第二講：復變函數(shù)13; 14; 21

1、 第二講1.3 平面點集平面點集1.4 無窮遠點及復平面無窮遠點及復平面2.1 復變函數(shù)的概念復變函數(shù)的概念n擴充復平面擴充復平面 包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面.n有限復平面有限復平面 不包括無窮遠點的復平面稱為有限復平面，或復平面.1 . 鄰域鄰域 平面上以 為心， 為半徑的圓： n 內(nèi)部所有點 的集合稱為點的 鄰域，記為 ，即稱集合 為 的去心 鄰域，記作 .0z00zx0z),(0zN),(00zzzzN00zzz0z0(, )N z2. 聚點聚點：如果點 z 的任何鄰域中都含有平面點集 E 中無窮多個點，那么稱 z 為 E 的聚點3. 內(nèi)點內(nèi)點： 若 z 屬于 E ，且存在

2、z 的某一鄰域完全含于 E ，則稱 z 為 E 的內(nèi)點。4. 開集開集 若集合 E 中的每一個點均為 E 的內(nèi)點，則稱 E 為開集. 5.連通集連通集： 若 E 中任意兩點，都可用完全屬于 E 的折線連接起來，則稱 E 是連通集.6. 區(qū)域（或開區(qū)域）：區(qū)域（或開區(qū)域）： 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.7. 閉區(qū)域閉區(qū)域 ： 開區(qū)域 E 連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域。8. 有界區(qū)域有界區(qū)域：若區(qū)域 E 的所有點都包含在一個以原點為中心，某個充分大的正數(shù) M 為半徑的圓內(nèi)，則稱區(qū)域 E 為有界區(qū)域。9.無界區(qū)域無界區(qū)域：當 M 不存在時，則稱 E 為無界區(qū)域。 例 1.7 例 1.8 P.8.1.

3、3.2 平面曲線n1. 簡單閉曲線簡單閉曲線n 若存在滿足 ， 且 的 ，使 ,則稱此曲線C有重點，無重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或約當（Jordan）曲線；除 外無其它重點的連續(xù)曲線稱為簡單閉曲線，例如， 是一條簡單閉曲線（如圖1.9）.1t2t21tt 21tt 與)()(21tztz)()(zz)20(sincosttitz圖1.9n在幾何直觀上，在幾何直觀上，簡單曲線是平面上沒有“打結”情形的連續(xù)曲線，即簡單曲線自身是不會相交的；簡單閉曲線除了沒有“打結”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖1.10中的 是簡單曲線， 是簡單閉區(qū)域，圖1.11中的 ， 不是簡單曲線，但 是閉曲線.1C2C3

4、C4C3C圖1.10 圖1.11 n2. 光滑曲線、分段光滑曲線光滑曲線、分段光滑曲線n設曲線 的方程為 n 若 ， 在 上可導且 ， 連續(xù)不全為零，則稱曲線 為光滑曲線，由若干段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線.n3. 單連通域、多連通域單連通域、多連通域n設 D 是復平面上一區(qū)域，如果在 D內(nèi)任作一條簡單閉曲線 C ，其內(nèi)部的所有點都在 中，則稱區(qū)域 D 為單連通區(qū)域；否則稱 D 為多連通區(qū)域或復連通區(qū)域.C)()()(tiytxtz)( t)(tx)(ty,)(tx)(tyCn在幾何直觀上在幾何直觀上 單連通區(qū)域是一個沒有單連通區(qū)域是一個沒有“空洞（點洞）和縫空洞（點洞）和縫隙隙”

5、的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有“洞或縫隙洞或縫隙”的的區(qū)域，它可以是由曲線區(qū)域，它可以是由曲線 所圍成的區(qū)域中挖掉幾所圍成的區(qū)域中挖掉幾個洞，除去幾個點或一條線段而形成的區(qū)域（如個洞，除去幾個點或一條線段而形成的區(qū)域（如圖圖1.12 ）.圖1.121.4 復球面及無窮遠點復球面及無窮遠點n黎曼的奇思妙想黎曼的奇思妙想：他把復平面的無窮遠處看成一：他把復平面的無窮遠處看成一個點，并把它加到復數(shù)的個點，并把它加到復數(shù)的“行列行列”中來，復平面中來，復平面就變成了復球面這一奇妙的想法，為復變函數(shù)的就變成了復球面這一奇妙的想法，為復變函數(shù)的研究帶來了很大的方便。研究帶來了很大的方便。

6、n意義：意義： 提出了提出了“彎曲空間的幾何彎曲空間的幾何”的新概念，這的新概念，這種幾何學后來成為愛因期坦廣義相對論的數(shù)學基種幾何學后來成為愛因期坦廣義相對論的數(shù)學基礎。礎。復球面與無窮遠點復球面與無窮遠點zPN球極平面射影法取一個在原點取一個在原點O與與z平面相切的球面，平面相切的球面，過過O點作點作z平面的垂線與球面交于平面的垂線與球面交于N點（稱為北極或者球極）。點（稱為北極或者球極）。2NS平面zzP對于平面上的任一點對于平面上的任一點z，用一，用一條空間直線把它和球極連接起條空間直線把它和球極連接起來，交球面于來，交球面于P。從幾何上可以看出從幾何上可以看出： Z平面上每個以原點為

