新北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《與“將軍飲馬”有關(guān)的三角形周長最小問題》教案_8

1、線段和最小問題教學(xué)設(shè)計(jì)課題與“將軍飲馬”有關(guān)的三角形周長最小問題1、掌握將軍飲馬問題的解法以及所用的數(shù)學(xué)原理兩點(diǎn)之間線段最短。2、 經(jīng)歷探索三角形周長最小問題的思路方法，進(jìn)一步培養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)學(xué)生用對(duì)稱的思想把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想。3、由將軍飲馬問題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生合作的團(tuán)隊(duì)精神. 體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)探索三角形周長最小問題如何解決。教學(xué)難點(diǎn)三角形的周長即三邊的和如何轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短。教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)、合作探究教學(xué)工具2、多媒體課件、三角板、圓規(guī)、投影儀.教學(xué)步驟教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖引入：傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)

2、者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A 出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B 地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳問題一：你能幫將軍解決這個(gè)問題嗎？如何證明你的是最短路線？這么做的根本原因是？引導(dǎo)學(xué)生 了解歷史 上將軍飲 馬問題，提問：如何解決？為 什么最 短？思考將軍飲馬 問題怎么做？ 學(xué)生自己動(dòng)手 畫圖 為什么是最短 的？用將軍飲馬 的數(shù)學(xué)史知 識(shí)引入，在 初三復(fù)習(xí)階 段，讓學(xué)生 再一次感受 數(shù)學(xué)來源于 生活、應(yīng)用 于實(shí)踐的作用，同時(shí)提高學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。事實(shí)上學(xué)生已經(jīng)很熟悉將軍飲馬

3、問題了，但要讓學(xué)生理解這么做根本原因是 通過對(duì)稱將兩個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)，利用兩點(diǎn)之間線段最短。問題二：如圖：四邊形ABCD中BAD=12o0， B= D=90o， AB=1， AD=2，在 BC、 CD上分別找一點(diǎn)M、 N， 使得AMN的周長最小，最小周長。引導(dǎo)學(xué)生 思考： 將軍 飲馬問題 是一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)、 兩個(gè)確定的點(diǎn)， 此 問題是兩 個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 一 個(gè)確定的點(diǎn) A， 應(yīng)當(dāng) 如何轉(zhuǎn) 化？四人一組積極討論，這個(gè)問題與將軍飲馬到底有什么相似的地方？由 于 A是 定點(diǎn)，所以作點(diǎn)A 的對(duì)稱點(diǎn)，由于有兩個(gè)垂引導(dǎo)學(xué)生討論， 學(xué)生來講直，所以作點(diǎn)A關(guān)于BC和 CD的 對(duì) 稱點(diǎn) A1和 A2， 從而轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線

4、段最短。再利用120°的補(bǔ)角以及兩條線段長度求出 最短距離 A1A2的長。設(shè)計(jì)意圖：此題已經(jīng)是求三角形周長最小問題了，由于A是確定的，所以作 A 的對(duì)稱點(diǎn)，并且 A 的對(duì)稱點(diǎn)也是確定的，這樣一個(gè)轉(zhuǎn)化的思想對(duì)學(xué)生來說不是很難， 并且為后邊 2018年 中考題鋪墊，兩動(dòng)一定比三動(dòng)簡單一些，學(xué)問題三：如圖， 在 ABC 中， A 45 ， B 60 ， AB=4，P 是 BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B， C 重合），點(diǎn)P 關(guān)于直線AB， AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M， N，則線段MN的最小值是 。中考鏈接（2018 年中考 25 題（3） ） ：如圖所示，AB、 AC、 BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中，AB

5、 6km， AC 3km，BAC 60°，BC所對(duì)的圓心角為60°新區(qū)管委會(huì)想在BC路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB、 AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、 F也就是，分別在弧BC線段AB會(huì)作對(duì)稱， 符合初三學(xué) 生的認(rèn)知規(guī) 律。引導(dǎo)學(xué)生 思考：對(duì)稱的思想學(xué)生已經(jīng)掌 握， 深刻理 解對(duì)稱的 性質(zhì)有哪學(xué)生思考：此題已經(jīng)對(duì)稱了，那么對(duì)稱后的性質(zhì)是：對(duì)應(yīng)邊相等、設(shè)計(jì)意圖： 此題的設(shè)計(jì) 是在學(xué)生已 經(jīng)會(huì)作對(duì)稱 的基礎(chǔ)上進(jìn)些？對(duì)應(yīng)角相等，行，作完對(duì)所以會(huì)連接稱把三角形AP、 AM、 AN，周長轉(zhuǎn)化為并且這三條線線段的長，段相等，利用此題利用對(duì)45°的二倍是稱的性質(zhì)：90°，從而將

