D62多元函數(shù)的基本概念ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié) 第六章 多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用 推廣推廣一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(0oPPUPP 00一、區(qū)域一、區(qū)域1. 鄰域點(diǎn)集, ),(0PPU稱為點(diǎn) P0 的 鄰域.例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU(圓鄰域)在空間中, ),(),(0zyxPU(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成也可寫成. )(0PU點(diǎn) P0 的去心鄰域記為PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)

2、()()(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 EE則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn) .的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的 ,點(diǎn)P 的去心),PU(E鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 那么稱 P 是 E 的聚點(diǎn).聚

3、點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如，在平面上例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開

4、區(qū)域閉區(qū)域xyOxy21OxyOxy21O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 整個(gè)平面 點(diǎn)集1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域 ;但非區(qū)域 .11xyO 對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn)A 的距離 AP K ,則稱 D 為有界域 , 否則稱為無(wú)界域 .PD 與某定點(diǎn) xyOxy21O 若平面區(qū)域 D 中的任意閉曲線所圍成的有界區(qū)域?yàn)镈 的子集合, 則稱D 為單連通區(qū)域， 否則為多連通區(qū)域。無(wú)界單連通區(qū)域有界多連通區(qū)域目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 定義定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集,nDRDPPfu, )(或點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定

5、義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)?),(22 yxyx圓域說(shuō)明說(shuō)明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(RyxxyzOOOP223 例1例5 (自己看) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

6、 三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2. 設(shè)設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù),(nDPPfR),點(diǎn) , ),(0PUDP,)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對(duì)一記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPf),(lim00yxfyyxx都有對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切),(lim),(),(00yxfyxyx(稱為二重極限)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明：（1定義中0PP 的方式是任意的；（2二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或

7、有的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .函數(shù)四則運(yùn)算，唯一性，保號(hào)性，局部有界性，夾逼定理，變量替換目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè)設(shè))0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證:.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx ,取總有要證 原式.)sin(lim)0, 2(),(yyxyx例例2. 求求解解:xxyxyyx)sin(lim)0, 2(),(. 2xxyxyxxy20lim)sin(lim目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

8、 結(jié)束 例例3. 求求原式.)(lim2222)0, 0(),(yxyxyx 解解:)ln()0, 0(),(2222limyxyxyxe故只需考慮極限)ln(lim2222)0, 0(),(yxyxyx)ln()(lim22222222)0, 0(),(yxyxyxyxyx22220yxyx22222)(yxyx022yx其中)ln()(lim2222)0, 0(),(yxyxyx而tttlnlim0tyx22令. 0于是原式. 10 e目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因因,)(2224122yxyx222222)()

9、cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸,222yxr令那么62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r24r故22222200)()cos(1limyxyxyxyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) f (x , y) 沿x 軸趨于點(diǎn) (0, 0) 時(shí),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .例例5. 討論函數(shù)討論函數(shù)而當(dāng) f (x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0

10、) ,解解:),(lim00yxfyx0)0 ,(lim0 xfx當(dāng) f (x , y) 沿y 軸趨于點(diǎn) (0, 0) 時(shí),),(lim00yxfxy0), 0(lim0yfy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3322),(yxyxyxf 在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故在在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在點(diǎn)極限不存在 .例例6. 討論函數(shù)討論函數(shù)當(dāng)當(dāng) f (x , y) 沿直線沿直線 y = kx 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,解解:33322200lim),(limxkxxkxyxfxkxyx 0 32322200)()(lim),(lim2xxxxxxyxfxxxyx 31 )33()2

11、(lim3456323420 xxxxxxxxxx 當(dāng)當(dāng) f (x , y) 沿直線沿直線 y = x2 x 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) (0, 0) ,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.注注. 二重極限二重極限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同不同. 如果它們都存在, 則三者相等.例如例如,),(22yxyxyxf顯然),(limlim00yxfyyxx與累次極限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但由上例 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、四、 多元函數(shù)的連續(xù)性多

12、元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義3 . 設(shè)設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù))(Pf定義在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在點(diǎn)如果函數(shù)在 D 上,0DP 聚點(diǎn)如果存在點(diǎn)不連續(xù),則稱 n 元函數(shù)連續(xù), 各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上連續(xù).設(shè) n 元函數(shù))(Pf定義在 D 上, P0 為D 的聚點(diǎn)，假如0P)(Pf在為間斷點(diǎn) .0P則稱目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如, 函數(shù)函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)函數(shù)11),(22yxyxf上間斷.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等

13、函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理：假設(shè)定理：假設(shè) f (P) 在有界閉域在有界閉域 D 上連續(xù)上連續(xù), 那么那么,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對(duì)任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例 求求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222

14、yx例例 求函數(shù)求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 證明證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù) , 故連續(xù).又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 設(shè)設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令令uyxvxy23vuy 3vuu

15、x ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 區(qū)域 鄰域 :, ),(0PU),(0PU 區(qū)域連通的開集2. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)),(21nxxxf常用二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)DP)(Pfu nR目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 APfPP)(lim0,0,0時(shí)，當(dāng)PP 00有APf)(3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié) 作作 業(yè)業(yè) P264 7(4)(5);8; 10 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)(lim2222)0, 0, 0(),(zyxyzxyzyx解解: :又.)(212222zyx)(2222zxy