最新奧數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)例題、練習及答案

1、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）教學目標：1 通過學生對應用題的條件與問題的全面分析，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的意識。2 通過比較與辨析，使學生進一步理解和掌握最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)”應用題的解題規(guī)律。3 .培養(yǎng)學生的合作交流意識和創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的空間觀念與想像力。教學過程：一、基本概念知識1.公約數(shù)和最大公約數(shù) 如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。 如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的 公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1，2，3, 4，6，12;18的約數(shù)有：1

2、，2，3, 6，9，18。自然數(shù)31,32/ ,an的最大公約數(shù)通常用符號（31,32/ ,an ）表示，例如，12和18的公約數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作（12，18）=6。（8，12） =4，（6，9，15） =3。2公倍數(shù)和最小公倍數(shù) 如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84,18 的倍數(shù)有：18，36，54，72，90,自然數(shù)31,32/，3n的最小公倍數(shù)通常用符號31,32廠，3n表示，例如

3、12和 18的公倍數(shù)有：36，72,.其中36是 12和18的最小公倍數(shù)，記作12，18=36。8 , 12=24 , 6 , 9, 15=90。3. 互質(zhì)數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。用短除法求若干個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的區(qū)別：求n個數(shù)的最大公約數(shù)：（1）必須每次都用n個數(shù)的公約數(shù)去除；（2） 一直除到n個數(shù)的商互質(zhì)（但不一定兩兩互質(zhì)）；（3）n個數(shù)的最大公約數(shù)即為短除式中所有除數(shù)的乘積。求n個數(shù)的最小公倍數(shù)：（1） 必須先用（如果有）n個數(shù)的公約數(shù)去除，除到 n個數(shù)沒有除去1以外的公約數(shù)后，在用 n-

4、1個數(shù)的公約數(shù)去除，除到 n-1個數(shù)沒有除1以外的公約數(shù)后，再用 n-2個數(shù)的公約 數(shù)去除，如此繼續(xù)下去，為保證這一條，每次所用的除數(shù)均可選質(zhì)數(shù)；（2） 只要有兩個數(shù)（被除數(shù)）能被同一數(shù)整除，就要繼續(xù)除，一定要除到n個數(shù)的商兩兩互質(zhì) 為止；（3）n個數(shù)的最小公倍數(shù)即為短除式中，所有除數(shù)和最后兩兩互質(zhì)的商的乘積。例1用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克 現(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋， 要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少 元錢？分析與解：因為144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格相等，所以144克一級茶

5、葉、180克二級茶葉、240克三級茶 葉，分裝的袋數(shù) 應相同，即分裝的袋數(shù)應是144, 180, 240的公約數(shù)。題目要求每袋的價格盡量低，所以 分裝的袋數(shù)應盡量多，應是144，180, 240的最大公約數(shù)。是144，180，240的最大公 約數(shù)。121520所以（144，180, 240） =2X 2X 3=12,即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最 低是 60- 12=5 （元）。例2用自然數(shù)a去除498, 450, 414,得到相同的余數(shù)，a最大是多少？分析與解：因為498, 450, 414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約 數(shù)應能被a整除。498-450=48, 45

6、0-414=36, 498-414=84。所求數(shù)是（48, 36, 84） =12。例3現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的 可以是多少？分析與解：只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大 公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是111T入手分析。三個數(shù)的和是1111，它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因為1111=101X 11,它的約數(shù)只能是1, 11, 101和1111, 由于三個自然數(shù)的和是1111,所以三個自然數(shù) 都小于1111, 1111不可能是三個自然數(shù) 的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個數(shù)為101, 101和909。所以所

7、求數(shù)是101。例4在一個30X 24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端 點外，共經(jīng)過多少個格點（橫線與豎線的交叉點）？分析與解：（30, 24） =6,說明如果將方格紙橫、豎都分成 6份，即分成6X6個相同 的矩形，那么每個矩形是由（30-6）X（ 24- 6） =5X 4 （個）小方格組成。在6X6的簡化圖中，對角線也是它所經(jīng)過的每一個矩形的對角線，所 以經(jīng)過5個格點（見左下圖）。在對角線所經(jīng)過的每一個矩形的5X4個小方格中，對角線不經(jīng)過任何格點（見右下圖）。弋所以，對角線共經(jīng)過格點（30, 24）-仁5 （個）例5甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分

