高等數(shù)學(xué)上冊第六版課后習(xí)題答案

1、習(xí)題1-11 .設(shè) 4=(一8,-5)口(5,+8), 5=-10, 3),寫出 Akj3,AcB,AW 及小(AB)的表達(dá) 式.解 Au5=(-8, 3)d(5, +00),AM=-10, -5),AB=(-oo, -10)55, +8),A(AB)=-10, -5).2 .設(shè)A、5是任意兩個(gè)集合，證明對偶律:(女7尸=心一爐.證明因?yàn)閤£(Ac8)c<=>xeAM。xA 或 xeBo xeAc 或 xeBc<=> xeAcjBc, 所以 (Ar>B)c=Ac jBc .3 .設(shè)映射廣X-K4zX,5d.證明(1煙。3>4)/3);證明因?yàn)閥ef

2、(A<jB)<>3xGA<jBy f(x)=yo(因?yàn)?xeA 或 xe8)y£/(A)或oy4A)5(3),所以 f(AB)=f(A)f(B.(2)因?yàn)閥£/(Ac8)=>mtwArAB、使/(x)=yo(因?yàn)?xeA 且 xeB) ye/(A)且 y48)=> ye所以 型4 .設(shè)映射廣XfK若存在一個(gè)映射g: AX,使go/=/x, fog=k,其中人、"分別是X、丫上的恒等映射，即對于每一個(gè)xeX,有/xx茗對于每一個(gè)昨匕有 ，J，Iyy=y.證明:/是雙射，且g是/的逆映射:gqi.證明因?yàn)閷τ谌我獾牟?#163;丫，

3、有4g(V)wX,且於月g(y)=/v y=y,即丫中任意元 素都是X中某元素的像，所以/為X到丫的滿射.又因?yàn)閷τ谌我獾腦1WX2,必有於)或，否則若於1)q(X2)=>g/(Xl)=g/(X2)=> X=X2.因此/既是單射，又是滿射，即/是雙射.對于映射g：yfx,因?yàn)閷γ總€(gè))E匕有g(shù)0)=x£X,且滿足/w=4gU)=Ay=y, 按逆映射的定義,g是7的逆映射.5 .設(shè)映射廣XRAuX.證明：(1 尸妙)=)4;(2)當(dāng)/是單射時(shí)，有廣】(/0)尸A .證明(1)因?yàn)?xeA >f(x)=yef(A) =>f-(y=xef-(f(A), 所以尸(M)Q

4、A.(2)由(1)知尸A)ZA另一方面，對于任意的x£/T(/(A)n存在y44),使廣1°，)=.)=次x)=y.因?yàn)閥A)且/是單射，所以這就證明了尸(M)u4.因此廣】(M)=A .6 .求下列函數(shù)的自然定義域：(l)y=j3x+2 ;解 由3.計(jì)2之0得函數(shù)的定義域?yàn)?令+8).丫;占；解由l-X2。得.*吐1.函數(shù)的定義域?yàn)?-8,1)51，+8).(3)，=工->/1-人； X解由0且1->0得函數(shù)的定義域0)50, 1.解 由4-目>0得x<2.函數(shù)的定義域?yàn)?-2, 2).(5)y=sui>/x;解由壯0得函數(shù)的定義 么0,+8

5、).(6)y=tan(x+l);解由x+lw?(D,±l,±2,)得函數(shù)的定義域?yàn)楹笈?3一1 (k=0,±1,±2, ,)(7)y=arcsin(,t-3);解由卜-30得函數(shù)的定義域D=2, 4.解由3-x>0且-0得函數(shù)的定義域 止(-8, 0)5。, 3).(9)y=ln(x+l);解 由x+l>0得函數(shù)的定義域+8).1(10) y=ex.解由注0得函數(shù)的定義域0=(-8, 0)5。,+8).7.下列各題中，函數(shù)/)和g(x)是否相同？為什么？ (1四)二館/, g(x)=21gx;(2)Ax)=x, g(x)= J口；(3) /*

6、)=加工一汽,g(x)=Mxi .(4)/(x)= 1, (x)=sec2x-tan2x .解(1)不同.因?yàn)槎x域不同.(2)不同.因?yàn)閷?yīng)法則不同,x<0時(shí),g(x)=-x.(3)相同.因?yàn)槎x域、對應(yīng)法則均相相同.|siiix|8.設(shè)雙工)=0(4)不同.因?yàn)槎x域不同.X|<y,求奴),奴9)，奴-2)a-2),并作出函數(shù)了二貝1)I 歸 644的圖形.解 它今斗sh吟奴夕小山|=q，貝一夕=|sin(一今|=§,久一2)=0. 。 o 244 Z 4429 .試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：(2)y=x+ln 戈,(0, +s).證明(1)對于任意的科工2&#

7、163;(-8, 1),有l(wèi)-Xl>0, l-X2>0.因?yàn)楫?dāng)X1<X2時(shí),)'。2 =1一81-X2 (l-XjXl-2)<0,所以函數(shù)產(chǎn)乙在區(qū)間(-8, 1)內(nèi)是單調(diào)增加的. 1-X(2)對于任意的XI, X2e(0,+8),當(dāng)X142時(shí)，有H - y2 二(玉十hl )一(巧 + hl X2)(Xj -X2)+111 <0 , X2 所以函數(shù))=r+ln x在區(qū)間(0, +8)內(nèi)是單調(diào)增加的.10 .設(shè)“T)為定義在(-/,/)內(nèi)的奇函數(shù)，若“I)在。/)內(nèi)單調(diào)增加，證明人刈在 (-/, 0)內(nèi)也單調(diào)增加.證明 對于Vxi, X2C(-/, 0)且

