橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)9條精講

1、橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)92條1. IPF11| PF2 |=2a222 標(biāo)準(zhǔn)方程：篤*厶=1a2 b2di4 .點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角5. PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑 的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).6. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.7. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切&設(shè)A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則 PF1F2在邊PF2 (或PFJ上的旁切圓，必與 A1A2所 在的直線切于A2 (或A1).x2 y29.橢圓二2 =1 (ab0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A(-a,0) A(a,0)，與y軸平行的

2、直線交橢圓a b2 2于P1、P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 二生 =1.a2 b22 210.若P)(X0, y。)在橢圓冷-爲(wèi)=1上,則過(guò)R的橢圓的切線方程是 X；-響=1 a ba2 211若P)(x0, y0)在橢圓冷每=1外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為a bX0X y0y2. 2 _ I a b22x_丄2ab2Pi、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是12. AB是橢圓產(chǎn)二1的不平行于對(duì)稱軸且過(guò)原點(diǎn)的弦,AB的中點(diǎn)，則kOM kAB =b2 . a13 .若2 2F0( X0, y。)在橢圓務(wù)吿=1內(nèi)，則被Po所平分的中ba2點(diǎn)弦的方程是b214.若PoXy。)15 .

3、若PQ20丄a2 b2x2 y是橢圓2a b在橢圓2=1內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是y=07 yya b a b2=1( a b 0 )上對(duì)中心張直角的弦，則22XqXy y _ X0y2,2-a b16.若橢圓2 =1(ab0)上中心張直角的弦 L所在直線方程為 Ax By=1 (AB = 0),a b1 1 r E =|OP|,2 =|OQ|).a b22X y則山登l/TAFa ba2A2 b2B217 給定橢圓G ： b2x2 a2y2 = a2b2 (a b 0) , C2:給定的點(diǎn)F0(x0,y0),它的任一直角2 2a -b 劑0).o2 h2.2 22 2#a-b 2 rb

4、 x a y =(二 2 ab)，則(i) a +b弦必須經(jīng)過(guò)C2上一定點(diǎn)對(duì)G上任意2 2a bM( (x0,2a b a b(ii)對(duì)C2上任一點(diǎn)P0(x0,y0)在G上存在唯一的點(diǎn) M,使得x2v218. 設(shè)F0(x0,y0)為橢圓(或圓)C：r 2 =1 (a0,. b0)上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦，a b且弦P0P1, P0P2斜率存在，記為k1, k 2,則直線P1P2通過(guò)定點(diǎn)“(mx-myo) (m=1)的充要條件是,1 +m b2k1 k22 1 -m a2 219. 過(guò)橢圓 篤爲(wèi)=1 (a0, b0)上任一點(diǎn)A(x0,y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓a bM 的任一直

5、角弦都經(jīng)過(guò)F0點(diǎn).于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC二學(xué)(常數(shù)). a y。2 220 .橢圓 2 = 1 (a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為Fi, F 2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)a b-F1PF2 - ,則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為2 丫 a 匚2 b2 VS f1pf2 = b tan , P( c -b tan ,tan：).2 c 2 c 22 c2 221. 若P為橢圓占=1( a b 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1, F 2是焦點(diǎn)，一=a b任 a -ca P-PF2F，則tan cot a c 222 222. 橢圓27 =1 (ab0)的焦半徑公式：a b|MF1|=a e),|M

6、F2|=a-ex)(F1(-c,0), F2(c,0) M (x,y)2 2若橢圓 篤當(dāng)=1 (a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)a b2 -1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn) P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng) x2 y2、P為橢圓 2 =1 ( a b 0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則a b2a I AF2閆PA| + |PF戶2a+ | AF |當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立2 2x y25. 橢圓2 =1 (a b 0) 上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線I : y = k(x-x)對(duì)稱的充要條件是a b/ 22、22 w (a -b )

7、x02 , 2 2 .a十b k26. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)23.0 v ew24.2-2 = 1相交于b2 21-(篤a b2. 2cos ： sin :-2 a bb22其中tan- -一篤a y，當(dāng) y =0時(shí)，：=90 .31設(shè)S為橢圓2 2xy“2=1 (a b 0)的通徑，定長(zhǎng)線段abL的兩端點(diǎn)A,B在橢圓上移動(dòng),記 |AB|= l ,MX，%)是AB中點(diǎn)，則當(dāng)I 一：時(shí)，有(Xo)max-丄(c2=a2-c 2e的連線必與切線垂直27.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑 互相垂直.x

