x)=24._方程8x2=x的二次項(xiàng)系數(shù)是_，一次項(xiàng)系數(shù)是_，常數(shù)項(xiàng)是_。5方程(x-23)(x+23)=0的二次項(xiàng)系數(shù)是_ ，一次項(xiàng)系數(shù)是_ ，常數(shù)項(xiàng)是_。6.關(guān)于x的方程kx2-k(x+2)=x(x+1)+6，

11、當(dāng)k_時(shí)，這個(gè)方程是一元二次方程。7._方程(m-1)x2+(m+1)x+3m+2=0，當(dāng)m_時(shí)，為一元一次方程；當(dāng)m_時(shí)，為一元二次方程。配方法1方程x2=0.16的根為()A. x=0.4 B. x=-0.4C. x1=0.4，x=0.4D. x1=0.4，x2=-0.42.用配方法解下列方程時(shí)，配方錯(cuò)誤的是( )A. x 2+2x-99=0，化為(x+1) 2=100練習(xí)題：1.下列是一元二次方程的是A. (x-1)x=x2 B.2x2+1()C. 2x2+1/x+1=0 D .x2=1D. 10+5x+6x2=2x+1B. m2-7m-4=0，化為(m-7/2) 2=65/4C. x2+8x+9=0，化為(x+4) 2=25D. 3x2-4x-2=0，化為(x-2/3) 2=10/93.諾n（nMO）是關(guān)于x的方程x2+mx+2n=O的根，貝Um+n的值為（）A.1B.2C.-1D.-24方程x2-2x-7=0的兩個(gè)根為（）A.-12V2B.1土2V2C.2V21D.2V25._諾關(guān)于x的一元二次方程x2+（k+3）x=0的一個(gè)根是-2,則另一個(gè)根是_。公式法1.如果xi，X2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根，則X1+X2的值是（）A.1B.5C