不等式恒成立能成立恰成立問題分析

1、不等式恒成立、能成立、恰成立問題分析一、不等式恒成立問題問題引入：已知不等式x2 2ax 1 0對x 1,2恒成立，其中a 0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：思路(1)通過化歸最值，直接求函數(shù)f (x) x2 2ax1的最小值解決，即fmin(X)0。思路(2)通過分離變量，轉(zhuǎn)化到L %2x 21、 L 一)解決,xx2 1即 a ()2xmin 。思路(3)通過數(shù)形結(jié)合，化歸到1 2ax作圖解決,1圖像在y2ax的上方。小結(jié)：不等式恒成立問題的處理方法1、轉(zhuǎn)換求函數(shù)的最值:(1)若不等式X在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間f x minx的下界大于A；(2)若不等式X在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)

2、間f x maxx的上界小于B。例已知f x2x a -對任意x 1, f x0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：等價(jià)于成立，又等價(jià)于x2 2x0對任意x 1, 恒1時(shí)，xa 1 在 1,min0成立.由于上為增函數(shù)，貝U - x min xa 3,所以2、分離參數(shù)法(1)將參數(shù)與變量分離，即化為(或gf x )恒成立的形式;(2)求f x在xD上的最大(或最小)值;(3)解不等式gf xmaxxmin),得的取值范圍。例已知函數(shù)f (x)ax 4x x2, x(0,4時(shí)f (x) 0恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。解：將問題轉(zhuǎn)化為4x x2a 對x(0,4恒成立。人.4x x2 一.令 g(x

3、),則 a g(x)minx4 1可知g(x)在(0,4上為減函數(shù)，故g(x)min Xg(4) 0a 0即a的取值范圍為(,0)。注：分離參數(shù)后，方向明確,思路清晰能使問題順利得到解決。例 已知二次函數(shù)f (x) ax20,1時(shí)，恒有f(x)1,求a的取值范圍。解： f(x)(1)當(dāng)1,21 ax綜上得,3、數(shù)形結(jié)合法(1)若不等式象上方;(2)若不等式象下方。例設(shè)f (x)0時(shí)，不等式x 1時(shí)，由(1x12)2(xa的取值范圍為x2 4x分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出1,0即1 x1顯然成立,2 axax214孑2(4x1)minx0,0.在區(qū)間在區(qū)間g(x)2,(1)max x2,2.D上

4、恒成立,D上恒成立,4x 13f (x)及 g(x)如圖所示，f(x)的圖象是半圓(x 2)2則等價(jià)于在區(qū)間則等價(jià)于在區(qū)間a,若恒有f(x)的圖象y2 4(y 0)D上函數(shù)D上函數(shù)g( x)的圖象是平行的直線系 4x3y 33a 0。要使f (x) g(x)恒成立,則圓心(2,0)到直線4x 3y 3 3a 0的距離g(x)成立，求實(shí)數(shù)和圖象在函數(shù)y g x圖和圖象在函數(shù)y g x圖a的取值范圍.-2xO滿足 d8 3 3a5斛付a5或a -(舍去)31例當(dāng)x (0,)時(shí)，不等式x2 logax恒成立，求a的取值范圍.2分析：注意到函數(shù) f(x) x2, g(x) log a x都是我們熟悉的

5、函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可知要使對一切小 1、,一 ，c 1、，22yi, ,、rx (0,2), f (x) g(x)恒成立，只要在(0,2)內(nèi)，g(x) logax的圖象在f (x) x圖象的上萬即可顯然一 E r110 a 1,再運(yùn)用函數(shù)思想將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即f (-) g(-).221 _ 一 .斛：設(shè)f (x) x , g(x) log a x ,則要使對一切x (0,-), f (x)g(x)恒成立，由圖象可知 0a 1,并2一 _ 11、.11且 f (2) g(2)，故有 log a - J ,1c ,1，a , 又 0 a 1 a 11616點(diǎn)評：通過上述的等價(jià)

6、轉(zhuǎn)化，使恒成立的解決得到了簡化，其中也包含著函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用。11此外，從圖象上直觀得到0 a 1后還需考查區(qū)間(0,萬)右端點(diǎn)x 3處的函數(shù)值的大小。4、變換主元法 例 對于?黃足0 p 4的一切實(shí)數(shù)，不等式 x2 px 4x p 3恒成立，試求x的取值范圍。分析：習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，記函數(shù) y x2 (p 4)x 3 p,于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)p 0,4時(shí)，y 0恒成立，求x的取值范圍.解決這個(gè)等價(jià)的問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當(dāng)復(fù)雜的。解：設(shè)函數(shù)f(p) (x 1)p (x2 4x 3),顯然x 1 ,則f (p)是p的一次函數(shù)，要使 f

7、(p) 0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f (0) 0,且f(4)0時(shí)，解得x的取值范圍是(，1)(3,)。點(diǎn)評：本題看上去是一個(gè)不等式問題，但是經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)化，把它化歸為關(guān)于p的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換變量角色。例 對任意a 1,1,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0恒成立，求x的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但若把a(bǔ)看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式 (x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上恒成立的問題。2解：令f(a) (x 2)a x 4x 4,則原問題轉(zhuǎn)化為f (a) 0恒成立(a 1,1)。當(dāng)x 2時(shí)，可得f(a) 0,不合題意。當(dāng)x