8、X1<V2, W-Xl, -X2e(0, /)K-V1>-X2.因?yàn)殪?在(0,/)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù)，所以八一X2)研一XI),火2)燈)，於2)次用)，這就證明了對于Vxi, X2E0),有/1)<«X2),所以於)在(-/, 0)內(nèi)也單調(diào)增加.11 .設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(-/,/)上的，證明：(1)兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；(2)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函 數(shù)的乘積是奇函數(shù).證明(D設(shè)尸。)=/UHg(x).如果兒t)和g(»都是偶函數(shù)，則尸(-4/-力以-刈4工)+g(

9、x)=F(x), 所以尸(M為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù).如果於)和g(x)都是奇函數(shù)，則/(T)/(THg(T)=dx)-gCl)=-F(X), 所以r(M為奇函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù).(2)設(shè)F(Q=/U).g(x).如果“T)和g(M都是偶函數(shù)，貝IJ尸(TM(T)g(T)=i/Wg(X)=F(X), 所以F(x)為偶函數(shù)，即兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù).如果/)和g(x)都是奇函數(shù)，則F(t 月(T)g(T)=M切-g(x)Mx)g(x)=F(x), 所以r(M為偶函數(shù)，即兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù).如果«x)是偶函數(shù)，而g(x)是奇函數(shù)，則F(工區(qū)一的奴一1)三公)一 g

10、(x)=W)ga)=-F(x), 所以F(.r)為奇函數(shù)，即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù).12 .下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函數(shù)乂非偶函 數(shù)？(2)=3/-/;4恐；(4)1(a1 )(1+1);(5)y=sin x-cos x+1;(6) .解 因?yàn)榘?3(-刈21-(-刈2=/(1-/)三")，所以於)是偶函數(shù).(2)由穴_刈=3(-用2-(1)3=3+2可見/)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).因?yàn)椤耙回锥翱投露?,所以人工)是偶函數(shù).1+(-xf 1+X(4)因?yàn)?f(-x)=(-x)(-x-1)(-r+1 )=T(X+ l)(x-l)=/(.v),所以人工)是奇

11、函數(shù).由 X-¥)=siii(-x)-cos(-*X l=-sin x-cos x+1 可見 fx)既非奇函數(shù)乂非偶函數(shù).(6)因?yàn)镴(T)=小"學(xué)5)=吟貯="、),所以於)是偶函數(shù).13 .下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期：戶cos(x-2);解是周期函數(shù)，周期為/=2兀(2)戶 cos 4x;解是周期函數(shù)，周期為/=?.(3)y=l+sin 兀v;解是周期函數(shù)，周期為/=2.(4)y=xcos x;解不是周期函數(shù).(5)y=sin2.t.解是周期函數(shù)，周期為/=不14 .求下列函數(shù)的反函數(shù)：(l)y=V-v+l;解由尸Vx+1得x=y3-

12、i,所以產(chǎn)胃口的反函數(shù)為"x3-1.(2) y=1-x.T+x,解由尸公得'=奈,所以產(chǎn)公的反函數(shù)為"公.(3)尸給皿X);解由y = 生咎得所以產(chǎn)鐺的反函數(shù)為尸也包'cx+d cy-acx+dcx-aJ(4)y=2siii3x;解 由 y=2 sin 3x 得.y arc sui2所以y=2sin3x的反函數(shù)為），arcsinV.2(5)y=l+ln(x+2);解由 v=l+ln*+2)得 x=e'T-2,所以)=l+ln(x+2)的反函數(shù)為 y=ei-2.產(chǎn)2XF+i解由產(chǎn)言得X=l°g2六，所以尸治的反函數(shù)為y=log2 y- 1一x

13、15 .設(shè)函數(shù)兀i）在數(shù)集X上有定義，試證：函數(shù)4I）在X上有界的充分必要條 件是它在X上既有上界又有下界.證明先證必要性.設(shè)函數(shù)段）在X上有界，則存在正數(shù)M,使族工）區(qū)，即 這就證明了及丫）在X上有下界-M和上界M.再證充分性.設(shè)函數(shù)4丫）在X上有下界Ki和上界 上，即Kx）< Ki .取 M=max|K", |昭|,則 -M< K（x）< Ki<M,即|/（x）|<M.這就證明了 "v）在X上有界.16 .在下列各題中，求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，并求這函數(shù)分別對應(yīng)于 給定自變量值總和X2的函數(shù)值：7t 7t解 y=sin2x,弘=sin2