8、15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因為要在起點相會，即 三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時間應是60,75,90的公倍數(shù)。所求時間為60 ,75,90=900 （秒）=15 （分）。例6爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的 7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年 就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爺爺和小明現(xiàn)在的年齡嗎？分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不 變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡 差也是5, 4, 3, 2,

9、 1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是 6, 5, 4, 3, 2的公倍數(shù)。6 , 5, 4, 3, 2=60 ,爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍。考慮到年齡的實際情況，爺爺與小明的年齡差應是 60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60-（ 7-1 ） =10 （歲），爺爺?shù)哪挲g=10X 7=70 （歲）。習題三、隨堂練習.丄*疋j珈ht丿j q ，丁琢刊j瓊wj網(wǎng)小公倍數(shù)是54,甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？2塊長方形地面.長12<,寬旳氷，要在它的四周和四角種樹，每兩 棵之間的距離相等.最少要種樹苗多少裸？每相鄰兩棵之間的距離是多少米丫3已知兩個自然數(shù)的積是5766,它們的最大公約數(shù)是31 求這兩個自

10、然 數(shù)。4. 兄弟三人在外工作.大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回 家一次兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？5將長茨分米，寬尬分氷，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能 大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體積是多少？ 一共可鋸多少塊？6箱地雷，每個地雷的重量相同，且都是超過1的整千克數(shù)，去掉箱子后地雷掙重201千克，拿出若干個地雷后，浄重1石千克求一個地雷的重量？最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)(二)摘要：這一講主要講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的 概念加以推廣。在求18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時，由短除法2| 18 12耳9

11、632可知，(18, 12) =2X 3=6, 18 , 12=2 X 3X 3X 2=36。如果把 18 與 12 的最大公約 數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么(18，12)X 18，12=(2X 3)X( 2X 3X 3X 2)=(2X 3X 3)X( 2X 3X 2)=18X 12。也就是說，18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當把18,12換成其它自然數(shù)時，依然有類似的結(jié)論。從而得出一個重要結(jié)論：兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個自然數(shù)的乘積。即，(a， b)X a， b=a X b。例1兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是 6,最小公倍數(shù)是72。已知其中一個

12、自然數(shù)是18, 求另一個自然數(shù)。解：由上面的結(jié)論，另一個自然數(shù)是(6X 72)- 18=24。例2兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是 7,最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77,求 這兩個自然數(shù)。分析與解：如果將兩個自然數(shù)都除以7,則原題變?yōu)椋骸皟蓚€自然數(shù)的最大公約數(shù)是 1,最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11,求這兩個自然數(shù)。”改變以后的兩個數(shù)的乘積是1X 30=30,和是11。30=1 X 30=2X 15=3X 10=5X 6,由上式知，兩個因數(shù)的和是11的只有5X 6,且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個 數(shù)是5和6,故原來的兩個自然數(shù)是7X 5=35和 7X6=42。例3已知a與b, a與c

13、的最大公約數(shù)分別是12和15, a, b, c的最小公倍數(shù)是120, 求 a, b, c。分析與解：因為12, 15都是a的約數(shù)，所以a應當是12與15的公倍數(shù)，即是12 ,15=60的倍數(shù)。再由a , b, c=120知，a只能是60或120。a , c=15，說明c沒 有質(zhì)因數(shù)2,又因為a , b, c=120=23 X 3X 5,所以c=15。因為a是c的倍數(shù)，所以求a, b的問題可以簡化為：“a是60或120, (a, b) =12,a , b=120，求 a, b?！?當 a=60時， b= (a, b)X a , b -a=12X 120- 60=24；當 a=120 時，b= (

14、a, b)X a , b - a裝入小瓶中，每個小=12X 120- 120=12。所以 a , b , c 為 60 , 24 , 15 或 120 , 12 , 15。要將它們?nèi)糠謩e139例4有甲*乙 丙三種溶液，分別重4三千克、巧千克和“千克&現(xiàn) 049瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公約數(shù)?，F(xiàn)在的問題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個問題，可以將重量 分別乘以某個數(shù)，將分數(shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個數(shù)。為此，先求幾個分母的最小公倍數(shù),6 , 4 , 9=36 ,三種溶液的重量都乘