8、 = acos28. P是橢圓(ab0) 上一點(diǎn)，則點(diǎn) P對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是y =bsi n 2 1e21 sin2 2 2xyx29.設(shè)A,B為橢圓2 =k(k .0, k =1)上兩點(diǎn)，其直線 AB與橢圓二abaP,Q,則 AP =BQ .2 2x y230.在橢圓 牙=1中，定長(zhǎng)為2m(ovmb0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 FF2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意a bO I Q Qfz%一點(diǎn)，在 PF1F2 中，記 F1PF2 -，- PRF2 =2 廠 F1F2 ;，則有e.sin P + sin a= a2b2 ( a b0)的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn) A1和A?的切線，與橢圓上任|PA| |

9、 PA |=b2.35 .經(jīng)過(guò)橢圓 點(diǎn)的切線相交于36.已知橢圓.22 丄 22b x a yP1和P2,則2 2 1b1 1 ;(2) |Op2 + |OQ|2的最大值為 a b2a1,2(a b 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)， 且OP _ OQ .(1) 2 -|OP|2 |OQ | 2Ja b22 a b37. MN是經(jīng)過(guò)橢圓2 2泮；(3) SopQ的最小值是b2x2 a2y2二a2b2 (a b 0)過(guò)焦點(diǎn)的任一弦，若 AB是經(jīng)過(guò)橢圓中 心0且平行于MN的弦，貝U | ABf=2a|MN |.38. MN是經(jīng)過(guò)橢圓b2x2 a2ya2b2 (ab 0)焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)

10、橢圓中心0的半弦2 111OP _ MN ，貝U22a|MN |0P | a b2 2x y39. 設(shè)橢圓 =1 (ab0) ,M(m,o)或(o,m)為其對(duì)稱軸上除中心， 頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，a b過(guò)M引一條直線與橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，則直線 A1P、A2Q(A 1 ,A2為對(duì)稱軸上的兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)a2b2N在直線l : x(或y)上.mm40. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP和 AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，貝U MF丄NF.41. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)， A1P和A

11、2Q交于點(diǎn)M , A2P和A1Q交于點(diǎn)N，貝y MF丄NF.22x y42. 設(shè)橢圓方程 2 = 1,則斜率為k(k豐0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線I : y = kx的共軛直abb2線y =k x上，而且kk2.a2 243.設(shè)A、B、C、D為橢圓冷匕=1上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角分別為:/，直a b線AB與CD相交于P且P不在橢圓上，則|PA|庁引戈込字叮.|PC| |PD| b cos + a sin 2244. 已知橢圓 篤 -y2 =1 (a b0)，點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F 2為橢圓的焦點(diǎn)，ZF1PF2的外a b(內(nèi))角平分線為丨，作F1、F2分別垂直丨于R、S,當(dāng)P跑遍整個(gè)橢

12、圓時(shí)，R、S形成的軌跡方 程是 x2y2二 a2(b2y2(a -ce)(xc)2(x2y2ex)2二ce(xc)2).45. 設(shè)厶ABC內(nèi)接于橢圓丨，且AB為丨的直徑，丨為AB的共軛直徑所在的直線，丨分別 交直線AC、BC于E和F，又D為丨上一點(diǎn)，則CD與橢圓丨相切的充要條件是 D為EF的中點(diǎn).x2 y246. 過(guò)橢圓二2 =1 (a b0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點(diǎn)，弦MN的a bP,則四 | MN | x247.設(shè) A (X1 ,y1)是橢圓 一 a垂直平分線交x軸于_ e2 .y2b2%2 =1 (ab0) 上任一點(diǎn)，過(guò) A作一條斜率為戶的直b線L,又設(shè)d是原點(diǎn)到直線2