14、 q=少=；,為=sii】2+（乎>.解 y=sin2.v,(2)戶sin u, u=2x,%=sin(2= >/22(3)y=, iqI+x2, %i=l, X2= 2;解 y=Jl+f , y=Jl+F =0,、2=Jl+2?=6.(4)產(chǎn)乙=0, x2=1;解 y-ex,)， = /-=1, y2 = e1 =e.(5) y=u2, n=" , xi= 1, X2=-1.解 V=A yl=e2 l=e y2=e2 (-l)=e-2.17 .設(shè)/U)的定義域b0,1,求下列各函數(shù)的定義域：而)；解由O-Wl得k區(qū)1,所以函數(shù)外2)的定義域?yàn)?1, 1.(2)於 iiu

15、);解 由0<sinx<l得22;4(2+1)4(=0, ±1, ±2. .)，所以函數(shù)/(sinx)的定義域 為2石(2+1)團(tuán)(n=0, ±1, ±2- - -).(3)兒葉。)(。>0);解 由0仝+1得-仝41-，所以函數(shù)/(x+a)的定義域?yàn)?21-a.(4)Xx+)+/()(«>0).解 由0仝+41且04丫一。41得：當(dāng)OvaK；時(shí)，女41一。；當(dāng)時(shí)，無解.因此當(dāng)OvaV；時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榭?1-0，當(dāng)a斗時(shí)函數(shù)無意義.118 .設(shè)刈=0x=l,g(x)=e求./式必和并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖T卜>1形.

16、解"0-1x<0 x=0.x>0ex<lr 1H-1,即0ex>l-1曰，即 g"(M= 111 11 11 k-h Krelg/(x)="(')= e° el19 .已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角戶40。(圖1-37).當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD 的面積為定值So時(shí)，求濕周L(L=48+3C+C0與水深力之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明 其定義域.b圖 1-37解 AB=DC=-d,又從SU1401/(SC+(5C+2cot40°/)=50 得BC=-cot40° /i,所以 h2 - 0 0540°h

17、siii40自變量的取值范圍應(yīng)由不等式組A>0,*-cot400.%>0確定，定義域?yàn)?v/?<&cot40°.20 .收斂音機(jī)每臺售價(jià)為90元，成本為60元.廠方為鼓勵(lì)銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺以上的，每多訂購1臺，售價(jià)就降低1分，但最低價(jià)為 每臺75元.(1)將每臺的實(shí)際售價(jià)P表示為訂購量x的函數(shù)；(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量式的函數(shù)；(3)某一商行訂購了 1000臺，廠方可獲利潤多少？解(1)當(dāng) 0仝4100 時(shí),p=90.令 0.01(xo-100)=9075,得 xo=16OO,因此當(dāng) x>1600 時(shí),p=75.當(dāng)

18、 100<v<1600 時(shí)，p=90(100)x0.01=910. Olx.綜合上述結(jié)果得到(900<x<100p=(91-0.0k 100<x<1600.75x>160030x0<x<100(2)P=(p-60)x=< 31x-0.0Lr2 100 <x<1600 .15xx>16003 3) P=31 x 1000-0.01 x 10002=21000(元).習(xí)題1-21 .觀察一般項(xiàng)刈如下的數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限:。)芍=/；解當(dāng)-8時(shí),與今-0,期*=0.七=(1)2;解 當(dāng)-8時(shí)，/=(lim(1)

19、L=O. nn(3)x/f = 2dy; tr解 當(dāng)foo時(shí)，x =2+4-2, lim(2+4)=2. nL t° tr(4» =一 1+l解 當(dāng) oolT'j*, x =-=10, liin -=1. n+1+1+l(5) 無=(1).解當(dāng).8時(shí),刈=(-1)沒有極限.COS*2 .設(shè)數(shù)列“的一般項(xiàng)蒼尸-.問liinx=?求出N,使當(dāng)N時(shí)，后與其/J-WD極限之差的絕對值小于正數(shù)£,當(dāng)£=0.001時(shí)，求出數(shù)N.解 limx =0./»>30Xn0=cos等n4V。，要使<£,只要*,也就是小.取N-g,則W&

20、gt;N,有,一0|<£.當(dāng) £=0.001 時(shí)，N=：=1000.3 .根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(l)lim-y=0; 一>00*，分析要使I二一0上二<£,只須2>工，即 tr nLs證明因?yàn)閂qOTN=3,當(dāng)心N時(shí)，有-。卜£,所以lim-V=0. yj£tr->8/ 11m 加±1二； -x» 2/?+1 2分析要使I袈|一目尋不<；<£，只須;<£，即心;.2/+1 2 2(2+1) 444£證明因?yàn)閃OTN=H-,當(dāng)心N時(shí)，有|加斗一京

21、打所以向誓|=2. 4e2+1 22 2/?+1 2 11m一8分析要使|近五!_+而”=。2 _貯£,只須,之nn(yln2-a2 +/?) n£證明因?yàn)閂qOVN=Q,當(dāng)V心N時(shí)，有"所以8nliin迎還=1一>004 4) lim"方如9=1.一8 xA個(gè)分析 要使|0.99一91| = 焉<£,只須焉<£,即>l+lgL10r10£所以11mq 轡 43 9=L n->00 個(gè)4. liin u=a, /i->oo證明 因?yàn)?VqO, mN=l+lgJ,當(dāng) V>N 時(shí)，W|0