7、圓心平面上每個以原點為圓心的圓周對應于球面上的某一個緯的圓周對應于球面上的某一個緯圈，這個圓周以外的點則對應于圈，這個圓周以外的點則對應于相應緯圈以北的點，而且若點相應緯圈以北的點，而且若點z的模越大，球面上相應的點則越的模越大，球面上相應的點則越靠近北極靠近北極N。由此我們引進一個理想由此我們引進一個理想“點點”與北極與北極N對應。稱之為無窮遠對應。稱之為無窮遠點點擴充復平面擴充復平面 復平面復平面,zz約定無窮遠點的實部、虛部及幅角都沒有意義；另外約定無窮遠點的實部、虛部及幅角都沒有意義；另外, 0,等也沒有意義。等也沒有意義。Nn2.1 復變函數(shù)的概念復變函數(shù)的概念n定義定義1 設設 為

8、給定的平面點集，若對于為給定的平面點集，若對于 中每一個復數(shù)中每一個復數(shù) ，按著某一確定的法，按著某一確定的法則則 ，總有確定的一個或幾個復數(shù)，總有確定的一個或幾個復數(shù) 與之對應，則稱與之對應，則稱 是定義在是定義在 上的復變函上的復變函數(shù)（復變數(shù)數(shù)（復變數(shù) 是復變數(shù)是復變數(shù) 的函數(shù)），簡稱的函數(shù)），簡稱復變函數(shù)，記作復變函數(shù)，記作 .其中其中 稱為自變稱為自變量，量， 稱為因變量，點集稱為因變量，點集 稱為函數(shù)的定義域稱為函數(shù)的定義域.DDiyxzfivuwfDwz)(zfw zwDn1.3.2 映射的概念映射的概念n 如果復數(shù) 和 分別用 平面和 平面上的點表示，則函數(shù) 在幾何上，可以看成

9、是將 平面上的定義域 變到 平面上的函數(shù)值域 的一個變換或映射，它將 內(nèi)的一點 變?yōu)?內(nèi)的一點 （如圖1.13）.zwZW)(zfw ZDWGDzG)(zfw 圖1.13n例例1 將定義在全平面上的復變函數(shù)將定義在全平面上的復變函數(shù) 化為一對二元實變函數(shù)化為一對二元實變函數(shù).n解解 設 ， ，代入 得 n比較實部與虛部得 ， 見教材 P16 例題12 zwiyxzivuw12zwivuw1)(2iyx2212xyixy 122yxuxyv2n例2 將定義在全平面除原點區(qū)域上的一對二將定義在全平面除原點區(qū)域上的一對二元實變函數(shù)元實變函數(shù) ， （ ）n化為一個復變函數(shù).n解解 設 ， ， 則將 ，

10、 以及代入上式，經(jīng)整理后，得 222yxxu22yxyv022 yxiyxzivuw222yxiyxivuw)(21zzx)(21zziyz zyx22)0(2123zzzwn2.1.2 映射的概念映射的概念n 如果復數(shù)如果復數(shù) 和和 分別用分別用 平面和平面和 平面平面上的點表示，則函數(shù)上的點表示，則函數(shù) 在幾何上，可在幾何上，可以看成是將以看成是將 平面上的定義域平面上的定義域 變到變到 平平面上的函數(shù)值域面上的函數(shù)值域 的一個變換或映射，它將的一個變換或映射，它將 內(nèi)的一點內(nèi)的一點 變?yōu)樽優(yōu)?內(nèi)的一點內(nèi)的一點 （如圖（如圖1.13）.zwZW)(zfw ZDWGDzG)(zfw 圖1.1

11、3n2.1.3 反函數(shù)與復合函數(shù)反函數(shù)與復合函數(shù)n1.反函數(shù)反函數(shù)n定義定義2 設 定義在 平面的點集 上，函數(shù)值集合 在 平面上.若對任意 ，在 內(nèi)有確定的 與之對應.反過來，若對任意一點 ，通過法則 ，總有確定的 與之對應，按照函數(shù)的定義，在 中確定了 為 的函數(shù)，記作 ，稱為函數(shù) 的反函數(shù)，也稱為映射 的逆映射.)(zfw ZDGWDzGwGwwzf)(DzGzw)(1wfz)(zfw )(zfw n2.復合函數(shù)復合函數(shù)n定義定義3 設函數(shù) 的定義域為 ，函數(shù) 的定義域為 ，值域 .若對任一 ，通過 有確定的n與之對應，從而通過 有確定的 值與 對應，按照函數(shù)的定義，在 中確定了 是 的