13、 2x y48. 已知橢圓2a b2a y1L的距離，r, r2分別是 A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，貝UJr2d = ab.2十 x二 1 ( a b0)和一2a一直線順次與它們相交于 A、B、C、D 四點(diǎn),AB I =|CD | .2 2x y49. 已知橢圓 一22=1 ( ab0)a b,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線2 a 與x軸相交于點(diǎn)P(x,0)，則-b2X22a -b b 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦點(diǎn)記2b2 F1PF2 - ，則(1)|PR |PF2|二1 +cos 日51 .設(shè)過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn)B ( m,o)作直線與橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓

14、長(zhǎng)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過(guò)B點(diǎn)的直線MN : X = n于M , N兩點(diǎn)，則 2a2 V. Sf1f2 = b tan .a m.MBN =9022.a + m b (n +a)2 252. L是經(jīng)過(guò)橢圓X2 y2 1 ( a b 0)長(zhǎng)軸頂點(diǎn) A且與長(zhǎng)軸垂直的直線，E、F是橢圓a b兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率，點(diǎn)P L ,若.EPF = :,則:-ab且僅當(dāng)| PH |時(shí)取等號(hào)).c2 2x y53. L 是橢圓 2*2=1 ( ab0)a b離心率，/EPF ，H是L與X軸的交點(diǎn)ab | PH | 時(shí)取等號(hào)).c2 2x y是橢圓 2 *2 =1 ( ab0)a bZEP =:,

15、離心率為e,半焦距為c,則.篇為銳角且sin_e2或-arc sin e2 (當(dāng)是銳角且 sin- e或-arc si ne (當(dāng)?shù)臏?zhǔn)線,c是半焦距,(當(dāng)且僅當(dāng)54. L的準(zhǔn)線,E、B是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)，點(diǎn)P L , e是則是銳角且 sin _ e或_ arc sin eF是兩個(gè)焦點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)P L ,且僅當(dāng)| PH | = b a2： 時(shí)取等號(hào)).c2 2x y55.已知橢圓 2 * 2 =1( a b 0),直線L通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與橢圓相交于a bA、B兩點(diǎn),將A、B與橢圓左焦點(diǎn)F!連結(jié)起來(lái)，則b2 -|F,A| | F1B-(2a 且丄(當(dāng)且僅當(dāng)2a右邊不等式取等號(hào)，當(dāng)

16、且僅當(dāng)A、Fi、B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào))2 2X y2 = 1 ( a b 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn),b56.設(shè)A、B是橢圓 2aPBA， BPA,c、AB丄x軸時(shí)PAB 二:22ab |cos： |.e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)|PA|= 2 22a -c cos ；小2,22a b72 2b - a2257 .設(shè)A、B是橢圓務(wù)占=1 (a2 b2兩點(diǎn)，且xA、xB的橫坐標(biāo)xA冷=a2,tan： tan ： =1 - e2.(3) S PABcota b 0)長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn))、外部的 PBA - QBA ； (2)若過(guò)B引直線與這橢圓相交于(1)若過(guò)

17、A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，則P、Q 兩點(diǎn)，則 PBA QBA-180 .2 258.設(shè)A、B是橢圓告=1 ( a b 0)長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn))，外部的a b兩點(diǎn)，(1)若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，(若BP交橢圓于兩點(diǎn)，貝U P、Q不關(guān)于2x軸對(duì)稱)，且 PBA二 QBA，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)xA、xB滿足xA xa ； (2)若過(guò)B點(diǎn) 引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，且PBA QBA = 180 ,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿足xA x a2.x2 y259設(shè)A, A是橢圓2 =1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)， QQ是與AA垂直的弦，則直線 AQ與a b2 2aq 的交點(diǎn)P的軌

18、跡是雙曲線x_=1a2 b28ab2a2 b261.2 2 過(guò)橢圓冷Z =1 a b_| AB | |CD 巨2到橢圓的軌跡是姊妹圓62.到橢圓(a b 0 )的左焦點(diǎn) F作互相垂直的兩條弦AB、CD則b2)ax2 y2、a _c22=1 ( ab0)兩焦點(diǎn)的距離之比等于 -a bb(x 二 a)2 y2 = b2 2 2 y -1 ( ab 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于 a b(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn) Ma -cb(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓(x二？)2 y2 = (b)2 ee2 263 到橢圓篤每a b=1 ( ab0)的兩準(zhǔn)線和 x軸的交點(diǎn)的距離之比為口 (c為半焦b距)的動(dòng)點(diǎn)的

