2020年高考試題——數(shù)學(xué)(理)(全國卷Ⅲ)

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng), 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試 卷上無效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一 項(xiàng)是符合題目要求的。1 已知集合人=(、，y)lx, yeN4, y2x), B = (x, y)lx+y=8),則 AAB 中元素的個(gè)數(shù)為D.6A.2B.3C.42 .復(fù)數(shù)

2、一的虛部是1-3/1C.103 1A. B.101C3 .在一組樣本數(shù)據(jù)中，1, 2, 3, 4出現(xiàn)的頻率分別為pi, p?, p3, p，且則下面四 r-l種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是A.pi=p4=0.L P2=P3=O.4B.pi=p4=0.4, P2=P3 = O.1C.pi=p4=0.2, p2=p3=O,3D.pi=p4=0.3, pa=pa = 0.24 .Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某 地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t的單位：天)的Logistic模型：/(/)=_£5，其中 K為最大確診病例數(shù)。當(dāng)I

3、(C=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則/約為(Inl9七3)A.60B.63C.66D.695 .設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C： y2=2px(p>0)交于D, E兩點(diǎn)，若ODJ_OE,則C 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A.(i, 0)B.(i, 0)C.(l, 0)D.(2, 0)426,已知向量 a, b 滿足lal=5, lbl=6, a b=-6,則 cos<a, a+b>=9A-衛(wèi)3527.在AABC 中，cosC= , AC=4, BC=3,則 cosB =1A.-9311B.-C.-328 .右圖為某幾何體的三視圖,2D.-3則該幾何體的表面積是A.6+4&

4、;B.4+4 應(yīng)C6+2#D.4+2/n 1917 n 19B.C.D.353535-9-9,已知 2tan0 tan(04- )=7,則 tan9= 4A.-2 B.-l C.l D.2 10.若直線/與曲線y= 6和圓x2+y2=-都相切，則/的方程為A.y=2x+1B.y=2x+ - C.y= -x+1 D.y=，x+，2222IL設(shè)雙曲線C：二一1=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為R, F2,離心率為"。P是C cr b-上一點(diǎn)，且BP_LBP,若PFR的面積為4,則2=A.l B.2C.4D.812,已知 55<83 134<850 設(shè) a=lo

5、gs3, b=logs5, c=logi38,則A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。x+y>013 .著x, y滿足約束條件, 2x-y 20 ,則z=3x+2y的最大值為。x<214 .（犬+ 卜的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：（用數(shù)字作答），X15,已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為16 .關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+ 有如下四個(gè)命題： sinxf(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。f(x)的圖像關(guān)于直線x=巳對(duì)稱。2f

6、(x)的最小值為2。其中所有真命題的序號(hào)是 0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17 .(12 分)設(shè)數(shù)列aj滿足 ai=3, anti=3an-4no(l)ifWa2, a3,猜想aj的通項(xiàng)公式并加以證明;(2)求數(shù)列2，n的前n項(xiàng)和Sno18.(12 分)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公I(xiàn)園鍛煉的人 次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：人次 空氣質(zhì)0,200(200,400(400,6001 (優(yōu))216252 (良)

7、510 <123 (輕度污染)67丁4(中度污染)721 0(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2, 3, 4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)； (3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”：若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或 4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下而的2X2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判 斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次W 400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好i附:K2 _Mud - bc)2(a + b)(c + d)(a + c)(

8、b + d)P(K2 > )0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(12 分)如圖，在長方體ABCD-AiBiGDi中,點(diǎn)E, F分別在棱DD” BB,±,且2DE=ED”BF=2FBi<,證明：點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)：(2)若AB = 2, AD=1, AA1 = 3,求二面角A-EF-A1的正弦值。20.(12 分)已知橢圓C：二十二=1(0<<5)的離心率為匹，A, B分別為C的左、右頂點(diǎn)。 25 nr4(1)求C的方程：(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且IBPI=IBQL BP_LBQ,求4APQ的面積。答案IC

9、2D 3B 4C 5B 6D 7A 8C 9D I0D 11A12A 13.7 14.240 15.凡 71 317.【答案(1) = 2/3 + 1； (2) S=(2%-1)2同+2.18.43 27 21 9【答案】：(1)： (2) 350： (3)有95%的把握認(rèn)為一天中到該公100 100 100 100園殷煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)19.【答案】：(1)略；(2)二面角力 班4的正弦值為半【解析】：證明：（1）在上取一點(diǎn)M，使得4“ = 24M ,分別連接日/，即1, eq,FJ.（微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)研討?yīng)毤医馕觯┰陂L方體ABCD-ABCQ、中,有DD】AABB,且DD二M二

10、叫乂 2DEEL,小歷=241/. BN = 2%,所以所以四邊形4EW和四邊形£7%LV/都是平行四邊形.所以即兒/且/=A儂，/4D/A/E且八D-ME,又在長方體/次第一 44GR中，有ADK且二片q,所以瓦G“且qc =八用，則四邊形4CEW為平行四邊形，所以川GA】g且就=4媽.乂 AF/MB、且AF=MB,所以/" Eg巨"'二EG，則四邊形月向QE為平行四邊形,所以點(diǎn)G在平面/印內(nèi).20.一十、z、/ 16y2z、5【答案】，(1) += 1 ; (2)2525221.3【答案工(1)6二一士：4(2)若(X)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明

11、：，(x)的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.【答案】；(1) 6 = -； (2)喀.(微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)研討?yīng)毤医馕? 4【解析】；(1> r(x)=3x2+/>,1、291 12?2單調(diào)遞漕，;單調(diào)遞減，易得 £1)=；燉)=4,：(2)設(shè)工為/(工)的一個(gè)零點(diǎn),根據(jù)題意，/(x.) = x?-1x.+c = O,且國£1,則c =.由卜. 4 1 , c'二一31+ j ,顯然c(xj在一，一5單調(diào)潮減.44設(shè)不為f(x)的零點(diǎn)，則必有(為)=工；-2七+。= 0,即一Lwc = -x：+±04444即01 ,所以/(4)的所有,f4x/-3x1-l = (.v1-lX2x1 + l)2 <0 (4X,3 - 3% +1 = (.r. + 1X2x,-1)20零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于L22.【答案】：(1) 4x/10 ； (2) 30cose-Qsin 6+12 = 0 .23.【解析】：(1)證明：,.4+ + C=(),.(4 + 6 + C)2=0.a2 +82 +c? +2。6 + 2。+ 2。= 0,即 2b + 2A + 2c4 = -Q2+/ +c2 )/. 2ab + 26c + 2ca < 09 /. ab + be + ca