2019年高考數(shù)學(xué)(文科)二輪復(fù)習(xí)專題5 第3講 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題

1、3講圓錐曲線中的熱點(diǎn)問(wèn)題高考定位1.圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值、最值與范圍問(wèn)題是高考必考的問(wèn)題之一，主要以解答題形式考查，往往作為試卷的壓軸題之一；2.以橢圓或拋物線為背景，尤其是與條件或結(jié)論相關(guān)存在性開(kāi)放問(wèn)題.對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、計(jì)算能力有較高的要求，并突出數(shù)學(xué)思想方法考查.真題感悟x2yFF1.(2015全國(guó)卷)已知M(x0，0)是雙曲線C：2y21上的一點(diǎn)，1，2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1MF20，則y0的取值范圍是()33B.A.33，33，662222C.，332323D.，33x2x20解析由題意M在雙曲線C：2y21上，則20y21，00即x222y2.000由MF1MF20，得

2、(3x0，y0)(3x0，y0)x23y23y210，即3y0b0)，四點(diǎn)P1(1，1)，P2(0，1)，P31，中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn).(1)解由于點(diǎn)P3，P4關(guān)于y軸對(duì)稱，由題設(shè)知C必過(guò)P3，P4.1113又由a2b2a24b2知，橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在橢圓C上.11，22因此解得24ba224Ak1k2y1yA1241則k1k2y1y21kx1m1kx2m1mmm由題設(shè)可知16(4km1)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，x1x22.4

3、k14k1x1x2x1x2x2故C的方程為y21.(2)證明設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果直線l的斜率不存在，l垂直于x軸.設(shè)l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，1，得m2，此時(shí)l過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足.從而可設(shè)l：ykxm(m1).x2將ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.8km4m24222kx1x2（m1）（x1x2）.x1x2由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.4m248km1(2k1)4k2(m1)4k210.解之得m2k1，此時(shí)32(m1)0，方程有解，當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，直線l的方程為ykx

4、2k1，即y1k(x2).當(dāng)x2時(shí)，y1，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，1).考點(diǎn)整合1.圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值)，或者利用式子的幾何意義求解.溫馨提醒圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)是有范圍的，在涉及到求最值或范圍問(wèn)題時(shí)注意坐標(biāo)范圍的影響.2.定點(diǎn)、定值問(wèn)題(1)定點(diǎn)問(wèn)題：在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線的方程，不論參數(shù)如何變化，其都過(guò)某定點(diǎn)，這類問(wèn)題稱為定點(diǎn)問(wèn)題.若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0，m).(2)定值問(wèn)題：在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、

5、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參變量無(wú)關(guān)，這類問(wèn)題統(tǒng)稱為定值問(wèn)題.3.存在性問(wèn)題的解題步驟：(1)先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞浚鶕?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組).(2)解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無(wú)解則不存在.(3)得出結(jié)論.熱點(diǎn)一圓錐曲線中的最值、范圍【例1】(2016浙江卷)如圖所示，設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|1.2xsy1，故yAyB4，B2，.2t2ttN2，.(1)求p的值；(2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過(guò)B與x軸平行的直線和過(guò)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M，求M的橫坐標(biāo)

6、的取值范圍.解(1)由題意可得，拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x1的距離，p由拋物線的定義得1，即p2.(2)由(1)得，拋物線方程為y24x，F(xiàn)(1，0)，可設(shè)A(t2，2t)，t0，t1.AF不垂直于y軸，可設(shè)直線AF：xsy1(s0)，y24x，由消去x得y24sy40.12tt2t1又直線AB的斜率為t2，t21故直線FN的斜率為，t212從而得直線FN：y(x1)，直線BN：y.t232t1tt22t2tmt23設(shè)M(m，0)，由A，M，N三點(diǎn)共線得t2，t2t212t2211于是mt22t2，m0或m2.經(jīng)檢驗(yàn)知，m0或m2滿足題意.綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(，0)

7、(2，).探究提高求圓錐曲線中范圍、最值的主要方法：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，或者不等關(guān)系，或者已知參數(shù)與新參數(shù)之間的等量關(guān)系等，則利用代數(shù)法求參數(shù)的范圍.x2y23【訓(xùn)練1】已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E：a2b21(ab0)的離心率為2，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF3c3a244即k2時(shí)，x1，2.從而|PQ|k21|x1x2|4k2123的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.223解(

8、1)設(shè)F(c，0)，由條件知，得c3.c3又，所以a2，b2a2c21.x2故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).x2將ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)0，38k24k2344k214k214k23.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d2k21.所以O(shè)PQ的面積OPQd|PQ|.144k2324k21t244t設(shè)4k23t，則t0，OPQ4t4.tt247因?yàn)閠4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k時(shí)等號(hào)成立，且滿足0.22所以當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為y77x2或yx2.4a2x0令y0，得xN，從而|AN|2x