19、軌跡是姊妹圓64.已知 P是橢圓(x 猩)2 y2=J)2 ee2 2x y .22=1 ( a b 0)a b(e為離心率).上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A,A是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且b2y21.2x則Q點(diǎn)的軌跡方程是4a a65.橢圓的一條直徑 的比例中項(xiàng)(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)=1( ab0)長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為 A, A ,P(xi,yi)是橢圓上的點(diǎn)過(guò) P作斜率b2 x為 戶的直線丨，過(guò)A, A分別作垂直于長(zhǎng)軸的直線交 丨于M ,M ,則a *(1) |AM |AM 戶b2. (2)四邊形MAAM面積的最小值是2ab .x2 y2、67. 已知橢圓 2*2 =1( a

20、b 0)的右準(zhǔn)線丨與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直a b線與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線丨上，且BC丄X軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn)(x_a)2 y268. OA、OB是橢圓 22 =1 ( a 0,b 0)的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a b2ab2則(1)直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(二 2,0) .(2)以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的a bab 22 / ab 2軌跡方程是(x-二 2) y (二 2) (x=0).a勺a F69. P(m, n)是橢圓(x _；) 嶺=1 (ab0)上一個(gè)定點(diǎn)，P A、P B是互相垂直的弦，a b則（1）直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定

21、點(diǎn)2ab2 m（a2_b2）吧2吋）.（2）以P A、P B為直徑的兩a bQ的軌跡方程是2 （b2n2 r2） （y a ba b70. 如果一個(gè)橢圓短半軸長(zhǎng)為 b，焦點(diǎn)Fi、F2到直線L的距離分別為di、d2,那么（I）did2=b2, 且Fi、F 2在L同側(cè)二 直線L和橢圓相切.（2） d1d2 b2，且Fi、F2在L同側(cè)二 直線L和橢 圓相離，（3） did2 : b2，或 Fi、x2 y271. AB是橢圓2 = ia bB的切線交于C、D兩點(diǎn)，則梯形圓的另一個(gè)交點(diǎn)ab2 +a2m(X 2 72)(y -)224222ab n(a b)(xF 且 y“).2 2 2(a b )F2在

22、L異側(cè)u直線L和橢圓相交.（ab0）的長(zhǎng)軸，N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) N的切線與過(guò)A、2 272.設(shè)點(diǎn) P(x), y0)為橢圓一22 1a b定點(diǎn)P(Xo, y)的任一弦，當(dāng)弦AB2 2 2 2 2 2a b -(ay。b x。)(|PA| | PB |)max(|PA| |PB|)min73.74.75.76.77.abdc的對(duì)角線的交點(diǎn) M的軌跡方程是x2 4a2y2 =1（y = 0）.2 2x y（a b 0）的內(nèi)部一定點(diǎn)，AB是橢圓 2 =1過(guò)a b平行（或重合）于橢圓長(zhǎng)軸所在直線時(shí)b2a2b2 -(a2y。2 b2x。2).當(dāng)弦 AB 垂直于長(zhǎng)軸所在直線時(shí)，b2橢圓焦三角形中，以焦半

23、徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切 橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端點(diǎn) 橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c與a-c.橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a-c.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)78. 橢圓焦三角形中79. 橢圓焦三角形中80. 橢圓焦三角形中 側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.81橢圓焦三角形中 側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.82. 橢圓焦三角形中 與另一焦半徑所在直線平行83. 橢圓焦三角形中 為橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng).84. 橢圓焦三

24、角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng),橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同,半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必,則橢圓中心與垂足的距離,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的切點(diǎn).,非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為85. 定值e.86.87.88.橢圓焦三角形中橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中,非

25、焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線,過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相交，則以兩交點(diǎn)為直徑的圓必過(guò)兩焦點(diǎn)2x89.已知橢圓丐a2b2-i（a 0,b0）（包括圓在內(nèi)）上有一點(diǎn)P ,過(guò)點(diǎn)P分別作直線y = X及y二-一X的平行線，與直線 OP分別交于R,Q,0為原點(diǎn)，則：. aa(1) |OM f |0N f 二 a2 ； (2) |OQ|2 |0R|2二 b2.90. 過(guò)平面上的P點(diǎn)作直線h：y=x及S：y - - x的平行線，分別交x軸于M ,N，交yaa2 2軸于 R,Q .( 1)若 |OM |2 |ON 2- a2，則 P的軌跡方程是 篤+

