比例線段與三角形一邊的平行線講解

1、中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌N1SMART精銳教育精銳教育網(wǎng)站： 5學(xué)員編號(hào):學(xué)員姓名:級(jí)：九年級(jí)輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時(shí)數(shù)：3學(xué)科教師：張俊授課類型T同步課堂C專題T能力提升精銳教育學(xué)科輔導(dǎo)講義AD AE AD AE DBDB EC , AB AC , ABECACDEBCAD AEAB AC授課日期及時(shí)段家庭作業(yè)教學(xué)內(nèi)容同步課堂一、知識(shí)點(diǎn)梳理:1 .三角形一邊的平行線性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例第三邊. ADEBC2 .三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊

2、對(duì)應(yīng)成比例 三角形重心要掌握三點(diǎn)：1 .定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.2 .作法：兩條中線的交點(diǎn).3 .性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍3、三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的丁 | 1SMART 精銳教育中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線 （這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊4、平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例用符號(hào)語言表示：AD/ B

3、E/ CF,AB DE BC EF AB DE,.BC EF AC DF AC DF平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等（一）、比例式 比例式：1、設(shè) 2y3x=0 (yw0),則1xyy比例中項(xiàng)：1、已知線段（二）、A字型1、在4ABC中，已知點(diǎn)cm.2、已知：在 ABC中，=cm.a=2, b=8,若線段c是線段a與b的比例中項(xiàng)，則 c=D、E 分別在邊 AB、AC 上，DE/BC.如果 AD = 1cm, AB = 3cm, DE = 4cm,那么 BC =點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC 上，DE/BC.如果 A

4、D = 4cm, AB=6cm, DE = 3cm,那么 BC3、如圖，在 ABC中,ADDE / BC,DB則DEBCN1SMART精銳教育4、已知：如圖，在 ABC中，BD是/ ABC的平分線, 小- AD過點(diǎn) D作DE / CB,交AB于點(diǎn)E, DCDEC(XAOOBOABDCDCB)DEDDF(B)EBCF那么這個(gè)直角三角形的重心到直角頂點(diǎn)的距離為2、在 ABCCD > ABCFCAOFEBCDEFBC18AC則點(diǎn)G到AB中點(diǎn)的距離為DF。是ABC的重心4、如圖，已知點(diǎn)2、如圖，E是平行四邊形 ABCD邊AD上一點(diǎn)OC 5OD 33、如圖，BE1、如果直角三角形的斜邊長為BC A

5、B B(D)更DE = 6,貝U ABA E且 AE : ED=1 : 2,CE 與 BD3.6,BC = 4.8,點(diǎn)G為ABC 的重心1、如圖，AB/CD , AD 與 BC)、中間比1、如圖，在 ABC(A)蛆=空；EB FC9匹=處;BC DCDF /CF;FB/ BC,AE。，則 BO :OD=。作EF / BC,分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,若BC=6,則EFAI 1SMARTI I精銳教育中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌精銳教育網(wǎng)站： 7一、填空題:專題1:2,則 x: y2.已知線段a,c滿足關(guān)系式3.已知x 318 ,則 x 2y z4.如圖1 1所示,ABC

6、中，D, E分別在AB, AC上，且DE / BC, AD=3, AB=5, CE=1 ,那么AC=5.如圖1 2所示，在4AD 1EFABC中，DE / BC ,如果一一，那么 一 DB 2BF交AC于DDE / BC ,交 AB 于點(diǎn) E ,若 AB=6 , DE=4 ,6.如圖1-3所示，在 ABC中，BD平分 ABC,則BC =8.如圖9.如圖10.如圖1 5所示，1 6所示，1 - 7所示,AE=18, BE=12, CD=14,則 BD =4, ,若 ABC 中，DE / BC, AB ABC 中，DE / FG / BCAB ± BC 于 B, EF，BC 于 FAC

7、8, DB AE ,則DE :FG : BC=2:5:9 ,則DC，BC , AB=4 ,AE AD:DF : FB =DC=14,且 BF : FC=2:3 ,則EF的值為11 .如圖 1-8 所示，YABCD 中，DE 平分 ADC, AB=2 , AD=3 ,則 DF: FE =12 .如圖 1 9 所示，直角梯形 ABCD 中，AD / BC , DC BC , AD 3, BC 6 , CD 4,則 AO13.如圖110所示， ABC中，DE /AC, FD/AB，則匹 _DF的值為1-101- 111 12D1-1314在 ABC中，如果ABAC 5厘米，BC 8厘米那么這個(gè)三角形

8、的重心 G到BC的距離是15如圖1 11所示E為YABCD的邊AD延長線上一點(diǎn)ADAE，BEAB1 ,則CF的長是16.如圖1交CD于F梯形3,ABCD 中，AD / BC, AC , BC 5,則 EFBD相交于點(diǎn)O ,過O點(diǎn)做AD的平行線交 AB于點(diǎn)E ,17.如果線段a, b滿足2a2 3ab 5b2 0a的值是 b18.平行四邊形ABCD中，對(duì)角線BD的四等分點(diǎn)為,O2 , O3 , AOi的延長線交BC于E, EO3的延長線交 ADAC ABAF: FD19.如圖1 13 所示，在 ABC 中， C 90°, AC 3, D 為 BC 上一點(diǎn)D作DE BC交AB于點(diǎn)E若ED

