第一講 不等式和絕對值不等式(2)

1、第一講不等式和絕對值不等式第一講不等式和絕對值不等式二、絕對值不等式OA|axa0 0關(guān)于絕對值還有什么性質(zhì)呢關(guān)于絕對值還有什么性質(zhì)呢? ?表示數(shù)軸上坐標為表示數(shù)軸上坐標為a的點的點A A到原點到原點O O的距離的距離. .證明證明:(1) 當當ab0時時, |,|()|(|)|22222222 ababababaabbaa bbabab(2). 當當ab0時時, |,|()|(|)|22222222222 ababababaabbaabbaa bbabab綜合綜合(1),(2)(1),(2)知定理成立知定理成立. .a b ab a b ab 定理定理2 2 如果如果a a、b b、c c是

2、實數(shù)是實數(shù), , - -那么那么|a-c|a-c|a-b|+|b-c|a-b|+|b-c| | -當且僅當當且僅當(a-b)(b-c(a-b)(b-c) ) 0 0時時, ,等號成立等號成立. .定理定理3 3 如果如果a a、b b是實數(shù)是實數(shù), , - -那么那么|a|-|b|a|-|b|a+b|a+b|a|+|b|a|+|b| | 當且僅當當且僅當abab 0 0時時, ,等號成立等號成立. .當且僅當當且僅當abab 0 0時時, ,等號成立等號成立. .將定理中的實數(shù)將定理中的實數(shù)a a、b b換成向換成向量量( (或復(fù)數(shù)或復(fù)數(shù)) )仍成立仍成立證明： |2x+3y-2a-3b|=|

3、(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3 =5 .所以所以 |2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|0, |x-a| , |y-b| , 求證：求證： |2x+3y-2a-3b|5 例2 兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路碑的第10km和第20km處?，F(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次。要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？ 分析：分析：假設(shè)生活區(qū)建在公路路碑的第假設(shè)生活區(qū)建在

4、公路路碑的第xkm處，兩處，兩個施工隊每天往返的路程之和為個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km，則有，則有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求問題化歸為求該函數(shù)，要求問題化歸為求該函數(shù)的最小值，可用絕對值三角不等式求解。的最小值，可用絕對值三角不等式求解。1010 x x2020形如形如|x|a (a0)的含絕對值的不等式的解集的含絕對值的不等式的解集: 不等式不等式|x|a的解集為的解集為x|-axa的解集為的解集為x|xa 0- -aa0- -aa 絕對值不等式的解法絕對值不等式的解法2.型如型如|ax+b|c,|ax+b|c(cR)不等式解法不等式解法 c c 0 0a

5、 ax x+ +b bc c或或a ax x+ +b b- -c c| |a ax x+ +b b| | c cc c0 0 x xR R當當 時時,當當 時時, c c 0 0c ca ax x+ +b bc c| |a ax x+ +b b| | c cc c= =0 0a ax x+ +b b= =0 0c c 1時，原不等式同解于時，原不等式同解于x x22x1-(X-1)+(X+2) -(X-1)+(X+2) 5 5-2 x 1-2 x 1x-3xx綜合上述知不等式的解為綜合上述知不等式的解為x-3或x-3或x2x2(3)(3)當當x1-(x-1)+(x+2)-5 -2x1-(x-1

6、)-(x+2)-5 x1-2 -2x1-2x-6 x-2解解 原不等式化為原不等式化為 |x-1|+|x+2|-5 0令令 f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,則則-3-31 12 2-2-2-2-2x xy y由圖象知不等式由圖象知不等式的解為的解為x-3或x-3或x2x2方法三：方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用了函數(shù)的圖象，通過構(gòu)造函數(shù)，利用了函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想例例 解不等式解不等式 |x-1|+|x+2|5型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2利用絕對值不等式的幾何意義利用絕對值不等式的幾何意義零點分區(qū)間法零點分區(qū)間法構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)

7、造函數(shù)法3.3.不等式不等式 有解的條件是有解的條件是( )( )1.1.解不等式解不等式|2|2x-4|-|3-4|-|3x+9|1+9|143xxa( )1B a ()1D a 1( )10C a 1( )010AaB B1.1.解不等式解不等式|2|2x-4|-|3-4|-|3x+9|1+9|22時，原不等式同解于時，原不等式同解于x223 3當當x-3-3時，原不等式同解于時，原不等式同解于2 2當當-3-3x2 2時，原不等式同解于時，原不等式同解于x-3-3-(2-(2x-4)+(3-4)+(3x+9)1+9)1(2(2x-4)-(3-4)-(3x+9)1+9)22-(2-(2x-

8、4)-(3-4)-(3x+9)1+9)1x-32-32 x-13-13x6 62 25 5綜合上述知不等式的解集為綜合上述知不等式的解集為6135x xx 或或作業(yè)作業(yè)6431)1(720 xP解解不不等等式式題題第第第第.32, 135,3103213531032310351 6436143143643143: 故原不等式的解集為故原不等式的解集為或或解得解得或或或或即即等式組等式組原不等式等價于下列不原不等式等價于下列不解解xxxxxxxxxx8.解不等式解不等式:.,).,24322,23,4)3()2(,2).2,3(43223,45,4)3()2(,23.3,(4323,25,4)3

9、()2(,3:432)2(Rxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原不不等等式式的的解解集集是是綜綜上上所所述述的的解解集集是是不不等等式式組組即即原原不不等等式式可可化化為為時時當當?shù)牡慕饨饧癁闉樗砸圆徊坏鹊仁绞浇M組顯顯然然成成立立即即原原不不等等式式可可化化為為時時當當?shù)牡慕饨饧鞘羌醇床徊坏鹊仁绞浇M組解解得得原原不不等等式式可可化化為為時時當當解解 .25,21,.25,22212,25,221,2).2, 1(22121,21,2)2()1(,21.1 ,212211,21,2)2()1(,1:221)3( 原原不不等等式式的的解解集集是是綜綜上上所所述述的的解解集集是是所所