26、爲(wèi)=1(an0,bn0) .(2)若 a b2 2|OQ|2 |OR|2 = b2，則P的軌跡方程是 篤 厶=1(a - 0,b - 0).a bx2 y291. 點(diǎn)P為橢圓2 -1(a 0,b 0)(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò)P引a bKx軸、y軸的平行線，交y軸、x軸于M,N，交直線y- x于Q,R，記 OMQ 與 ONR aab的面積為S1,S2，則：S, S2.292. 點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò) P引x軸、y軸的平行線，交 y軸、x軸于M , N，交直線y = -b x于Q,R，記：OMQ與 ONR的面積為3,S2，已知S，S?二旦，則P的軌跡方程 a22 2曰x y疋

27、22 = 1(a0,b0).a b雙曲線l|PFi|-|PF2#2a2 22.標(biāo)準(zhǔn)方程：2= ia2 b23. LPFLLe .1di4. 點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角5. PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑 的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).6. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.7. 以焦點(diǎn)半徑PFi為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切&設(shè)Ai、A2為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，則 PF1F2在邊PF2 (或PFi)上的旁切圓，必與 A1A2 所在的直線切于A2 (或Ai).2 29. 雙曲線 與-與=1 (a0,b0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為

28、A(-a,0), A2(a,0)，與y軸平行的直線交a b2 2雙曲線于Pi、P2時(shí)AiPi與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 芻占=1.a2 b22 210. 若F0(o, yo)在雙曲線 篤-爲(wèi)=1 ( a 0,b 0 )上，則過(guò) F0的雙曲線的切線方程是 a b0Ta_y_y一 b2=1.2 2x y11.若P)(x0, y0)在雙曲線2a b2X12. AB是雙曲線ab2點(diǎn)，則 koM Kab 2 .a2 y b2=1(a0,b0)的不平行于對(duì)稱軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中13若P)(x0, y)在雙曲線(a 0,b 0)內(nèi)，則被 Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是2 2xxyy X。 y2 -ab2

29、a2 b214.P)(0,y0)在雙曲線X22X2a2y _ xyyb2 a2 b215 .若PQ是雙2.2ab22Xy2.2ab線2y =1=1(a 0,b 0)內(nèi)，則過(guò) Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是(b a 0 )上對(duì)中心張直角的弦，則=1 (a 0,b 0)夕卜，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn) 為Pi、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是 比 -辱 =1.a2b21111孑亍了左m/g).2 216 .若雙曲線冷篤=1 ( b a 0 )上中心張直角的弦L所在直線方程為 a b11 a22.2、aA bBAx By =1 (AB =0)，則(1)22 = A B ;(2) L 2 2.a b|

30、a A -b B |2 + b?17.給定雙曲線C1 :b2x2 a2y2=a2b2(ab0),C2:b2x2a2y2= (a2b2ab)2,則a - b(i)對(duì)G上任意給定的點(diǎn)P (x0, y0),它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)C2上一定點(diǎn)2 ,2 2 2a +ba +b、M( (2 T2 x0, _ 2 2 y0).a -ba -b(ii)對(duì)C2上任一點(diǎn)P0(x0,y。)在G上存在唯一的點(diǎn) M ,使得M 的任一直角弦都經(jīng)過(guò) P)點(diǎn).2 218.設(shè)P(Xo,y)為雙曲線篤-每=1 ( a 0,b 0) 上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦，且弦P0P1,a bP0P2斜率存在，記為1 +m b2 k1 k

31、22 .1 -m a2x 19.過(guò)雙曲線aki, k2,則直線 P1P2通過(guò)定點(diǎn) M (mx -my0) (m = 1)的充要條件是2y2 =1 (a 0,b o)上任一點(diǎn) A(x), y)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交b雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kpc = -一20a y(常數(shù))2 2x y20.雙曲線22=1a bF1PF2 =，則雙可b22,2 222.雙曲線篤-氣=1a2 b2當(dāng)M(X0, y)在右支上時(shí)， 當(dāng)M (冷，y)在左支上時(shí)，2(a0,bo)的焦半徑公式：(Fi(-c,O) , F2(c,0)|MFi|=exo a,|MF2 |=exo-a.| MF1-ex3 a,