22、.99.9-l|<£,/I>00證明lim|%舊目.并舉例說明：如果數(shù)列麻|有極限，但數(shù)列4未必有極限.證明因?yàn)樗訴。, mNwN,當(dāng)N時(shí)，有%-水£,從而 x|uwp|a|<|un-fl|<£.這就證明了-8數(shù)列悶有極限,但數(shù)列&未必有極限.例如向1|(-1)卜1,但不 一8H-KC存在.5 .設(shè)數(shù)列X有界，又 limy=0,證明:limx71yzi=0. /i-x證明因?yàn)閿?shù)列&有界，所以存在M,使VeZ,有后區(qū)M又照為=0,所以WoOTNeN,當(dāng)心N時(shí)，有從|京從而當(dāng)心N時(shí),有-o|=k% KM % I<m 旨&

23、#163;,所以 liin xnyn = 0 . n-»oc .6 .對于數(shù)列x,若無2i->a(k-8),X2k->a(女一>s), 證明:>8).證明因?yàn)?X2If4也f8), X2I->4(k-8),所以 /£>0,3Ki,當(dāng) 2hl>2Kil 時(shí)，有g(shù)i。|<£；水2,當(dāng)2fc>2K2時(shí),有網(wǎng)一水£.WN=max2Ki-l, 2K2,只要心N,就有麻-水乩 因此 Xn>a(7?>8).習(xí)題1-31 .根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：(l)liin(3x-l)=8;x>3分析因?yàn)閨(3

24、x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1Z|<£,只須次一3|暴.證明因?yàn)?。0,當(dāng)0<卜3<5時(shí)，有 |(3x 1)81V£,(3) liinx2-42 x+2=-4；所以叫(31-1)=8.分析所以要使因?yàn)?x2-4 x+2x2-4x+2(4)=田+2力-(-2)|,(-4) <£, 只須|工_(_2)|<£.證明因?yàn)?£>075=£,當(dāng) 0<k-(-2)|<b時(shí)，有 錚-4)卜£,所以螞W(4) liinl-4x31 2x+l分析因?yàn)?2 |=|

25、l-2,¥-2|=2|x-(-y)|,所以要使 4"一2 <£,只須|x(_')卜£.2x4-122證明因?yàn)?£>0,筋=：£,當(dāng)04x(；)|<5時(shí)，有1412x+l2 V£,所以liin4”=2. 2x+l22 .根據(jù)函數(shù)極限的定義證明:(l)lim 與¥=:； x-»ccz分析因?yàn)閨 1+X311"27-2l+x3-x32x31IT7'所以要使|第一撲£,只須冊但即曲泰.證明因?yàn)閂£>o, mx =Mis,當(dāng)|x|>X時(shí)，有

26、I 1+X3 1所以 liin 1+ ； =& .a->»2(2) liin 里=0XO J分析因?yàn)镮 siiix所以要使I號詈-V£,siiix0卜£,只須十V£,即證明因?yàn)?£>0,mX=4,當(dāng)x>X時(shí)，有I siiix 八"I vr-°”所以ihn+=0.3 .當(dāng)x.2時(shí)，)=*.4.問b等于多少，使當(dāng)卜21Vb時(shí),|y-41Vo.001?解 由于當(dāng)-2時(shí),卜-2|-0,故可設(shè)卜-2|<1, BP l<r<3.要使-4|=+2|x-2|<5|x-2|<0.001,

27、只要 |x-2|v”=0.0002.取10.0002,則當(dāng) 0<卜一2|<5 時(shí)，就有g(shù)4ko. 001.4 .當(dāng)工-8時(shí)，y=W4.l,問X等于多少，使當(dāng)kX時(shí),|y1|<0.01? K+3品<001，只要曲J孺3=5/7,故乂二屈7.5 .證明函數(shù)當(dāng)X-0時(shí)極限為零.證明因?yàn)橐鱸=|田0|=桶一0|,所以要使小尸0|<£,只須卜|<£因?yàn)閷qOTMe,使當(dāng)0<k0<a時(shí)有弟）-0|=以|-0|£,所以|40.6 .求/（加工 奴正因當(dāng)工-0時(shí)的左、右極限，并說明它們在xf0時(shí)的極 .A限是否存在.證明因?yàn)閘ii

28、n /(x)= liin = liin 1=1, xtO- x->(r x x->o-liin f(x)= liin = liin 1=1, a->o+.D- x n->o+liin /(x)= liin f(x),XT。-X->0*所以極限liin 存在.A>0*因?yàn)閘iin 奴x)= liin = liin =-l a->0"nTT X 10- Xliin 夕(x)= liin = liin =1,xtO+n->0+ X x->0+Xliin 奴x)w liin 奴工)，x->o-所以極限liin隊(duì)x）不存在.7 .證明

29、：若Xf+8及入-s時(shí)，函數(shù)八x）的極限都存在且都等于A,則吧 3A.證明因?yàn)閘iin f(x)=A,X>"0Cliin f(x)=A,所以V。, X>-H»mx»o,使當(dāng) x<-X 時(shí)，有如)-A|<£；3%2>0,使當(dāng) x>X2 時(shí)，有心)-A|<£.取 X=maxXi, X2,則當(dāng)W>X 時(shí)，有游)-川<% 即 lim/(M=A.8 .根據(jù)極限的定義證明：函數(shù)於）當(dāng)xf.to時(shí)極限存在的充分必要條件是左 極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設(shè)人刈-A（x-刈），則V60,