12、函數(shù)，記作 ，稱其為 與 的復合函數(shù). 講解P16 例2.1和例2.2)(hfw 1D)(zh2D1DG 2Dz)(zh1DGh)(hfw wzDwz)(zfw)(hfw )(zhn2.1.5 復變函數(shù)的極限復變函數(shù)的極限n定義定義4 設函數(shù)設函數(shù) 在在 的某去心鄰域內(nèi)有定的某去心鄰域內(nèi)有定義，若對任意給定的正數(shù)義，若對任意給定的正數(shù) （無論它多么小）（無論它多么?。┛偞嬖谡龜?shù)總存在正數(shù) ，使得適合不等式，使得適合不等式 的所有的所有 ，對應的函數(shù)值，對應的函數(shù)值 都滿足不等式都滿足不等式則稱復常數(shù)則稱復常數(shù) 為函數(shù)為函數(shù) 當時當時 的極限，的極限，記作記作 或或 )(zf0z)()(00zz

13、z)(zf Azf)(A)(zf0zz Azfzz)(lim0)()(0zzAzfn定理定理1 設 ， 則 的充分必要條件為: 且 ),(),()(yxivyxuzf000iyxz00)(lim0ivuAzfzz000lim ( , )xxyyu x yu000lim ( , )yyxxv x yvn復變函數(shù)的極限四則運算法則：復變函數(shù)的極限四則運算法則：n設 ， ，則 (1) (2) (3) Azfzz)(lim0Bzgzz)(lim0BAzgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000ABzgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000)0()(li

14、m)(lim)()(lim000BBAzgzfzgzfzzzzzzn例例1 試求下列函數(shù)的極限試求下列函數(shù)的極限.（1） （2）解解（1）法法1 設 ，則 ，且 得 zziz1lim11lim1zzzz zziyxziyxzzziyxiyx2222222xyxyixyxy1limzizz iyxxyiyxyxyyxx221222212limlim11法法2 （2） 設 ，則 ，得 1limzizz iiizziziz11limlim11iyxziyxz11lim1zzzzzz 1) 1)(1(lim1zzzz1lim(1)2zzn例例2 證明函數(shù) 在 時極限不存在.n證證 設 ，n而 ， .n

15、考慮二元實函數(shù) 當 沿著 （ 為任意實數(shù)）趨向于 ，即n ( )zf zz0z iyxz( )zf zz2222222xyxyixyxy2222( , )xyu x yxy222( , )xyv x yxy( , )u x y( , )x yykxk022( , )(0,0)0()1lim( , )lim( , )1x yxy kxku x yu x ykn 顯然，極限值隨 值的不同而不同，所以根據(jù)二元實變函數(shù)極限的定義知， 在 趨向于 時的極限不存在，即得結論.n練習： 1.求極限 見講義 P6 k( , )u x y( , )x y0n2.1.4. 復變函數(shù)的連續(xù)復變函數(shù)的連續(xù)n定義定義5

16、 設設 在點在點 的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義，若若 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 在點在點 處連續(xù)處連續(xù).n 若若 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)每一個點都連續(xù)，則內(nèi)每一個點都連續(xù)，則稱函數(shù)稱函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).n定理定理2 函數(shù)函數(shù) ，在，在 處連續(xù)的充要條件是處連續(xù)的充要條件是 和和 都在點都在點 處連續(xù)處連續(xù).n定理定理3 在在 處連續(xù)的兩個函數(shù)的和、差、積、處連續(xù)的兩個函數(shù)的和、差、積、商（分母在商（分母在 處不等于零）在處不等于零）在 處仍連續(xù)處仍連續(xù).)(zf0z)()(lim00zfzfzz)(zf0z)(zfD)(zfD),(),()(yxivyxuzf000iyxz),(yx

17、u),(yxv),(00yx0z0z0zn例例3 求n解解 n因為 在點 處連續(xù)，故n 21limzziz21zziz 1lim2zizz55321iiin例例4 討論函數(shù)討論函數(shù) 的連續(xù)性的連續(xù)性.n解解 設 為復平面上任意一點，則n當 時， 在 無定義，故 在 處不連續(xù).n當 落在負實軸上時，由于 ，在 從實軸上方趨于 時， 趨于 ，在 從實軸下方趨于 時， 趨于 ，所以 不連續(xù).當 為其它情況時，由于 所以 連續(xù).zarg0z00zzarg0zzarg00z0zzargz0zzargz0zzargzarg0z0argarglim0zzzzzargn定理定理4 若函數(shù) 在點 處連續(xù)，函數(shù) 在 連續(xù)，則復合函數(shù) 在 處連續(xù)（證略）.最值性質(zhì)最值性質(zhì)當 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)時，則 也在 上連續(xù)，且可以取得最大值和最小值；有界性有界性 在 上有界，即存在一正數(shù) ，使對于 上所有點，都有 .)(zgh 0z)(hfw )(00zgh )(zgfw 0z)(zfD),(),(22yxvyxu( )f z D)(zfDMDM)(zfn例例5 討論