32、| MF21- -ex -a.23.1 v ew24.x2若雙曲線a b2 * 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn) P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).x2 y2、P為雙曲線 2 =1 (a 0,b 0)上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則a b=1 (a0,b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)(a 0,b o)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F 2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)曲線的焦點(diǎn)角形的面積為 S p1PFb2cot-,P(aJc2+b2tan2丄,cot丄).c、2 c 22 2X y21 .若P為雙曲線 2 =1 ( a0,b0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外

33、的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)，a b任 ca a 0 ca, P ,g、-PF1F2 - -，/PF2F| =，貝Utan cot (或tan cot ).c a 22 c a 22| AF21 -2a 0,b 0)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線I : y = k(x-x0對(duì)稱的充要條件a b“ 2 , 2、2是 x 2 (a b )是 2 -b可(a0)的實(shí)軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與雙曲線上任0 2.2. 2.a -b k26. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng) 焦點(diǎn)的連線必與切線垂直27. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦

34、點(diǎn)的連線必與焦 半徑互相垂直.x = a sec28. P是雙曲線(a0, b0)上一點(diǎn)，則點(diǎn) P對(duì)雙曲線兩焦點(diǎn)張直角的充要y =bta n條件是e2丄1 -ta n2 申2 229.設(shè)A,B為雙曲線x y2=k (a0,b0, k .0,k=1 )上兩點(diǎn)，其直線 AB與雙曲線a b2x2a2計(jì)1相交于P,Q,則APS.2.=_ (c2 =a2 be = )；c 2ea當(dāng)I ： ：時(shí)，有32 .雙曲線2 2 2,2.A a B b 二(X)min 叮|2 .2b2 2x y22=1 ( a 0,b 0)與直線 Ax B C =0有公共點(diǎn)的充要條件是a bc22 22 21-d)x y2a2 b

35、30.在雙曲線 2 =1中，定長(zhǎng)為2m ( m) 0)的弦中點(diǎn)軌跡方程為 m =一r_a%bcos 口 sin a b2 2丄b x其中，當(dāng) y =0時(shí),:-=90 .tan亍a y22xy31設(shè)S為雙曲線 2 =1 (a 0,b o)的通徑，定長(zhǎng)線段 L的兩端點(diǎn)A,B在雙曲線上ab移動(dòng)，記|AB|= I，M(Xo,yo)是 AB 中點(diǎn)，則當(dāng) I 一 S 時(shí)，有(Xo)minc=e-(sin s i na )2 x35.經(jīng)過(guò)雙曲線a33. 雙曲線(x 0)- 型 1(a0,b0)與直線Ax By 0有公共點(diǎn)的充要ab條件是 A2a2 B2b2 乞(Ax0 By0 C)2.、x2y2、 、34.

36、 設(shè)雙曲線一2=1 (a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上a b任意一點(diǎn)，在 PF1F2 中，記 F1PF2 -,PRF2 = ,F1F2 ,則有s i n點(diǎn)的切線相交于 Pi和P2，則|PA, | | PA I=b2.36.已知雙曲線(1)|OP|2 a2b2 b2 -a2.2-與=1(b a 0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP_OQ. b114a2b22 2x y是經(jīng)過(guò)雙曲線 二 2 =1 (a 0,b 0)過(guò)焦點(diǎn)的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過(guò)a b雙曲線中心O且平行于MN的弦，貝y |ABf = 2a|MN|.2x38. MN是經(jīng)過(guò)雙曲線

37、a237. MN的半弦OP _ MN，則2當(dāng)=1 (ab0)焦點(diǎn)的任一弦(交于同支)，若過(guò)雙曲線中心 O b1 1 1 = 2 |OP| a b2x39.設(shè)雙曲線aa| MN |2yy =1 ( a0,b 0) ,M(m,o)為實(shí)軸所在直線上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，b=-2 -n ; ( 2) |OPf+|OQ|2的最小值為 二2 ; ( 3) S.OPQ的最小值是 a2 b2b2-a2AiP、A2Q(Ai A2為兩頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)N兩點(diǎn)，貝U MF丄NF.:P、Q, Ai、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，43.設(shè)A、B、C、D為雙曲線，直線AB與CD相交于