8、2時(shí)，應(yīng)有f*0。解之得x 1 或x 3。故x的取值范圍為(,1) (3,)。注：一般地，一次函數(shù)f(x) kx b(k0)在,上恒有f(x) 0的充要條件為f( )f()a 例設(shè)函數(shù)h(x)分析:x解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)2,2,都有h(x) 10在x 4,1恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。再處理另一個(gè)參數(shù)。以本題為例,實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決。方法1：化歸最值,h(x) 10h max ( x)方法2:變量分離,b 10方法3:變更主元,(a)(a x1x)或ax2 (10簡解:對于方法3:變更主元,即可,因?yàn)?0 0,原函數(shù)可以看成是關(guān)于(a)有最大值a的函數(shù)(a) max(a)

9、(2x10)max 0。當(dāng)1 gx 一時(shí),4,2(x b 10) max x練習(xí)題1、設(shè)fx2 2ax 2,當(dāng) x -1,+時(shí)，都有解：a的取值范圍為-3 , 12、R上的函數(shù)f x既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。解：由f2cos 2msin2m20得到:數(shù)，故有2-f cos 2msinf 2m2恒成立,又因?yàn)閒x為R減函數(shù)，從而有2 cos2msin成立。設(shè)sin t ,則 t2 2mt2m 11 1,2211010b 10 0,只需(a)maX01_-,1恒成立，只需0 ,得b的取值范圍是ba恒成立，求a的取值范圍。0,一時(shí),2r 2f cos2m 2對0,1恒

10、成立,有 f cos22msinf 2m2msinf 2m2因?yàn)閒 x為奇函0,-2圖2設(shè)函數(shù)g t t2 2mt 2m 1,對稱軸為t m當(dāng)tm 0時(shí),1 p一，又m20 m 0 （如圖1）當(dāng)1時(shí),當(dāng)/24m、24m 2m 10,即m2m1), g(x) x 1(1)求函數(shù)y f(x)的最小值m(a)；(2)若對任意x1、x2 0,2 , f (x2) g(x1)恒成立，求a的取值范圍.2令,、2224 a 1 2.(2) g(x) (x 1)2 ,當(dāng) x 0,2時(shí)，x 1 1,3,4又g(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞增(證明略)，故g(x) 0,3由題設(shè)，得解得1 & a1 2,8 4a2.6

11、 %為所求的氾圍.3.9 分12分14分f(x1) f(x2),當(dāng) x 0時(shí) f(x) 0(2)當(dāng) 015、已知函數(shù)的定義域?yàn)?R,對任意實(shí)數(shù)x1、x2,都滿足f(x1x2)(1)判斷函數(shù)f (x)的奇偶性，單調(diào)性;一時(shí)，f(cos2 3) f (4m 2mcos ) 0恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。 216、已知函數(shù)f(x)是定義在1,1上的奇函數(shù)，且f(1) 1,若a,b 1,1 , a b 0,有Xa2L(b)0,a b(1)證明f (x)在 1,1上的單調(diào)性；(2)若f (x) m2 2am 1對所有a 1,1恒成立，求 m的取值范圍。分析：第一問是利用定義來證明函數(shù)的單調(diào)性，第二問中

12、出現(xiàn)了3個(gè)字母，最終求的是 m的范圍，所以根據(jù)上式f(x)的最大值即可。將m當(dāng)作變量，a作為常量，而x則根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出(1)簡證：任取x1,x21,1且為 x2 ,則x21,1f(x1) f(x2)x x2 f(x1) f( x2)0又Q f (x)是奇函數(shù)x1 x2 f (x1) f (x2)0f (x)在 1,1上單調(diào)遞增。(2)解：Q f (x) m2 2am 1 對所有 x2m 2am 1 fmax , Q fmax f (1) 11,1 , a 1,1恒成立，即2 c/2-八m 2am 1 1 m 2am 02即g(a) 2am m 0在 1,1上恒成立。11- a -。221

13、g( 1) 1 2a 0 a 2g(1) 1 2a 01a -2高考真題全接觸:(2009 年，理 11)當(dāng) 0一，xx 1時(shí)，不等式sin 一2kx成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是,1(2006理，12)三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于x的不等式x2 25 x3 5x2 ax在1,12上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路.甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”a的取值范圍為丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，則解析：關(guān)鍵在于對甲，乙，丙的解題思路進(jìn)行

14、思辨，這一思辨實(shí)際上是函數(shù)思想的反映設(shè) f x x225 x3 5x2 , gx ax.甲的解題思路，實(shí)際上是針對兩個(gè)函數(shù)的,即把已知不等式的兩邊看作兩個(gè)函數(shù),設(shè) f x x225 x3 5x2 , gx ax其解法相當(dāng)于解下面的問題：對于Xi1,12 ,x21,12，若fx,g x2恒成立，求a的取值范圍.所以，甲的解題思路與題目1,12,f x g x恒成立，求a的取值范圍的要求不致。因而,甲的解題思路不能解決本題.按照丙的解題思路需作出函數(shù)25 x3 5x2的圖象和g xax的圖象。然而，函數(shù)f X的圖象并不容易作出。由乙的解題思路，本題化為a在x 1,12上恒成立，等價(jià)于x1,12 時(shí),a成立1,12時(shí)，有最小值10,于是a10.(2008 理,19)已知函數(shù)f(x)2x,12兇(1)若 f(x)(2)若 2tf(2t) mf(t) 0 對于 t1,2恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。1-2x【出題背景：本題考查函數(shù)的概