期權(quán)定價模型

1、 1973年，美國芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權(quán)價格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，Robert C. Merton獨(dú)立地提出了一個更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。在本章中，我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價的一般方法。 1 我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價，必須先了解股票本身的走勢。因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的

2、情況下，期權(quán)價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權(quán)價格的最根本因素。 因此，要研究期權(quán)的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在 了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價。 在下面幾節(jié)中我們會用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價的思想。2 布朗運(yùn)動（Brownian Motion）起源于英國植物學(xué)家布郎對水杯中的花粉粒子的運(yùn)動軌跡的描述。 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動兩大特征：特征特征1 (正態(tài)分布正態(tài)分布)特征特征2：對于任何兩個不同時間間隔 ， 的值相互獨(dú)立。(獨(dú)立增量獨(dú)立增量） zzt 3維納過程的性質(zhì) z (T ) z (0)也是正態(tài)分布 均值等于 0 方差等

3、于T 標(biāo)準(zhǔn)差等于 方差可加性TniitzTz1)0()(為何使用布朗運(yùn)動？ 正態(tài)分布的使用：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布 數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1 和特征2的維納過程是一個馬爾可夫隨機(jī)過程 維納過程在數(shù)學(xué)上對時間處處不可導(dǎo)和二次變分（Quadratic Variation）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的5 1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息。1、弱式效率市場假說2、半強(qiáng)式效率市場假說3、強(qiáng)式效率市場假說 根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)

4、國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認(rèn)為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機(jī)過程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。有效市場三個層次61、弱式效率市場假說認(rèn)為，證券價格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。2、半強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，證券價格會迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。3、強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在

5、股價中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。 一般認(rèn)為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機(jī)過程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。 馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機(jī)過程。在這個過程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。 如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則意味著其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格，這顯然和弱式效率市場假說是一致的。 bdzadtdx 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動的擴(kuò)展：普通布郎運(yùn)動，令漂移率為a，方差率為b2，：

6、or: x(t)=x0+at+bz(t) 遵循普通布朗運(yùn)動的變量x是關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程：adt為確定項(xiàng)，意味著x的漂移率是每單位時間為a；bdz是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對x的時間趨勢過程所添加的噪音，使變量x圍繞著確定趨勢上下隨機(jī)波動，且這種噪音是由維納過程的b倍給出的。9普通布朗運(yùn)動的離差形式為 ，顯然，x也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為tbtaxtatb tb 2 1、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為b2T。 2、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動為普通布朗運(yùn)動的特例。 Tb10 普通布朗運(yùn)動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作

7、變量x和時間t的函數(shù)，我們就可以得到 這就是伊藤過程（Ito Process）。其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 dztxbdttxadx),(),(11ttbdzdsaxtx000)( 在伊藤過程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進(jìn)一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222 其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。這就是著名的伊藤引理。 12伊藤引理的運(yùn)用 如果我們知道x遵循的隨機(jī)過程，通過伊藤引理 可以推導(dǎo)出G (x, t )遵循的隨機(jī)過程。 由于衍生產(chǎn)品價格是標(biāo)的

8、資產(chǎn)價格和時間的函數(shù)，因此隨機(jī)過程在衍生產(chǎn)品分析中扮演重要的角色。 一般來說，金融研究者認(rèn)為證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 S2的伊藤過程（即幾何布朗運(yùn)動）來表示： 2dSSdtSdz 之所以采用幾何布朗運(yùn)動其主要原因有兩個： 一是可以避免股票價格為負(fù)從而與有限責(zé)任相矛盾的問題，二是幾何布朗運(yùn)動意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)分布，這與實(shí)際較為吻合。 14案例案例11.1 運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機(jī)過程所遵循的隨機(jī)過程假設(shè)變量S服從其中和都為常數(shù)，則lnS遵循怎樣的隨機(jī)過程？由于和是常數(shù)，S顯然服從 ， 的伊藤過程，我們可以運(yùn)用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨

9、機(jī)過程。令 ，則代入式 我們就可得到 所遵循的隨機(jī)過程為 由于dlnS是股票的連續(xù)復(fù)利收益率，得出的公式說明股票的連續(xù)復(fù)利收益率服從期望值 ，方差為 的正態(tài)分布。dSSdtSdz( , )a S tS( , )b S tSSGln0,1,1222tGSSGSSGbdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SGln2ln()2dGdSdtdz2()2dt2dt*隨機(jī)微積分與非隨機(jī)微積分的差別lndSdSS15 從案例11.1我們已經(jīng)知道，如果股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，則有 1 從自然對數(shù)的定義域可知，S不能為負(fù)數(shù)。2 股票價格的對數(shù)服從普通布朗運(yùn)動，股票價格和連續(xù)復(fù)利收益率服從對數(shù)正態(tài)分布2

10、ln()2dGdSdtdz22222()22 ()()lnln ()(),ln ln()(),()var()1TTT tTT tT tTSSTtTtSSTtTtE SSeSS ee 16 3. Tt期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示為 ，可知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布 是股票連續(xù)復(fù)利收益率的年化標(biāo)準(zhǔn)差，它也被稱為股票價格的波動率（Volatility）4. 百分比收益率與連續(xù)復(fù)利收益率。lnlnTSSTt22(),Tt17:1、幾何布朗運(yùn)動中的期望收益率。 2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理， 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而