38、P且P不在雙曲線上，則|PA| |PB| b2 cos2 : - a2 sin2 - 2 2 2 2|PC| |PD| b2 cos - a2 sin2:過(guò)M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，則直線2I a -l : x 上.mP、40. 設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、丨41. 過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)A1P和A2Q交于點(diǎn) M , A2P和A1Q交于點(diǎn) N，貝U MF丄NF.2 242. 設(shè)雙曲線方程 篤-每=1,則斜率為k(k工0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線I : y二kx的共軛a b、b2直線y = k x上，而且kk

39、 2 .a2 2x y2 =1 (a 0,b o)上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角a b2 244. 已知雙曲線 令-占=1 (a 0,b 0) , 點(diǎn) P為其上一點(diǎn)F1, F 2為雙曲線的焦點(diǎn)，RPF? a b的外(內(nèi))角平分線為 丨，作F2分別垂直丨于R、S,當(dāng)P跑遍整個(gè)雙曲線時(shí)，R、S形成的軌跡方程是x2 y2 =a2(a3b(x _c)(a2 b2)x_b2c2 a4c2(x _c)y2 = (ab3c2y2)2).45. 設(shè)厶ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線 丨上，且AB為丨的直徑，丨為AB的共軛直徑所在的直 線，丨分別交直線AC、BC于E和F，又D為丨上一點(diǎn)，則CD與雙曲線-相切的充要條

40、件是 D 為EF的中點(diǎn).x2 y246. 過(guò)雙曲線 2 一 2 =1 (a 0,b0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，a b弦MN的垂直平分線交 x軸于P,則1 PF 1 = e|MN |22 2X y47.設(shè)A (X1 ,y1 )是雙曲線 歹=1 ( a0,b 0)上任一點(diǎn)，過(guò) A作一條斜率為a b),一條直線順次與bB兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線左焦點(diǎn)x1 砧 P的 a y1 直線L,又設(shè)d是原點(diǎn)到直線L的距離，r1,r2分別是 A到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離，則jrF2d=ab.22 22xyxy48. 已知雙曲線2=1 (a0,b0)和一2V ( 0 - - 1abab它們相交于 A、

41、B、C、D四點(diǎn)，則|AB I =|CD丨.2 2x yAB49. 已知雙曲線 一22=1 ( a0,b 0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線a2 +b2與x軸相交于點(diǎn)P(x0,O)，則x0 K或x0 0,b 0) 上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)a bb22NF1PF2=e，則(1)|PF1|PF2|= .(2) S癢RF2=b cot：.1 cos 日251. 設(shè)過(guò)雙曲線的實(shí)軸上一點(diǎn)B (m,o)作直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過(guò)B點(diǎn)的直線 MN : X = n于2ab2(n a)22 2x y22=1 (a0,b0)焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，a b a

42、 mMBN =90 七a + m52. L是經(jīng)過(guò)雙曲線尸、F2為其焦點(diǎn)記為雙曲線實(shí)軸M ,N兩點(diǎn)，則B是雙曲線a b1乞 arc sin -e實(shí)軸的兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率，點(diǎn)P L ,若.EPF ,貝U 是銳角且sin豈-或:eab(當(dāng)且僅當(dāng)|PH | 時(shí)取等號(hào)).c22x y53. L是經(jīng)過(guò)雙曲線 2 =1 (a0,b0)的實(shí)軸頂點(diǎn) A且與x軸垂直的直線，E、F是a b雙曲線的準(zhǔn)線與 x軸交點(diǎn)，點(diǎn)P L , e是離心率，.EPF =，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，1 1ab則是銳角且sin 或-arc sin (當(dāng)且僅當(dāng)| PA |時(shí)取等號(hào)).eec2 254. L是雙曲線 務(wù)-占=1 (a