30、 3&>0,使當(dāng)0<卜-刈|<5時(shí), 有心）-川<£.因此當(dāng)Ko-長x<xo和xo<r<ro+時(shí)都有fx）-A<£.這說明人刈當(dāng)xf祀時(shí)左右極限都存在并且都等于4 .再證明充分性.設(shè)於o-OAAxo+OAA貝IJW60,三必>0,使當(dāng)X0-2C 時(shí)，用於）-4<£；3&>0,使當(dāng)xo40o+£時(shí)，有伏刈-川<£.取酶min瓦，擊，則當(dāng)0卜-4()|<5時(shí)，有xo-4<丫40及醫(yī)，從而有| /)-A|<£,即 /(X)>A(x

31、><0).9,試給出Xf8時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理，并加以證明.解式->8時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理：如果/(X)當(dāng)Xf 8時(shí)的極限存在，則 存在X0及M>0,使當(dāng)W>X時(shí),證明設(shè)於)f4(Xf 8),則羔于£=1, mx>o,當(dāng)k|>X時(shí)，有人¥)-川<£ = 1.所以")|二弟)-A+A區(qū)距)-A W |< 1+囿.這就是說存在X>0及M>0,使當(dāng)k|>X時(shí),")|<M,其中M=l+|4 習(xí)題1-41 .兩個(gè)無窮小的商是否一定是無窮小？舉例說明之.解不一定.

32、例如，當(dāng)1。時(shí)，如兩網(wǎng)日都是無窮小，但艘鬻號 需不是無 窮小.2 .根據(jù)定義證明：(l)y=當(dāng)當(dāng)x-3時(shí)為無窮小；x+3(2)，=xsin；當(dāng)X-0時(shí)為無窮小.證明 當(dāng)時(shí)口耳 三等|=|a3|.因?yàn)?。0,三眄£,當(dāng)0<卜3|<b時(shí)，有I止*<5=c,所以當(dāng)13時(shí)丫=為無窮小.'x+3(2)當(dāng)及0時(shí)日耳刈siiJ國x0|.因?yàn)閂qO,三場£,當(dāng)0<|x0<5時(shí)，有鄧出:小-09=£,所以當(dāng)0時(shí)y=xsin；為無窮小.3 .根據(jù)定義證明：函數(shù)3，=1±在為當(dāng)戈-0時(shí)的無窮大.問x應(yīng)滿足什么條件, X能使卜|>1。

33、4?證明分析|止|耳斗|2+撲古-2,要使卜卜M只須吉2>M,即l±2xxM+2證明因?yàn)閙，便當(dāng)0<|工一0|<5時(shí)，有 M+2所以當(dāng)XfO時(shí)，函數(shù)y=l±&是無窮大.X取 M=1O+ WO 8=-.當(dāng) 04x0|v時(shí)，M>10七 104+2、1 104+2 月4 .求下列極限并說明理由：（如出； X解（1）因?yàn)楹?#177;1=2+!，而當(dāng)Xf8時(shí)L是無窮小，所以lim4±l=2. X XXX X因?yàn)槿?l+x（xwl）,而當(dāng)X-0時(shí)X為無窮小，所以limF=l.L-Xa->0 l-X5.根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義，填寫下表:

34、曲f4S©-00Xf丫0V6>0,3>0,使 當(dāng)0<卜-刈<加寸， 有恒如上4|<2X>xo+XTXKXf 8v*o.mx>o,使當(dāng)|x|x 時(shí)， 有恒人切機(jī)Xf+COX>-<X>解危）-A府）-8於）+8段）f-8XfToV £>0,30,使 當(dāng)0<,一大0kH寸， 有恒人1）-川<£VM>0, 3>0,使 當(dāng)O<|x7o|<印寸， 有恒血0|>M.vw>o, m 蘇0,使 當(dāng) O<x-xo|<<#t, 有恒於）>M.VM&g

35、t;0, 3&>0,使 當(dāng)0<卜-刈<酬寸， 有恒於）<-M.V£>0,3<5>0,使 當(dāng) O<tTo<（Sl寸， 有恒底0-用<£VM>0, 3<5>0,使 當(dāng) 0v寸， 有恒心）|>林VM>0, 30,使 當(dāng)0<¥-工0<加寸， 有恒於）>M.VM>0, 3<5>0,使 當(dāng) O<r-xo<t, 有恒兒x>xo"V£>o, 3&>0,使 當(dāng)Ooro戈<日1寸，VM&g

36、t;0, 3>0,使 當(dāng) Ovto-x<H寸，VM>0, 3<5>0,使 當(dāng) o<Y（）T<arj,VA/>0, 3<5>0,使 當(dāng)0<xq-戈附，有恒歐)-川<£有恒有恒有恒XTSV£>0, 3X>0,使 當(dāng)N>x時(shí)，有恒 距)-川<£V£>o, 3X>0,使 當(dāng)kl>x時(shí)，有恒 山)1>機(jī)V£>0, 3X>0,使 當(dāng)N>x時(shí)，有恒 於AM.VqO, mX>0,使 當(dāng)kx時(shí)，有恒Xf+8Vq0TX&g