11、幸運(yùn)的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率 是無關(guān)的。 3 、較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ，這是因?yàn)檩^長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。 2/2181、證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差 2、一般從歷史的證券價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對時間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動率的估計值。在計算中，一般來說時間距離計算時越近越好；時間窗口太短也不好；一般來說采用交易天數(shù)計算波動率而不采用日歷天數(shù)。 :19當(dāng)股票價格服從幾何布朗運(yùn)動時，由于衍生證券價格G是標(biāo)的證

12、券價格S和時間t的函數(shù)G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下過程： 比較（11.1）和（11.11）可看出，衍生證券價格G和股票價格S都受同一個不確定性來源dz的影響，這點(diǎn)對于以后推導(dǎo)衍生證券的定價公式很重要。SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(222220假設(shè)：1、證券價格遵循幾何布朗運(yùn)動，即 和 為常數(shù)；2、允許賣空標(biāo)的證券；3、沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；5、不存在無風(fēng)險套利機(jī)會；6、證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；7、衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。 21 由于證券價格S遵循

13、幾何布朗運(yùn)動，因此有：其在一個小的時間間隔 中，S的變化值 為： 在一個小的時間間隔中，f的變化值 為：zStSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222 設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得： SdzSdtdSStf22 為了消除風(fēng)險源 ，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值，則： zSfffSx 在 時間后，該投資組合的價值變化 為：ffSS t代入和可得fStSSftf)21(222223tSSftf)21(2222中不含任何風(fēng)險源，因 此組合必須獲

14、得無風(fēng)險收益，即tr代入上式可得tSSffrtSSftf)()21(2222化簡為rfSfSSfrStf222221*這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。24 觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者對于在對衍生證券定價時，所有投資者對于dz所蘊(yùn)涵的風(fēng)險都是風(fēng)險中所蘊(yùn)涵的風(fēng)險都是風(fēng)險中性的。性的。在所有投資者對dz都是風(fēng)險中性

15、的條件下（有時我們稱之為進(jìn)入了一個關(guān)于dz的“風(fēng)險中性世界”），所有風(fēng)險源為dz的證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率r，因?yàn)轱L(fēng)險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險。同樣，在風(fēng)險中性條件下，所有風(fēng)險源為dz的現(xiàn)金流都應(yīng)該使用無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。25 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權(quán)價值為0.5元；若3個月后該股票價格

16、等于9元，則該期權(quán)價值為0。 風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用26 為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于( 11 0.5)元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9 元。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)?值，使3個月后該組合的價值不變，這意味著： 11 0.5=9 =0.25 因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個月后股票價格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。27 假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，則該組合

17、的現(xiàn)值應(yīng)為： 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此： 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為0.31元，否則就會存在無風(fēng)險套利機(jī)會。 元19. 225. 225. 01 . 0e元31. 019. 225. 010ff28 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求：0.1 0.2510119(1)ePPP=62.66%

18、。29 又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：0.15 0.2510119(1)ePPP=69.11%。 可見，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于0.31元。30 在風(fēng)險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：)0 ,max(XSET其中， 表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： )0 ,max()(XSEecTt

19、TrE31對右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：)()(2)(1dNXedSNctTrtTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln( N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)(即這個變量小于x的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們有 。 )(1)(xNxN 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式。()max(,0)r T tTceESX從可以解得：323334222lnlnln2lnln22lnmax(,0)max(,0) ()() ()0 ()() (ln)ln() ()1()21ln2TTTTTXTTTTTXSTTXsW mX msWsW mX

20、mX mssW ssmX msESXSXh SdSSX h SdSh SdSeX hSdSeX h W dWeedWXh W dWmXeedWXNs222ln22ln2lnln22smX mssr T tSrTtXeh W dWXNTtSSrTtrTtXXSeNXNTtTt 35 36 37無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價公式 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：)()(12)(dSNdNXeptTr38無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式 在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式同樣是：(

21、)12()()r T tCSN dXeN d39有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式 對于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風(fēng)險部分。當(dāng)期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。表示風(fēng)險部分遵循隨機(jī)過程的波動率，就可直接套用公式:分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。)()(12)(dSNdNXeptTr)()(2)(1dNXedSNctTr40 因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌

22、期權(quán)的價格。 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將 代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率)(tTqSe證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 一般來說，期貨期權(quán)、股指期權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風(fēng)險利率。41有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近 似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式

23、看漲期權(quán)是否合理，若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在 nt 提前執(zhí)行可能是合理nt價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。 時刻到期的歐式看漲期權(quán)的的，則要分別計算在T時刻和42 案例11.6 假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個月和11個月后各有一個除權(quán)日，每個除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價為50元，期權(quán)協(xié)議價格為50元，標(biāo)的股票波動率為每年30%，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價值。 美式看跌期權(quán)的定價 美式看跌期權(quán)無論標(biāo)的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價關(guān)系，因此我們

24、一般通過數(shù)值方法來求美式看跌期權(quán)的價值。44我們已經(jīng)知道，B-S-M期權(quán)定價公式中的期權(quán)價格取決于下列五個參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場價格、執(zhí)行價格、到期期限、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。45（一）估計無風(fēng)險利率在發(fā)達(dá)的金融市場上，很容易獲得無風(fēng)險利率的估計值，但在實(shí)際應(yīng)用時仍然需要注意幾個問題。首先，要選擇正確的利率。要注意選擇無風(fēng)險的即期利率（即零息票債券的到期收益率），而不能選擇附息票債券的到期收益率，并且要轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的形式，才可以在B-S-M公式中應(yīng)用。一般來說，在美國人們大多