15、以36后,變?yōu)?50 , 135和80 ,( 150 , 135 , 80) =5。上式說明,若三種溶液分別重150 , 135 , 80千克，則每瓶最多裝5千克?？蓪嶋H重 量是150 , 135 , 80的1/36 ,所以每瓶最多裝在例4中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分數(shù)問題。 為此，我們將最大公約數(shù)的 概念推廣到分數(shù)中。如果若干個分數(shù)(含整數(shù))都是某個分數(shù)的整數(shù)倍，那么稱這個 分數(shù)是這若干個分數(shù)的公約數(shù)。 在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)， 稱為這若干個分 數(shù)的最大公約數(shù)。由例4的解答，得到求一組分數(shù)的最大公約數(shù)的方法：(1) 先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；(2) 求出各個分數(shù)的分母的最小公倍

16、數(shù) a；(3) 求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù) b;(4) b即為所求。a5 52例5求5- , 2- , 6-的最大公約數(shù)。6 89解，先將各分數(shù)化為假分數(shù)N ” （ f潯到 t> o y亠 Q 影、 （35, 21, 56）7 歹二 & 9 P類似地，我們也可以將最小公倍數(shù)的概念推廣到分數(shù)中。如果某個分數(shù)（或整數(shù)）同 時是若干個分數(shù)（含整數(shù)）的整數(shù)倍，那么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的公倍數(shù)。在 所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最小公倍數(shù)。求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：（1）先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；（2）求出各個分數(shù)的分子的最小公倍數(shù) a；（3）求出各個分數(shù)的分母

17、的最大公約數(shù) b；呂即為所求。b個陷井。它 們之中誰先例6狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳6彳米，黃鼠狼每次跳316磊氷，它們每秒都只跳一次空比賽途中，從起點開始，每隔3扌米設有掉進陷井？它掉進陷井時另一個跳了多遠？91分析與解：狐貍掉逬陷井時與起點的距離應是畤和專的最小整數(shù)倍*即6彳和3寺的最小公倍數(shù)© 6扌功叫¥' fl二g 2 =半=%米）同理，黃鼠狼掉進陷井時與起點的距離為3163763, 7631 盧丄、6W（右戶計 2= （10, 2）=T = 312 （米），十2,所以狐貍掉逬陷井時跳了孫6討9 （次）.所以黃鼠狼掉進陷井時跳了 31 1/2 -

18、6 3/10=5（次）2 165 = 31（氷）a黃鼠狼先掉進陷井，它掉進陷井時，狐貍跳了：；-專題練習1. 將72和120的乘積寫成它們的最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式2. 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是12,最小公倍數(shù)是72。滿足條件的自然數(shù)有哪幾組?3. 求下列各組分數(shù)的最大公約數(shù)：564. 求下列各組分數(shù)的最小公倍數(shù):(1)2021152S1954；和癥的乘積是否等于它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積？69氣 氣？&有甲*乙 丙三科溶液，分別重匚 瀉和右千克?，F(xiàn)要將它們?nèi)?33部分別裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：最少要裝多少瓶？7有一塊圓形綠地，周圍種花卉，每隔E米種一株芙蓉，每隔町米種 一株牡丹，每隔4扌米種一株荼花，每隔2彳氷種一株菊花。已知4種花卉種 于同一處只有一次，求圓形綠地的周長。隨堂練習解答1岬數(shù)是以乙數(shù)是盤2每兩腔間的距離是6（廉最少要種樹苗嗦3解：設這兩個自餒數(shù)為酥臥A, B=5766+31=136oVI 86=2X3X31,述兩*自輜為31和嵋彌媒如25乩5每個竝體的枷是1跖立方分米-井可第映& 3千克.專題練習解答1.72 X 120=( 7, 120)X 72, 120 =24X 360。2.12 , 72 與 24, 36 兩組。提示：72- 12=6=1X 6=2