37、t;0,使 當(dāng)x>X時(shí)，有恒 毆)-川<£“0凸xo,使 當(dāng)x>X時(shí)，有恒 山)1>機(jī)V£>o, 3X>0,使 當(dāng)cX時(shí)，有恒 同M.VqO, 3X>0,使 當(dāng)x>X時(shí)，有恒Xf-QOV£>o, 3X>0,使 當(dāng)x<-X時(shí)，有恒 公)一川<£"O,mx>o,使 當(dāng)x<-X時(shí)，有恒 次3V£>0, 3X>0,使 當(dāng)xv-X時(shí),有恒 ©>M.VoO, 3X>0,使 當(dāng)x<-X時(shí)，有恒6 .函數(shù)尸XCOSX在(-8,

38、+8)內(nèi)是否有界？這個(gè)函數(shù)是否為當(dāng)丸->十8時(shí)的無窮 大？為什么？解 函數(shù)"XCOS1在(-8,+8)內(nèi)無界.這是因?yàn)閂M>0,在(-8,+8)內(nèi)總能找到這樣的X,使得卜例如y(2kR=2k;rcos2kg2k/r(k=0, 1, 2,)，當(dāng)上充分大時(shí)，就旬)，(2kR卜M.當(dāng)Kf+8時(shí)，函數(shù))HVCOSX不是無窮大.這是因?yàn)閃M0,找不到這樣一個(gè)時(shí)刻N(yùn),使對一切大于N的M都有b*)卜M. 例如興2%乃+5)=()+3)cosQA乃+5)=0(k=0, 1, 2,)，對任何大的N,當(dāng)k充分大時(shí)，總有x=2Jbr+£>N,但卜(刈=0<M.7 .證明：

39、函數(shù))，=1siiJ在區(qū)間(0, 1上無界，但這函數(shù)不是當(dāng)10十時(shí)的無窮 X A大.證明函數(shù)y=LiiJ在區(qū)間(0, 1上無界.這是因?yàn)?X XVM0,在(0, 1中總可以找到點(diǎn)/ 使)，(冰)>M.例如當(dāng)xk (A=°, 1, 2, 一)2時(shí)+42時(shí)，有yg)=2 kT+?,當(dāng)k充分大時(shí),y(Xk)>M.當(dāng)K-0-時(shí)，函數(shù)y=siiJ不是無窮大.這是因?yàn)閄XVM>0,對所有的蘇0,總可以找到這樣的點(diǎn)公，使0。內(nèi)封但yg)<M例如可4=/(b°j2,),當(dāng) k 充分大時(shí),xq<a 但 y(Xk)=2k7isin2k7r=0<M.習(xí)題1-5

40、1.計(jì)算下列極限：(1)叫穴；12 X-3解向/=/=_9.工一>2 X323巴島 解.、粵£1二郁二°.解 liin J 2x+l =111n (：_12 .111n 口=?=0 x1 X21tt1(X1Xx+1) X-lx+l 24x3 -2x2+x.0)*nn2；xo 3xz + 2xh.7i r 4x3-2x2-x . 4x2-2x+1 1解 Inn=inn -=.xo 3x2+lx 。3x+22(5);/i->o h解配*"理產(chǎn)2""12向)分(6)lim(2,+與;解 liin(2-+-)=2liin + liin 4=

41、2.A>OCX XLA->x X -V-MC X£(7) Inn 1 ;X>x 2xz-x-l)i-J_解 liin ： 7 = liin v" ='8 2.V8 112x xz(8) liinX8x2+xx4-3x2-l'解 liinA>00x2+xx4-3x2-l=0（分子次數(shù)低于分母次數(shù)，極限為零）.liin-X-8 Xx2 + x4-3x2-lN6x+8吧解lim學(xué)著隼lim(1沙？=血】二=著等.r->4 xz-X+4 x->4 (x-l)(x4) 14 X-L 4-1 3(10) lim (1+與(2-3);1

42、8 X X解 liin (1+)(2-)= liin (1+) liin (2-ir)=lx2=2.A>x X XZ -V>xX A>xX2(11)煦。(今+抒/ 1， V +2+3df(72 1)(12) bins-；877(；7 -l)n缶 7 r l+2 + 3dF(/? -1)1.21 r H 1 1解 liinz -=liin = liin=.T88 /28 /72(13)lim(+l)(+?(»3)；- 85/解11n(+1)(+?(+3)(分子與分母的次數(shù)相同，極限為 -85”)3最高次項(xiàng)系數(shù)之比).-V . (+1)(+2)(+3) 1 .八 J、八

43、,2、八 3 1或 lim 八 _ J-= liin (1+)(1+-)(1+)=-.Str5 一n n 5解吟心一金尸嗎(l-xXx+2)-lim i+2 12 .計(jì)算下列極限：解因?yàn)榘?=>°,所以鳴滑e3 2) hn)X ；re ZX+12解吧0磊=8 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù))4 3) liin(2x3-x4-l). Xx解lim(2x3_x+l)=oo(因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)).5 .計(jì)算下列極限：(1) liin x2 sill； x3X解山】/5山工=0(當(dāng)天-0時(shí),*是無窮小，而sin1是有界變量). A->0 xX(2) liinX-MCarctai

