平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件

1、 第九章第九章 第六節(jié)第六節(jié) 平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 一、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件一、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 二、全微分的原函數(shù)計算二、全微分的原函數(shù)計算 三、小結(jié)與作業(yè)三、小結(jié)與作業(yè) 2019年12月9日星期一 1 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 一、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件一、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 1. 曲線積分與路徑無關(guān)的定義曲線積分與路徑無關(guān)的定義 如果在區(qū)域如果在區(qū)域 G 內(nèi)有內(nèi)有 y ? ?LPdx? ?Qdy? ?1? ?LPdx? ?QdyL1?B L2G 2則稱曲線積分則稱曲線積分? ?LPdx? ?Qdy在在G

2、內(nèi)內(nèi) A ?o 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),否則與路徑有關(guān)否則與路徑有關(guān).其中點A和B任取，從A到B的曲線 L1,L2任取. x 值得一提的是，值得一提的是，曲線積分在區(qū)域曲線積分在區(qū)域 G 內(nèi)與路徑無內(nèi)與路徑無關(guān)與沿關(guān)與沿G 內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零是等價的內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零是等價的 2019年12月9日星期一 2 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 事實上，事實上，從前面的討論知道，從前面的討論知道，如果曲線積分與路如果曲線積分與路徑無關(guān)，那么徑無關(guān)，那么 ?故故 ?而而 L1Pdx?Qdy?Pdx?Qdy L2L2Pdx?Qdy? ?L2?Pdx?Qdy 因因此，此， 在區(qū)域在區(qū)

3、域G 內(nèi)由內(nèi)由這里這里L(fēng)1?L是一條有向閉曲線是一條有向閉曲線 曲線積分與路徑無關(guān)可推得在曲線積分與路徑無關(guān)可推得在 G 內(nèi)沿閉曲線的曲線積內(nèi)沿閉曲線的曲線積分為零分為零. 反過來，反過來，由在由在G 內(nèi)沿任意閉曲線的曲線積分為零也內(nèi)沿任意閉曲線的曲線積分為零也可推得在區(qū)域可推得在區(qū)域G 內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān). 2019年12月9日星期一 3 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 L1?L2?2Pdx?Qdy?0, 2.平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件 定理定理 1 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域是一個單連通域 , 函數(shù)函數(shù)P(x,y), Q(x

4、,y)在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則曲線積分則曲線積分? ?Pdx? ?Qdy在在G內(nèi)內(nèi)L與路徑無關(guān)與路徑無關(guān) （或沿（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充?Q?P要條件是要條件是?在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立.（證明略）（證明略） ?y?x注意：注意：兩條件缺一不可兩條件缺一不可 (1) 開區(qū)域開區(qū)域G是一個單連通域是一個單連通域. (2) 函數(shù)函數(shù)P(x,y), Q(x,y)在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 積分與路徑無關(guān)的意義：可以選擇另一條容易計算的 路徑計算曲線積分，從而達到簡化計算的目的. 2019年12月9日星期一

5、 4 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 二、全微分的原函數(shù)計算二、全微分的原函數(shù)計算 問題： (x,y),Q(x,y)滿足什么條件時，Pdx ?QdyP是某二元函數(shù) u(x,y)的全微分？ 定理定理 2 設(shè)設(shè) 開開 區(qū)區(qū) 域域G是是 一一 個個 單單 連連 通通 域域, 函函 數(shù)數(shù)P(x,y), Q(x,y)在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則則P(x,y)dx? ?Q(x,y)dy在在G內(nèi)為某一函數(shù)內(nèi)為某一函數(shù)u(x,y)的全微分的充要條件是等式的全微分的充要條件是等式 ? ?P? ?Q? ? ? ?y? ?x在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. （證明略）（證明略）2019年12

6、月9日星期一 5 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 u(x,y)？ 問題：如何求 ?Q?P?當(dāng) 時 ?x?yy? ?A(x0,y0)?B(x,y)?C(x,y0)u(x,y)?(x,y)o(x,y)x(x0,y0)P(s,t)ds?Q(s,t)dt? ?P(s,t)ds?Q(s,t)dt?(x0,y0)(x,y0)?(x,y0)?P(s,y0)ds?Q(x,t)dtx0y0 xy?或或 ? ?P(s,t)ds?Q(s,t)dt?(x0,y0)(x0,y)?(x0,y)(x,y)?Q(x0,t)dt?P(s,y)dsy0 x0yx2019年12月9日星期一 6 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁

7、 返回返回 例例 1 1 計算計算 ? ?(x? ?2xy)dx? ?(x? ?y )dy. .其中其中L L為由點為由點224L? ?xO(0 ,0 )到點到點B(1 ,1 )的曲線弧的曲線弧y? ?sin. . 2解解: ? ?P? ? ?(x2? ?2xy)? ?2x? ?y? ?y? ?P? ?Q? ? ? ?， ? ?Q? ?2? ?y? ?x4? ?(x? ?y )? ?2x 原積分與路徑無關(guān)原積分與路徑無關(guān) ? ?x? ?x故原式故原式 ? ? ?01O(0 ,0 )?A (1 ,0 )A (1 ,0 )?B(1 ,1 )23x dx? ? ?0(1? ?y )dy ? ?.15