9、1, BD 2 .則DC的長為如圖114所示，邊長為8的正 ABC , DEBC ,面積比SaBCD : SA ABC1: 4EC1- 141-151-1621.若 k bc，貝 U k = a b22.如圖115所示，四邊形ABCD, EQ/ CD ,EF / AB ,則空 ABEQCD23.如圖116所示，£是4 ABC中BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上任一點(diǎn)，過F作FH / AE ,交BA的延長線于點(diǎn)D ,交CA于點(diǎn)H ,則FD -FHAE AE1SMART精銳教育中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌B , C是 APM邊AP上的兩點(diǎn)，過B作BN / AM交PM于N ,過N作ND / MC交AP

10、求證：PAPBPCPD1-31Il24.已知a : b: c2:3:5 , a bc 5,求a , b , c的值5 a a2a35 口" a1a2aa325.已知一,則=，=b1b2b381blb2b1b3右 a c2 4a c26.已知 一 一,貝 II =b d34b d,a2b 3c27.已知a : b: c2:3: 4,則有一a28.板,B般的第四比例項(xiàng)是二、解答題：1 .如圖1 31所示,精銳教育網(wǎng)站： 92 .如圖1 32所示，梯形ABCD中，AD / BC,對(duì)角線AC, BD相交于O,過O作AD的平行線與兩腰分別相 交于E, F ,比較OE

11、與OF的大小關(guān)系，并說明理由.3 .已知線段a , b , c如圖1 33所示，求作線段x,使x -bc 2a1-33NISMART精銳教育中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌4 .如圖 1 34 所示，在 ABC 中，AB AC 12, BC 4, BD 平分 ABC, DE / BC . 求 ADE的周長.精銳教育網(wǎng)站： 135 .如圖1 35所示，已知在 ABC中，EFCD是菱形，且 AD 3, BF 5,求菱形EFCD的邊長.1 356 .如圖1 36所示，平行四邊形 ABCD的對(duì)角線AC與BD相較于點(diǎn)O, E是CD的中點(diǎn)，AE交BD與點(diǎn)F . 求DF-的值.7 .如圖

12、1 37所示，在 ABC中，EF / BC,DF / EC .求證：AE是AD與AB的比例中項(xiàng).118 .如圖1 38所示，在 ABC中，AD - AB ,延長BC到點(diǎn)F ,使得CF - BC .連接DF ,交AC于點(diǎn)E ,33求證：(1) DE EF ;(2) AE 2EC .NISMART精銳教育中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌9如圖 1 39 所示，AD/EF/BC, AD 5, BC 7, E 是 AB 的黃金分割點(diǎn),AEBE-求EF的長.10.如圖140所示，已知E是平行四邊形 ABCD的邊CD上的一點(diǎn)，連接 AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F .求證：AD:FB DE:DC.1-4011 .已

13、知a, b, c, d四條線段能夠成比例，a 2厘米，b3厘米，c 5厘米.求線段d的長度.12 .如圖141所示，在YABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AF1 - 一2 DF , EF交AC于點(diǎn)GAG.求的值.AC13.如圖EH142所小，。為乙ABC中BC上一點(diǎn)，EF / BC交AD于點(diǎn)H .求證：HFBDCDD 1-42NISMART精銳教育中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌14.如圖143所示，在 ABC中，AD BC于點(diǎn)D, BE AC于點(diǎn)E , H為AC上一點(diǎn)，且 AH AD ,過 點(diǎn)H作HF / BC交AB于點(diǎn)F .求證：FH BE.課后總結(jié):能力提升一、填空題：1 .如圖1 61所示，梯形 A

14、BCD中，DC / AB, DC =3, AB=5, E是DA的黃金分割點(diǎn)，且 EF / AB交BC 于點(diǎn)F ,則EF =.2.如圖1 62所示，點(diǎn)A ,A2, B, B2, G, C2分別是 ABC的邊BC, CA , AB的三等分點(diǎn)，若 ABC的周長是m ,則六邊形 A1ABi B2 C1 C2的周長是3.如圖 163 所示，AD / EF / BC, AD=12, BC=17, AE : EB=2:3,則 EF =14 f_一一，4 . ABC中，BC = a，若D1，日分別是BC , AC的中點(diǎn)，則口1日=一2；若口2, E2分別是DB, E1C的中 2,-1 131 37點(diǎn)，則 Dz

15、E2=(aa) a；若 D3, E3 分別是D2B, E2c 的中點(diǎn)，則D3 E3 = -(-aa) 一 a；若 Dn,2 242 48En分別是DnB, EnC的中點(diǎn)，則D°En=5 .如圖 164 所示， ABC 中，BC = a .4_1 _1 一 (1)若 AD1 = -AB, AE1 = -AC,則 D1E1=；33中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌 - 1SMARTI 精銳教育一 1一 一 1 一 一D1D2= D1B , E1E2 = E1C ,則 D2E2 =331Dn1Dn = 3DmB,EE = 1 En 1 n 3 nDE / BC ,且C，則 DnEn =BF : EF

