正弦定理的幾種證明方法

1、正弦定理的幾種證明方法1 利用三角形的高證明正弦定理(1)當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB±的髙是義，有CD=asinB .CD =bsnA 0由此，得盞r島同理可得僉=島故月 喬二瞼=翫.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.(2)當(dāng)AAEC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AE邊上的高，交AE的延長線于點(diǎn)D,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD = asinACBD=asinAABC , CD =b sin A。由此'得島二頁淙同理可得故有 & =. csinA sinAABC sinC由(2)可知，在ZC中，僉二蹇b成立.從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即

2、&_ b _ csin 月 sinB sinCr用知識(shí)的最近生長點(diǎn)來證明:實(shí)際應(yīng)用問題中，我們常遇到問題:已知點(diǎn)A,點(diǎn)E之間的距|AB|,可測(cè)量角A與角E,需要定位點(diǎn)C,即:在如圖AABC中，已知角A,角E, | AB | =c,精品求邊AC的長b解：過C作CETAB交AE于D,則DCtanCcsinAsinCcsinAcosCsinCcosCAD = ccosAsinCsinCsinC推論:b _ csinB sinC同理可證:u _ b _ csin A sinB sinC2利用三角形面積證明正眩定理已知ABC,設(shè) BC = a, CA = b,AB = c,作 AD 丄BC,垂足

3、為 D貝9 RtAADBAF)中,sin 3 = ,*. AD=AB sinB=csinBAB S_ABC= AD = acsin B 同理，可證 S_ABr= "sin C = bcsiiA A 2 2 2 2 S_ABC=丄“bsinC = bcsinA =丄“esinB absinc=bcsinA=acsinB,2 2 2在等式兩端同除以ABC可得竺=沁=護(hù).即化=_二cabsin A sinB sinC3向畳法證明正弦定理為銳角三角形，過點(diǎn)/1作單位向量j垂直于則j與AB的夾角為90° -A,與CB的夾角為90° -C 由向量的加法原則可得AC + CB

4、= AB為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j 的數(shù)量積運(yùn)算，得到j(luò) (AC+ CB) = jAh由分配律可得AC+jCB = jAB.ACC90° +|j|CB血(90。二|j| AB a&9()。BCa _ csin A sinC另外，過點(diǎn)Q作與CB垂直的單位向量j,則j與花的夾角為90° +Cj與麗的夾（、 /）角為90° +,可得一； = ¥sinC sin B/. asinC=csinA.（此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提，防止誤解為j與AC的夾角為 90° -Cj 與 AS 的夾

5、角為 90° -B)=sin A sin 8 smCZUM為鈍角三角形，不妨設(shè)月9（）°，過點(diǎn)月作與AC垂直的單位向量訓(xùn)IJ j與的夾角為zi-90° ,j與CB的夾角為90° -C.由 AC + CB = AB j AC +j CB=j. AB,A即 a C()s(90° -C)=c Cos(A-90° ), .*.asinC=csinA.B另外過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量訓(xùn)j與AC的夾角為90° +cj與AB夾hc角為90° +b同理，可得一= r sin 3 smCa _ b _ csimA sin B sin C4外接圓證明正弦定理在中，已知BC二"C二b,AE二c,作月&?的外接圓Q為圓心連結(jié)并延長交圓于皮，設(shè)BB'二2R.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到 = 2R.sinCsin A sinB= 2R.同理，可得亠=