簡單曲線的極坐標方程課件(選修4-4)

1、1.31.3簡單曲線的極坐標方程簡單曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程一、定義：一、定義：如果曲線上的點與方程如果曲線上的點與方程f( , )=0有如下關(guān)系有如下關(guān)系()曲線上任一點的坐標曲線上任一點的坐標(所有坐標中至少所有坐標中至少有一個有一個)符合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解為坐標的點都在曲的所有解為坐標的點都在曲線上。線上。 則曲線的方程是則曲線的方程是f( , )=0 。 求曲線的極坐標方程的步驟：與直角坐標系里的情況一樣建系建系 （適當?shù)臉O坐標系）（適當?shù)臉O坐標系）設(shè)點設(shè)點 （設(shè)（設(shè)M M（ ，) )為要求方程的曲線上任意一點）

2、為要求方程的曲線上任意一點）列等式（構(gòu)造列等式（構(gòu)造，利用三角形邊角關(guān)系的定理列關(guān)于，利用三角形邊角關(guān)系的定理列關(guān)于M M的等式）的等式） 化簡化簡 （此方程此方程f(,)=0即為曲線的方程）即為曲線的方程）探 究( ,0)(0)( , )aC aa 如圖，半徑為 的圓的圓心坐標為你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標滿足的條件嗎？xC(a,0)OA），（M的圓的極坐標方程。為半徑圓心在就是所以，aaaCa),0)(0 ,(cos2例例1、已知圓、已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎樣的極坐，建立怎樣的極坐標系，可以使圓的極坐標方程簡單？標系，可以使圓的極坐標方程簡單？xOrM5 3cos5si

3、n已知一個圓的方程是 求圓心坐思考：標和半徑。3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為）此圓過極點圓的極坐標方程為半徑為（圓心為Oaaaa)cos(2)0)(,(練習以極坐標系中的點以極坐標系中的點(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC新知一：新知一： 圓的極坐標方程圓的極坐標方程( () )圓心在極點，半徑為圓心在極點，半徑為a a；( () )圓心在圓心在( (a a,0),0)，半徑為，半徑為a a；( () )圓心在圓心在( (a,a, / /2)2)，

4、半徑為，半徑為a a； a a 2acos 2acos 2asin 2asin 1:,A(85.,),3變式在極坐標平面上 求圓心半徑為 的圓的方程cos()41、極坐標方程所表示的曲線是（ ） A、雙曲線 B、橢圓 C、拋物線 D、圓D？圓心坐標和半徑是什么表示的圓的、曲線的極坐標方程sin42)3, 5(、C)32, 5(、D310cos()3、圓 的圓心坐標是（ ）)0 , 5( 、A)3, 5(、BC(2,),r=22圓心坐標是半徑是5 3cos5sin轉(zhuǎn)化成直角坐已知標的思考：方程一個圓的方程是 如何再求圓心坐標和半徑。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355

5、 35()()25225 35(,),522xyxyxy解： 兩邊同乘以 得即化為直角坐標為即所以圓心為半徑是新知二：新知二：41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：cos()4把極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的方程方程是什么？化為直角坐標、曲線的極坐標方程sin414)2(22 yx2(2,)2A、寫出圓心在點處且過極點的圓的極坐標方程，并把它化成直角坐標方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化為直角坐標系為即2123:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓試判斷兩圓的位置關(guān)系。所以

6、兩圓相外切。半徑為，圓心半徑為圓心坐標方程為解：將兩圓都化為直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC 極坐標方程分別是極坐標方程分別是cos和和sin的兩個圓的圓心距是多少的兩個圓的圓心距是多少 22例題例題1：求過極點，傾角為：求過極點，傾角為 的射線的射線的極坐標方程。的極坐標方程。4 oMx4 分析：分析：如圖，所求的射線如圖，所求的射線上任一點的極角都上任一點的極角都是是 ，其，其/ 4 極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求直線的極坐標方程為直線的極坐標方程為(0)4 引例引例1、求過極點，傾角為

7、、求過極點，傾角為 的射線的極的射線的極坐標方程。坐標方程。54 5(0)4 新知三新知三 過極點的直線極坐標方程過極點的直線極坐標方程2、求過極點，傾角為、求過極點，傾角為 的直線的極的直線的極坐標方程。坐標方程。4 544 或或0 ()4R 或或5()4R (0)()R 表示極角為 的一條射線。表示極角為 的一條直線。例題例題2、求求過點過點A(a,0)(a0)，且，且垂直垂直于極軸的直線于極軸的直線L的極坐標方程。的極坐標方程。解：如圖，設(shè)點解：如圖，設(shè)點( , )M 為直線為直線L上除點上除點A外的任外的任意一點，連接意一點，連接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMM

8、OAOA即即cosa 可以驗證，點可以驗證，點A的坐標也滿足上式。的坐標也滿足上式。平行于極軸的直線。、求過點練習)4, 2(1AOHMA)4, 2( , )(2,)42 sin24sin ,sin2(2,)4sin2lMAMHRt OMHMHOMA 解：在直線 上任意取點在中，即所以，過點平行于極軸的直線方程為的直線的極坐標方程。且斜率為、求過2)3 , 2(2A程這就是所求的極坐標方得代入直線方程將為直線上的任意一點，設(shè)角坐標系內(nèi)直線方程為解：由題意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx表示的曲線是、極坐標方程)(31sin3RA、兩條相交的直線、兩條相

9、交的直線B、兩條射線、兩條射線C、一條直線、一條直線D、一條射線、一條射線所以是兩條相交直線兩條直線即所以得可得解：由已知042:, 042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxy4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直線關(guān)于直線 對稱的直線方程為、 ( )B2sin22化為極坐標方程為即的對稱直線的問題關(guān)于線解：此題可以變成求直yxyx3cos3cos33sin33sin)6sin(125、直線的極坐標方程是的，則過圓心與極軸垂直一個圓的方程為、在極坐標系中，已知DCBA( )C4cos, 4cos2cos, 2sinsin46、直線的方程是相切的一條

10、、在極坐標系中，與圓DCBA( )B2cos24)2(04sin42222化為極坐標方程為圓的方程為那么一條與此圓相切的即的化為直角坐標方程是解：圓xyxyyx在圓心的極坐標為在圓心的極坐標為A(4，0)，半徑為，半徑為4的圓中，求過極點的圓中，求過極點O的弦的中點的弦的中點的軌跡的軌跡【變式變式1】解解設(shè)設(shè)M(，)是軌跡上任意一點連接是軌跡上任意一點連接OM并延長交圓并延長交圓A于點于點P(0，0)，則有，則有0，02.由圓心為由圓心為(4，0)，半徑為，半徑為4的圓的極坐標的圓的極坐標方程為方程為8cos ，得得08cos 0.所以所以28cos ，即即4cos .故所求軌跡方程是故所求軌跡方程是4cos .它表示以它表示以(2，0)為圓心，為圓心，2為半徑的圓為半徑的圓小結(jié)：小結(jié)：直線的幾種極坐標方程直線的幾種極坐標方程1、過極點、過極點2、過軸上某定點，