8、214 思考：如果選擇路徑 y?x又該如何計算？ 2019年12月9日星期一 7 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 例例 2 2 驗證：在整個驗證：在整個xOy面內(nèi)，面內(nèi)， 4sinxsin3 ycosxdx?3cos3 ycos2xdy 是某一函數(shù)是某一函數(shù) u(x,y) 的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù) . . 證明：證明：P?4sinxsin3ycosx，Q? ?3cos3 ycos2x， ?P?Q則則在整個在整個 xOy面內(nèi)恒成立，面內(nèi)恒成立， ?6cos3 ysin2x?y?x因此，在整個因此，在整個 xOy面內(nèi)，面內(nèi)， 4sinxsin3 ycos

9、xdx?3cos3 ycos2xdy 是某一函數(shù)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分的全微分. 為了求得這個函數(shù)為了求得這個函數(shù)u(x,y)， 取積分路徑如下圖所示取積分路徑如下圖所示,那么那么 2019年12月9日星期一 8 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 u(x,y)?OA(x,y)(0,0)4sinssin3 tcossds?3cos3 tcos2sdt ?4sinssin3 tcossds?3cos3 tcos2sdt ?4sinssin3 tcossds?3cos3 tcos2sdt AB?0d s?(?3cos3 tcos2x)dt 00 xy? ?cos2x?cos3td(3

10、t) 0y? ?cos2xsin3y 2019年12月9日星期一 9 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 例例 3 3 驗證在整個驗證在整個xOy面內(nèi)面內(nèi), , (x?2y)dx?(2 x?y)dy 是某一函數(shù)是某一函數(shù)u(x,y)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的函數(shù). . 證明：證明：因為因為 P?x?2y,Q?2x?y， ?P?Q所以所以在整個在整個 xOy面內(nèi)恒成立，面內(nèi)恒成立， ? 2?y?x因此，因此，在整個在整個xOy面內(nèi)，面內(nèi)，(x?2y)dx?(2x?y)dy是某是某一函數(shù)一函數(shù)u(x,y)的全微分，即有的全微分，即有 (x?2y)dx?(2x?y)

11、dy?du. 2019年12月9日星期一 10 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 于是就有于是就有 ?u?x?2y， （1） ?x?u? 2x?y. （2） ?y由（由（1）式得）式得 12 u( x, y)?(x?2y) d，x?x?2xy?( y ) （3） 2其中其中?(y)是以是以y為自變量的一元函數(shù)，為自變量的一元函數(shù)，將將（3）式代入式代入（2）式，得）式，得 2x? (y)?2x?y. （4） 2019年12月9日星期一 11 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 比較（比較（4）式兩邊，得）式兩邊，得 ?(y)?y， 12于是于是 ?(y)?y?C （其中（其中C 是任

12、意常數(shù)）是任意常數(shù)）, 2代入（代入（6）式便得所求的函數(shù)為）式便得所求的函數(shù)為 1212u(x,y)?x?2xy?y?C . 222019年12月9日星期一 12 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1.平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件; ?Q?P?x?y2. 全微分的原函數(shù)計算全微分的原函數(shù)計算. u(x,y)?(x,y)(x0,y0)P(s,t)ds?Q(s,t)dt2019年12月9日星期一 13 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題 條條在單連通開區(qū)域在單連通開區(qū)域D上上P(x,y),

13、Q(x,y)具有具有件件 連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個命題成立則以下四個命題成立. 等等 （1） 在在G內(nèi)內(nèi)?Pdx?Qdy與路徑無關(guān)；與路徑無關(guān)； L價價 （2）?LPdx?Qdy?0，閉曲線，閉曲線L?G 命命 （3）在在G內(nèi)存在內(nèi)存在u(x,y)，使，使du? Pdx?Qdy ?P?Q題題 （4）在）在G內(nèi)，內(nèi)，?y?x 2019年12月9日星期一 14 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 作業(yè)作業(yè) 習(xí)題習(xí)題96 2(1)，3(3) 2019年12月9日星期一 15 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 補充例補充例題題 設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分? ?xy dx? ?y? ?(x)dy 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), , 其中其中? ?具有連具有連L2續(xù)的導(dǎo)數(shù)續(xù)的導(dǎo)數(shù), , 且且? ?(0)? ?0, ,計算計算? ?2(1 ,1 )(0,0)xy dx? ?y? ?(x)dy. .2 解解: P(x, y)? ?xy ,Q(x, y)? ?y? ?(x),? ?P? ? ?Q? ?2? ?(xy )? ?2xy,? ?y? ?(x)? ?y? ? ?(x),? ?y? ?y?