6、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)MN用 AP表示應(yīng)角相等才出來，要求出轉(zhuǎn)化為MN 的 最小 值只 需 要求AP的最小值，利用垂線段最短可求解。2 AP， 再求出 AP的最小值。這個(gè)問題旨在利用對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算線段的長。引導(dǎo)學(xué)生 審題，畫出關(guān)鍵詞、關(guān)鍵條件；引導(dǎo)先冷靜首先獨(dú)立思考，然后小組討論。1. 三角形周長最小問設(shè)計(jì)意圖： 之前的問題 都在為此提 鋪墊，根據(jù)和 AC上選取點(diǎn)P、 E、 F 由于總 站工作人員每天要將物資在各物資站點(diǎn)間按P E F P 的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、 EF和 FP為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、 EF、 FP之和最短，試求PE EF FP 的最小值 （ 各

7、物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)） 思考在動(dòng) 筆畫圖計(jì) 算。 讓學(xué)生來講解， 教 師只是引 導(dǎo)。小結(jié)：學(xué)生自主討論總結(jié)自己的收獲題， 假設(shè) P定， 利用之前的知識(shí) 作 P關(guān) 于 AB、 AC的對(duì)稱 點(diǎn) P1、 P2， 轉(zhuǎn) 化為求兩點(diǎn)之 間的最短距離 P1P2； 2. 利用 對(duì)稱性質(zhì)得到P1P2= 3 AP。只 要 求出 AP 的最小值即 可； 3 利用圓 外一點(diǎn)到圓上 各點(diǎn)連接的線 段中，過圓心 的線可取最大 與最小值，從而的到AP 最小值為）OA-r；4 求 OA和 r, 證明三角形 ABC為直角三 角形，求出 BC=r, 再 求 OA， 求 AP， 求 的 P1P2。 整個(gè) 過

8、程由學(xué)生來 說方法。初中生的認(rèn)知規(guī)律，由簡到難，層層加深難度 ，學(xué)生通過合作探究基本可以走完前兩步，第 3 步穿心線的思想在圓的復(fù)習(xí)中學(xué)生以及突破，最后的計(jì)算，只要有 大膽猜測(cè)小心求證的想法就能做出來，教師稍加引導(dǎo)就可解決。引導(dǎo)學(xué)生 討論自主總結(jié)收 獲：關(guān)鍵是數(shù)設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生剛剛完作業(yè)：嘗試自己編一個(gè)求三角形周長最小問題學(xué)思想成 2018年最難的25題一定有很多收獲，比如：周長最小問題轉(zhuǎn)化為線段最小，穿 心線等等。設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)，自己編一道數(shù)學(xué)比較難的三角形周長最小的題，學(xué)生興趣濃 厚，同時(shí)也 是對(duì)本節(jié)課 知識(shí)的總結(jié) 和應(yīng)用。教學(xué)反思：這節(jié)課師生教與學(xué)活動(dòng)是建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和

9、已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，從將軍飲馬問題引入，滲透作對(duì)稱的思想，緊接著設(shè)計(jì)兩動(dòng)一定，作兩次對(duì)稱， 轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短。之后已經(jīng)掌握對(duì)稱的思想，需要分析對(duì)稱的性質(zhì)會(huì)計(jì)算兩點(diǎn)之間線段的長，為最后的中考題作了充分準(zhǔn)備，學(xué)生再看中考題時(shí)都有思路，只是在后邊計(jì)算時(shí)需要圓中一些基礎(chǔ)知識(shí)和教師簡單的引導(dǎo)，從而讓學(xué)生完成中考最難的題的解答。整體以學(xué)生為主體，按照初中生思維能力的發(fā)展由淺入深，層層遞進(jìn)，解決了以前看來非常難的25 題。另外數(shù)學(xué)史知識(shí)的引入讓初三學(xué)生耳目一新，興趣更加濃厚。上完后，我發(fā)現(xiàn)的問題有：1. 學(xué)生兩極分化比較嚴(yán)重，大概有60%的學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下思維得到鍛煉和發(fā)展，但是剩下的同學(xué)比較慢一些，也許這也跟中考 25 題第三問對(duì)學(xué)生思維、推理等能力要求非常高，這也和學(xué)生特點(diǎn)能力有關(guān)。2. 學(xué)生基本能夠