16、=3： 2,則 AC ： AE =,AD： DB=AAFADEBECDEDEFMFBBCCB1-651-661-68如圖7MFME81Y ABCD的對(duì)角線DF91FOPQCAEDCDCMFMNEPQFBABA1-701-69BC如圖 如圖AD 一67所不68所不1 66所示，四邊形ABCD中AF / BE / CDkVND AMP PA ,則 MN、DB 、1-71AF =12, BE= 19AC與BD相交于點(diǎn)AB 3.5, DM二Ci1-67C=90°, M 為 BD上一點(diǎn)，ME,CD =28.則 FE ：1O , E是CD的中點(diǎn)DC / MN / PQ / AB , DC 2,1

17、0.如圖1 69所示6.如圖165所本,已知11.如圖170所示，在梯形ABCD中，AB / CD ,AB 3CD , E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，直線BE交AD于點(diǎn)F ,精銳教育網(wǎng)站： 15則AF : FD的值等于12.如圖1 71所示，L1 /L2 / L3, CN 4.2 , AM3, BM 5, EF 12,則DN13.如圖172所示，已知AB DF .，則 1i / l2 / IBC EF（真、假）命題.I1SMART精銳教育中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌課后作M1 .如圖1 83日 求證：BE CFA ,/L斤不，已知D是 ABC中AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的任意直線交A

18、B于點(diǎn)E ,交BC的延長線于點(diǎn)F .BF EA.;2.如圖 1-84 / 求證：AEEC kCF1-83亓示，在 ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，延長DE交BC的延長線于點(diǎn)F . BFFCSfB C 1-83 .如圖 1 85 BD : DE / 求證： EFC %B ,1-854 .如圖 1-86 /D-c45所示，D , E是 ABC的AB , BC邊上的點(diǎn)，連接 DE并延長交 AC的延長線于點(diǎn) F , AB : AC .是等腰三角形.亓示，已知四邊形 ABCD是止方形，F(xiàn)G / CD .求證：BF GF .、AE 1-86E精銳教育網(wǎng)站： 17丁 |

19、 1SMART 精銳教育中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌5如圖1 87所示，在平彳T四邊形 ABCD中，E為AB中點(diǎn)，G是對(duì)角線 AC上一點(diǎn)，且 AG:GC 1:5, EG的 延長線交 AD與點(diǎn)F .求DF : FA的值.6 .如圖1 88所示，D為 ABC中AC邊上的一點(diǎn)，E為CB延長線上的一點(diǎn)，AD EB , DE交AB于點(diǎn)F .求證：EF BC DF AC .7 .如圖1 89 (1)所示，AB ± BD , CDLBD,垂足分別為點(diǎn) B, D, AD和BC相交于點(diǎn)E, EF ± BD ,111垂足為點(diǎn)F ,我們可以證明 + ' ='成立(不要求證明).AB

20、CD EF若將圖1 89 (1)中的垂線改為斜交，如圖 1 89 (2), AB / CD, AD與BC相交于點(diǎn)E ,過點(diǎn)E作EF /AB ,交BD于點(diǎn)F .則：111J) L +，=，還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；AB CD EF(2)請(qǐng)找出面積S.abd，SBED和S BDC間的關(guān)系式，并給出證明.1-898 .如圖1 91所示，如果M是 ABC中BC邊的中點(diǎn),PQPRBC于點(diǎn)Q ,父CA于點(diǎn)R .求證： .AMAMBMP是CM上任一點(diǎn)，過點(diǎn) P作PR / AM ,交BA延長線中國領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌Il1SMART精銳教育精銳教育網(wǎng)站： www.1smart.o

21、rg219 .如圖1 90 (1)所示，口是 ABC的BC邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn) D的一條直線交 AC于點(diǎn)F ,交BA的延長線于點(diǎn) E , AG / BC交EF于點(diǎn)G ,我們可以證明 EG DC EDAG成立(不要求證明).(1)如圖1 90 (2)所示，若將圖1 90 (1)中的過點(diǎn)D的一條直線交 AC于點(diǎn)F ,改為交CA的延長線于點(diǎn)F , 交BA的延長線于點(diǎn)E,改為交BA于點(diǎn)E,其他條件不變，則 EG DC ED AG還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給 出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；(2)根據(jù)圖1 90 (2)所示，請(qǐng)你找出 EG, FD, ED, FG四條線段之間的關(guān)系，并給出證明；(3)如圖1 90 (3)所示，若將圖1 90 (1)中的過點(diǎn)D的一條直線交 AC于點(diǎn)F ,改為交CA的反向延長線于點(diǎn)F ,其他條件不變，則(2)得到的結(jié)論是否成立？1-9010.如圖1 92所示，已知 ABC中ACB=90o,以BC為邊向外作正方形 BCDE，連接AE交BC于點(diǎn)F，作FG/ AC交AB于點(diǎn)G .求證