43、0,b 0)焦點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線a b與x軸交點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)PL , EPF =、，離心率為e,半焦距為c,則為銳(當(dāng)且僅當(dāng)I PF-1 = b a2 - c2時(shí)取等號(hào)).c11角且 sin 2 或：-arcs in : ee2 2(a 0,b 0),直線L通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與雙曲線右支交于A、55. 已知雙曲線-占=1a2 b2F1連結(jié)起來(lái)，則|FiA| | FiB|-定邑蟲(當(dāng)且僅當(dāng)AB丄x軸時(shí)取等號(hào))2 256.設(shè)A、B是雙曲線 篤-爲(wèi)=1 ( a 0,b 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，a b PAB . ,. PBA , . BPA二,c

44、、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有2 2 22ab Icosa |2a b(1)|PA| 222.(2) tan： tan： =1-e.(3) S 砂-2 cot .| a -c cos 仃b +a2 257 .設(shè)A、B是雙曲線 篤-爲(wèi)=1 (a 0,b 0)實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點(diǎn)的a b區(qū)域)、外部的兩點(diǎn)，且 Xa、Xb的橫坐標(biāo)Xa xa2, (1)若過(guò)A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相 交于P、Q兩點(diǎn)，則.PBA QBA ; ( 2)若過(guò)B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則PBA QBA =180 .2 258 .設(shè)A、B是雙曲線 篤-爲(wèi)=1 (a 0,b 0)實(shí)軸上分別位于雙

45、曲線一支內(nèi)(含焦點(diǎn)的a b區(qū)域)，外部的兩點(diǎn)，(1)若過(guò)A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，(若B P交雙曲線這一支于兩點(diǎn)，則 P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱)，且.PBA-/QBA，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)xA、xB滿 足xA，XB =a2；(2)若過(guò)B點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于 則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿足xAxB = a2.x2 y259.設(shè)A, A是雙曲線 r 2 =1的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，a b2 2 a2 b2與AQ的交點(diǎn)P的軌跡是雙曲線2 260 .過(guò)雙曲線 2=1a b(a 0,b 0)的右焦點(diǎn)P、Q 兩點(diǎn)，且.PBA . QBA-180 ,QQ是與AA垂直的弦，則直線 AQF作互相垂直的兩條弦

46、AB、CD,則8ab2mB| |CD|.61.到雙曲線M的軌跡是姊妹圓62.到雙曲線2 2x yc - a22=1 (a 0,b0)兩焦點(diǎn)的距離之比等于-a2b2b2 2 2(x _ ec) y 二(eb).2 2 務(wù)-% =1 (a 0,b0)的實(shí)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于 a b(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓(x _a)2 y2二b2.亍(c為半2 263.到雙曲線 % -嶺=1 (a 0,b0)的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為a b22 b 2焦距)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓(x二a) y =( ) (e為離心率).e2 2x y64. 已知P是雙曲線 2 =1 (a 0

47、,b0)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， A, A是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且a b2 .2 2x b yAQAP,AQ_AP，則Q點(diǎn)的軌跡方程是 41.a a65. 雙曲線的一條直徑(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和實(shí)軸之 長(zhǎng)的比例中項(xiàng).2 2x y66. 設(shè)雙曲線 牙=1 (a 0,b 0)實(shí)軸的端點(diǎn)為 A, A,P(Xi,yJ是雙曲線上的點(diǎn)過(guò)a b作斜率為b2X牙丄的直線I，過(guò)A, A分別作垂直于實(shí)軸的直線交 丨于M , M ,則 a yi(1)| AM | AM |=b2.(2)四邊形MAAM面積的最小值是2ab .2 2x y67. 已知雙曲線 2 =1 ( a0,b0)的右準(zhǔn)線I與x軸

48、相交于點(diǎn)E ,過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)a b的直線與雙曲線相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線丨上，且BC _ X軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 中占I 八、(x _a)2 y268. OA、OB是雙曲線22 =1 (a0,b0,且a = b )的兩條互相垂直的弦，O為a b坐標(biāo)原點(diǎn)，則(1)直線AB個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是(x- 2-b -a(x _ a )269. P(m, n)是雙曲線2a弦，則(1)直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)ab2必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(,0) .(2)以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另 b -a2 2ab、22 / ab、2 /“2) y 咤 2) (x = 0).b -a2y1 (a 0,b 0)b22 2 2(2