44、ir解 liinA>0CXaictanx =血口 Larctanx=O(當(dāng) x>oo時(shí)，!是無窮小,而arctan x是有界變量).6 .證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題1-61 .計(jì)算下列極限:(弧巫之10 x解Um包竺竺=。血包竺竺二0. a->o x x->o cax(2)11m 蛔主；3。 X解血】皿=3皿羋一V=3. a->o x x->o 3x cos3x叫吟rOsin"解山"昨=歷巫上2=2 .xsin5x )2x sinSx 5 5(4)liinxcotx;A>0解 liin xcotx= liin ；x cosx=

45、liin ' liin cosx=l.xo入Osinxx->osiiix 五o(5)如上£吟xo xsinx解 血上£隨=向上學(xué)=3蚪包=2向】(皿)2 = 2.XT。xsmx .1O x2工70 XZ A->0 X或lim lz£os2x = 11m 這1=2 lim 皿=2 .X-o xsilix XT。XS ill XA->0 X(6) liin 2sinS(x為不等于零的常數(shù)).n>oc2XSUI 解 liin 2 sill-= liin- x=x .82 n-wc X2 .計(jì)算下列極限:(l)lim(l-x);x->

46、0= liiiil+(-x) c，尸=el.1(T)解 liin(l-x)A = liiiil+(-x)("A) A->0x-*0i_(2)叫(l+2x)7;x>01j_2j_解 liiq(l+2x戶= lii%(l+2x)五=liin(l+2x)2=2.(3)lim (出乎；K8 X解 lim (1±與 2 ylim(1+與2 =/ AOO XX>0CX(4) liin(1-1) (k 為正整數(shù)). x* X解 liin(l-/' = .ITOC XX>00 X3 .根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明極限存在的準(zhǔn)則r.證明僅對XfXO的情形加以證明.

47、設(shè)£為任一給定的正數(shù)，由于limg(x)=A,故由定義知，對£>0,存在瓦0,使 Xf0得當(dāng)Ov|x_,v()k6時(shí)，恒有k(x)-4|v£,即A-e<g(x)<A+c.由于lim/7(x) = A,故由定義知，對Q0,存在龍>0,使得當(dāng)O<kTo|<龍時(shí)，恒有 X>“h(x)-A<£.即A-£<h(x)<A+£.取應(yīng)minG,龍，則當(dāng) O<|x-xo|<3時(shí)，A一慶g(x)<A+£與 A-£<h(x)<A-£ 同時(shí)

48、成立，又因?yàn)間(x)<f(x)<h(x所以4-£勺+£,即|/0川V因此 liin /(x)=A . Xf0證明僅對x-xo的情形加以證明.因?yàn)閘iin g(x)=A , liin /?(x) = A, ifqx>x0所以對任一給定的QO,存在必o,使得當(dāng)ok-闖<印寸，恒有g(shù)(x)-A <£& h(x)-A |<£；B|J A-£<g(x)<A+£& A-s<h(x)<A+s.又因?yàn)?g(x)<f(x)<h(x所以A-£<f(X)

49、<A+£,即心)-川<£,因此 liin f(x)=A .Xf 04 .利用極限存在準(zhǔn)則證明:(l)liin n>oc證明因?yàn)閗而 liin 1=1 且 liin(l+)=1, 一>00由極限存在準(zhǔn)則L 8 V H5 2) lim (一+ 2、+ +)=1；ne+ 乃+ 27/+/7%證明因?yàn)槿?占+q)< 4，n +n/r +乃 廿+2兀+乃22而 liin =1, liin =1,->00，產(chǎn) + 乃o 幺 + 兀所 以liin (一 H- ) L » F )=1./i-x® 乃，+24乃(3)數(shù)列72+>/

50、2 , /+J2+應(yīng)， 的極限存在；證明七一 JJ, x+i=j2+x (z?=l, 2, 3,-).先證明數(shù)列心有界.當(dāng)=1時(shí)項(xiàng)=JIv2 ,假定n=k時(shí)Xk<2,則當(dāng)n=k+1時(shí),4+1=.2+ vj2+2=2,所以為<2(=1, 2, 3, . .),即數(shù)列4有界. 再證明數(shù)列單調(diào)增.因?yàn)?z2+Q 2)(xn+1)%+4=J2+/ 一4= /=；J2aJ2+X+X而x2<0,汨1+1>0,所以x+lx>0,即數(shù)列%單調(diào)增.因?yàn)閿?shù)列9單調(diào)增加有上界，所以此數(shù)列是有極限的.(4) lim 加工=1;A->0證明當(dāng)年1時(shí)，則有 i+xwi+k 區(qū)(1+N)

51、, l+x>l-W>(l-|x|)從而有 l-|x|<Vl+x<l+|x|.因?yàn)閘im(l-|x|)=lim(l+|x|)=l根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，有l(wèi)iin 'y/l+x=l.x0(5) lilll Afl = l.X證明因?yàn)閘v山所以1tvQK1. X XXX又因?yàn)閘illl (l-x)= liin 1=1,根據(jù)夾逼準(zhǔn)則，有l(wèi)im M4=1. ,T->0-x(Fx->0' x習(xí)題1-71 .當(dāng)xf0時(shí)與Wt3相比，哪一個(gè)是高階無窮??？解 因?yàn)?Um A4=lim?£=0, 0 2x-x2 3 2-x所以當(dāng)xf0時(shí),x2-是高階無窮小，即