9、N2，y0x022y02y02x0x021x02y0y01x0221熱點(diǎn)二定點(diǎn)、定值問(wèn)題命題角度1圓錐曲線中的定值x2y2【例21】(2016北京卷)已知橢圓C：a2b21過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.(1)解由題意知a2，b1.x2所以橢圓方程為y21，又ca2b23.c3所以橢圓離心率e.(2)證明設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)(x00，y00)，00則x24y24，y1由B點(diǎn)坐標(biāo)(0，1)得直線PB方程為：y10(x0)，x01y0x0

10、y01由A點(diǎn)坐標(biāo)(2，0)得直線PA方程為y0(x2)，令x0，得yM，從而|BM|1yM1，1所以S四邊形ABNM2|AN|BM|202x24y04x0y04x08y042（x0y0x02y02）x2y22a【訓(xùn)練2】(2017唐山一模)已知橢圓C：221(ab0)的離心率為，點(diǎn)Qb，在橢圓上，O為坐2x0y02x04y042.x0y0x02y02即四邊形ABNM的面積為定值2.探究提高1.求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.2.定值問(wèn)題求解的基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，然后

11、證明與參數(shù)無(wú)關(guān)，這類問(wèn)題選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.ab2b標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)P，M，N為橢圓C上的三點(diǎn)，若四邊形OPMN為平行四邊形，證明四邊形OPMN的面積S為定值，并求該定值.x2y22(1)解橢圓a2b21(ab0)的離心率為2，e22，得a22b2，a又點(diǎn)Qb，在橢圓C上，橢圓C的方程為1.所以S|PN|OM|232226；所以x1x2，x1x212k212k2c2a2b21aa22bb2a2a2b41，聯(lián)立、得a28，且b24.x2y284(2)證明當(dāng)直線PN的斜率k不存在時(shí)，PN方程為x2或x2，從而有|PN|23，1122當(dāng)直線PN的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線

12、PN方程為ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)，將PN的方程代入橢圓C的方程，整理得(12k2)x24kmx2m280，4km2m28，12k2，2mSd|PN|m|x1x2|12k（x1x2）4x1x22my1y2k(x1x2)2m，4km12k212k2由OMOPON，得M.將M點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓C方程得m212k2.|m|又點(diǎn)O到直線PN的距離為d1k2，|PN|1k2|x1x2|，2248k2242k2126.化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為1.GH中點(diǎn)E1坐標(biāo)為2，2k12k21，綜上，平行四邊形OPMN的面積S為定值26.命題角度2圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題【例22】(2017哈爾濱模

13、擬)已知兩點(diǎn)A(2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的投影是Q，且2PAPB|PQ|2.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)F(1，0)作互相垂直的兩條直線交軌跡C于點(diǎn)G，H，M，N，且E1，E2分別是GH，MN的中點(diǎn).求證：直線E1E2恒過(guò)定點(diǎn).(1)解設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0，y).2PAPB|PQ|2，2(2x)(2x)y2x2，x2y2421(2)證明當(dāng)兩直線的斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)lGH：yk(x1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，lMN：yk(x1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，x2y21，聯(lián)立42yk（x1），消去y得(2k21)x24k2x2k

14、240.則0恒成立.4k22k241x1x22k2，且x1x22k21.2k2k，2k同理，MN中點(diǎn)E2坐標(biāo)為k22k2，lE1E2的方程為yx，過(guò)點(diǎn)，0，當(dāng)兩直線的斜率分別為0和不存在時(shí)，lE1E2的方程為y0，也過(guò)點(diǎn)，0，綜上所述，lE1E2過(guò)定點(diǎn)，0.3a433又c22，a24，即橢圓C的方程為1.23kkE1E22（k21），3k222（k21）332233探究提高1.動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設(shè)條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(m，0)2.動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，

15、得出定點(diǎn).x2y24【訓(xùn)練3】(2017菏澤調(diào)研)已知焦距為22的橢圓C：a2b21(ab0)的右頂點(diǎn)為A，直線y3與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)(P在Q的左邊)，Q在x軸上的射影為B，且四邊形ABPQ是平行四邊形.(1)求橢圓C的方程；N.D(2)斜率為k的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，若M是橢圓的左頂點(diǎn)，是直線MN上一點(diǎn)，且DAAM.點(diǎn)G是x軸上異于點(diǎn)M的點(diǎn)，且以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)G是定點(diǎn).(1)解設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，四邊形ABPQ是平行四邊形，|AB|PQ|，a|PQ|2|OB|，|AB|2|OB|，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，代入橢圓C的方程得b22，x2y2

16、42(2)證明設(shè)直線MN的方程為yk(x2)，N(x0，y0)，DAAM，D(2，4k).則2x0，即x012k212k2x2y21，由42消去y得(12k2)x28k2x8k240，yk（x2），8k2424k2，4ky0k(x02)，則N12k212k2，8k24k12k212k2，12k212k24k24k212k2設(shè)G(t，0)，則t2，若以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，則DGAN，GDAN0恒成立.GD(2t，4k)，AN，8k24kGDAN(2t)4k0恒成立，12k2即8k2t0恒成立，【例3】(2017長(zhǎng)沙調(diào)研)已知橢圓C：221(ab0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)P1，F(xiàn)為