52、x2-x3=0(Zr-x2).2 .當(dāng)11時(shí)，無窮小It和(1)1-V (24(12)是否同階？是否等價(jià)?解(1)因?yàn)?。?+工+ ')=山】1(1+戈+口2)=3 ,-v->l 1X A->1 lx-v->l所以當(dāng)x-1時(shí)，It和l-x3是同階的無窮小，但不是等價(jià)無窮小.J"”2) 1(2)因?yàn)?lim J=iliin(l+Aj=l,a->i 1-x 2ii所以當(dāng).r->l時(shí)，It和劣。-/)是同階的無窮小，而且是等價(jià)無窮小.3.證明：當(dāng)天-0時(shí)，有：(1) arctan x x;x2(2)secx -1 亍.證明(1)因?yàn)閘im里©

53、里竺=lim-=1(提示：令尸atctanx,則當(dāng)x>0時(shí), xtO xy->o tan yy-o),所以當(dāng) x>0 時(shí),arctanv-x.2sing 2)2 = 1,i i2sin2(2)因?yàn)?liin= 2lim l-cosx = Um -L = lim(3° 1 v2 DJVCOSX D Xz XT° A22所以當(dāng)k-0時(shí)，secx-l三.4 .利用等價(jià)無窮小的性質(zhì)，求下列極限:叫嚶；工一0 ZX呼。晨拼為正整數(shù)）;tanx-siiix. 段Fk，(4) liin xtOsiiix-tanx(Vl+x2 - l)(Jl+sinx1)解他曾七聲m;o

54、on=mn>m .n<m.siiix(1) 11m tanx-smx = 11m 一埠jo sin'x -'->o sin'(4)因?yàn)?-cosx= liin1 22X .1=liin 7 - - ?-.Dcosxsiii2 x 10 cosx 2siiix-taii.v=taiix(cos¥1)=2taiixsiii2-2r()2=X2# (D),Jl+sinx-1= . SIA=_sinxx(x10),Jl+sinx+1siiix-tanx_1 v3所以 liin 廠 *in.2nx_ _ 11m _3.J。劭+/ - 1)(J1+sin

55、x-1) x-叫/.X3.5 .證明無窮小的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：。a （自反性）；（2）若a夕，則對稱性）；（3）若a以。%則傳遞性）.證明（l）lim2=l,所以aa;a（2）若a夕，則從而lim，=L因此比a;(3)若 a?，上% liiny=liin liin=1.因此 cr/.習(xí)題1-81 .研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形:/(、)=工0<x<ll<x<2 '解已知多項(xiàng)式函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)4。在0, 1）和（1,2內(nèi)是連續(xù)的.在ml處，因?yàn)槿?）=1,并且liin f(x)= liin x2=l, .v->r x->rliin

56、 f (x)= liin (2-x)=l.所以從而函數(shù)於）在41處是連續(xù)的. T1綜上所述，函數(shù)人）在0,2上是連續(xù)函數(shù).(2)/(刈=：|x|>l.解只需考察函數(shù)在4-1和41處的連續(xù)性.在X-1處，因?yàn)檠?1尸-1,并且lim f（x）= lim l=U/（-l）, 一廠 x->-rliin /(x)= liin x=-l=/(-l), >-r工-1+所以函數(shù)在4-1處間斷，但右連續(xù).在41處，因?yàn)槿?)=1,并且lini /(x)= lini =1=(1), lini/(x)= lini+l=l=(l),所以函數(shù)在ml處連續(xù).綜合上述討論，函數(shù)在(-叫-1)和(-1,+

57、與內(nèi)連續(xù)，在4-1處間斷，但右連續(xù).2 .下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷，說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類，如果是可去間 斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)：丫2_1 y= 7 24,x=2廿一3x + 2解尸/r器器去因?yàn)楹瘮?shù)在A2和I處無定義,所以A2和X=1是函數(shù)的間斷點(diǎn).因?yàn)閘iin y=liin 廣1 =6,所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn); 人一2/x2 %2-3x+2因?yàn)閘imy=limp?=-2,所以41是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)，并且是可去間斷 I，X->1 (x-2)點(diǎn).在41處，令尸-2,則函數(shù)在ml處成為連續(xù)的.(2) y=-, x=k, x=k兀吟 伙=0, ±1, &#

58、177;2,)； taiix2解函數(shù)在點(diǎn)4k4代Z)和Ibr+/(&wZ)處無定義，因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的 間斷點(diǎn).因liin一=8(/0),故4小工0)是第二類間斷點(diǎn)；1k；r tanx因?yàn)?lim=1,liin =0(女wZ),所以 x=0 和x=k;r+k(&eZ)是第一工o tan x(->族+欠 tan x22類間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn).令y|x=o=l,則函數(shù)在a=0處成為連續(xù)的；令工=0+/時(shí),尸0,則函數(shù)在戈=覬+等處成為連續(xù)的.(Sj)cos2 , A-0；解因?yàn)楹瘮?shù)產(chǎn)cos24在x=0處無定義，所以x=0是函數(shù)產(chǎn)cos2上的間斷點(diǎn). AA又因?yàn)閘imcos2!不存在，所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn). 10 X(