17、其右焦點(diǎn).ab22a2又點(diǎn)P1，在橢圓上，所以231321，所以橢圓方程為1.解得k0，1122設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，32k2，64k212.由消去x2得x134k2將x22x14代入，得x1(2x14)34k2因?yàn)锳MF與MFN的面積相等，所以|AM|MN|，所以2x1x24.416k2.64k212將代入到式，整理化簡(jiǎn)得36k25.k56，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè)66故直線l的方程為y55(x4)或y(x4).探究提高1.此類問(wèn)題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種.若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，不成立則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其

18、表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論.2.求解步驟：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.x【訓(xùn)練4】(2017新鄉(xiāng)三模)已知拋物線C：22py(p0)的焦點(diǎn)為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(1)D是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E(1，3)，若直線AB過(guò)焦點(diǎn)F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在實(shí)數(shù)p，使|2QAQB|2QAQB|？若存在，求出p的值；若不存在，說(shuō)明理由.解(1)直線

19、2xy20與y軸的交點(diǎn)為(0，2)，F(xiàn)(0，2)，則拋物線C的方程為x28y，準(zhǔn)線l：y2.設(shè)過(guò)D作DGl于G，則|DF|DE|DG|DE|，當(dāng)E，D，G三點(diǎn)共線時(shí)，|DF|DE|取最小值235.(2)假設(shè)存在，拋物線x22py與直線y2x2聯(lián)立方程組得：x24px4p0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，(4p)216p16(p2p)0，則x1x24p，x1x24p，Q(2p，2p).44|2QAQB|2QAQB|，QAQB.則QAQB0，得(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)5x1x2(46p)(x1x2)8p28p4

20、0，1代入得4p23p10，解得p或p1(舍去).1因此存在實(shí)數(shù)p，且滿足0，使得|2QAQB|2QAQB|成立.1.解答圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題，從三個(gè)方面把握：(1)從特殊開(kāi)始，求出定值，再證明該值與變量無(wú)關(guān)：(2)直接推理、計(jì)算，在整個(gè)過(guò)程中消去變量，得定值；(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項(xiàng)里面分離出來(lái)，并令其系數(shù)為零，可以解出定點(diǎn)坐標(biāo).2.圓錐曲線的范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.3.存在性問(wèn)題求

21、解的思路及策略(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在.(2)策略：當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.一、選擇題x21.(2017全國(guó)卷)若a1，則雙曲線a2y21的離心率的取值范圍是()A.(2，)C.(1，2)c2a211解析由題意e2a2a21a2，1因?yàn)閍1，所以11a22，則1e2.答案CB.(2，2)D.(1，2)x22.F1，F(xiàn)2是橢圓4y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則PF1PF2的最大值是()A.2C.2B.1D.4解析設(shè)P(x，y)，依題意得點(diǎn)F1(3，0)，F(xiàn)2(3

22、，0)，33PF1PF2(3x)(3x)y2x2y234x22，注意到24x221，因此PF1PF2的最大值是1.答案B3.(2017沈陽(yáng)二模)若點(diǎn)P為拋物線y2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為()A.2B.12C.14D.184.(2017全國(guó)改編)橢圓C：1的焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)A，B是長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)，若曲線C上存在點(diǎn)M解析根據(jù)題意，拋物線y2x2上，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，則有|PF|d，拋物線的方程為y2x2，即1111x22y，其準(zhǔn)線方程為y8，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，d有最小值8，即|PF|min8.答案Dx2y23m滿足AMB120，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(3，

23、)C.(0，3)B.1，3)D.(0，1bm解析依題意，當(dāng)0m3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要在曲線C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，a3則tan60，即3，解得0m1.答案D5.(2017全國(guó)卷)過(guò)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，且斜率為3的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MNl，則M到直線NF的距離為()A.5C.23B.22D.331解析由題知MF：y3(x1)，與拋物線y24x聯(lián)立得3x210x30，解得x13，x23，所以M(3，23).因?yàn)镸Nl，所以N(1，23)，yaxe222，因此1e0，b0)的一條漸近線與拋物線y2x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，若x01，則雙曲線C的

24、離心率e的取值范圍是_.x2y2b解析雙曲線C：a2b21的一條漸近線為yax，y2x，b2聯(lián)立b消去y，得a2x2x.b2由x01，知a21，b20)，B(x2，y2)(y20).y2則|AC|BD|x2y142y1.又y1y2p24.|AC|BD|2(y2b0)的離心率是23，點(diǎn)P1，在橢圓E上.2a4b1，c3，4(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P且斜率為k的直線l交橢圓E于點(diǎn)Q(xQ，yQ)(點(diǎn)Q異于點(diǎn)P)，若0xQ0，14k4k43k1214k4k43k11.解得36224k243k1，0xQ1，2201，即2214k23232k，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.直線l斜率k的取值范圍是33232，或，.622x2y2221(ab0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)，且離心率為10.(2017延安調(diào)研)如圖，橢圓E：a2b2.a222則x1x2，x1x212k212