小學奧數(shù)計數(shù)題庫計數(shù)之歸納法.題庫版

1、7- 6-1,計數(shù)之歸納法.題庫教師版page 5 of 57-6-1.計數(shù)之歸納法削M蚱 教學目標前面在講加法原理、乘法原理、排列組合時已經(jīng)穿插講解了計數(shù)中的一些常用的方法，比如枚舉法、樹 形圖法、標數(shù)法、捆綁法、排除法、插板法等等，這里再集中學習一下計數(shù)中其他常見的方法，主要有歸納 法、整體法、對應(yīng)法、遞推法.對這些計數(shù)方法與技巧要做到靈活運用.國Me 例題精講從條件值較小的數(shù)開始，找出其中規(guī)律，或找出其中的遞推數(shù)量關(guān)系，歸納出一般情況下的數(shù)量關(guān)系.【例1】 如圖所示，在2X2方格中，畫一條直線最多穿過 3個方格；在3X3方格中，畫一條直線最多穿過 5 個方可知；那么在 5X5方格中，畫一

2、條直線，最多穿過 個方格。【考點】計數(shù)之歸納法【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2004年，希望杯，第二屆，四年級，復賽，第14題，6分【解析】邊長每多1,穿過的方格多2,那么5X5的最多穿過3+2+2+2=9個方格【答案】95條直線最多分這個平面例2 一條直線分一個平面為兩部分.兩條直線最多分這個平面為四部分.問 為多少部分？【考點】計數(shù)之歸納法【難度】3星【題型】解答平面分成2+2+3+4+ n= n（n +1）+1個部分.2方法二：如果已有 k條直線，再增加一條直線，這條直線與前k條直線的交點至多 k個，因而至多被分成k+1段，每一段將原有的部分分成兩個部分，所以至多增加k+1個部分.于

3、是3條直線至多將平面分為4+3=7個部分，4條直線至多將平面分為 7+4=11個部分，5條直線至多將平面分為 11+5=16 個部分.般的有k條直線最多將平面分成：1+1+2+ k= k(k+1)+i個部分，所以五條直線可以分平面為216個部分.【答案】16 【鞏固】平面上5條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？平面上 100條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分?【考點】計數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】 假設(shè)用ak表示k條直線最多能把圓的內(nèi)部分成的部分數(shù)，這里k= 0, 1, 2,ao= 1a1=ao+1 = 2a2=a1 + 2=4a3=az + 3=7a4=a3+4= 11故5條直線可

4、以把圓分成 16部分，100條直線可以把圓分成 5051部分【答案】5051部分 【例3】平面上10個兩兩相交的圓最多能將平面分割成多少個區(qū)域?【考點】計數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】先考慮最簡單的情形.為了敘述方便，設(shè)平面上k個圓最多能將平面分割成 ak個部分.從圖中可以看出，a =2, a2=4=2+2M1, a3=8=4+2(k-1)個交點，如下圖:這2M(k-1)個交點把第k個圓分成了 2M(k-1)段圓弧，而這2M(k-1)段圓弧中的每一段都將所在的區(qū)域一分為二，所以也就是整個平面的區(qū)域數(shù)增加了2M(k -1)個部分.所以，ak =ak=+2(k -1).刃B么，研。=a

5、9 2 9 =% 2 8 2 9 =a7 2 7 2 8 2 9 Mlllll-a1 2 1 2 2 . 2 7 2 8 2 9=2 +2 父（1 +2 +7 +8 +9 ）=92 .故10個圓最多能將平面分成 92部分.【答案】92例410個三角形最多將平面分成幾個部分？【考點】計數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】設(shè)n個三角形最多將平面分成 an個部分.n=1 時，ai=2；n=2時，第二個三角形的每一條邊與第一個三角形最多有2個交點，三條邊與第一個三角形最多有2x3=6 （個）交點.這6個交點將第二個三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個部分分成 2個部分，從而平

6、面也增加了 6個部分，即a2 =2+2x3.n=3時，第三個三角形與前面兩個三角形最多有4父3=12 （個）交點，從而平面也增加了 12個部分，即：a3 =2 +2 父3 +4X3 . 一般地，第n個三角形與前面（n-1價三角形最多有2 （n-1產(chǎn)3個交點，從而平面也增加2（n-1不3個 部分，故 an =2+2父3+4父3 + 惘+2小一1爐3=2 + -2+4+|+261）13 = 3n23n+2 ;特別地，當n=10時，a10 =3父102十3M10+2 =272 ,即10個三角形最多把平面分成 272個部分.【答案】272【例5 一個長方形把平面分成兩部分，那么3個長方形最多把平面分成

7、多少部分？【考點】計數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】一個長方形把平面分成兩部分.第二個長方形的每一條邊至多把第一個長方形的內(nèi)部分成2部分，這樣第一個長方形的內(nèi)部至多被第二個長方形分成五部分. 同理，第二個長方形的內(nèi)部至少被第一個長方形分成五部分.這兩個長方形有公共部分（如下圖，標有數(shù)字9的部分）.還有一個區(qū)域位于兩個長方形外面，所以兩個長方形至多把平面分成10部分.第三個長方形的每一條邊至多與前兩個長方形中的每一個的兩條邊相交，故第一條邊被隔成五條小 線段，其中間的三條小線段中的每一條線段都把前兩個長方形內(nèi)部的某一部分一分為二，所以至多增加3X4=12個部分.而第三個長方形的 4個頂

8、點都在前兩個長方形的外面，至多能增加4個部分.所以三個長方形最多能將平面分成10+12+4=26 .【小結(jié)】n個圖形最多可把平面分成部分數(shù)：直線：i+吧2三)；2圓：2 +n x(n 1三角形：2 +3xn M(n 1 );長方形：2+4Mnx(n1).【答案】26【例6】在平面上畫5個圓和1條直線，最多可把平面分成多少部分？【考點】計數(shù)之歸納法【難度】5星【題型】解答【解析】先考慮圓.1個圓將平面分成2個部分.這時增加1個圓，這個圓與原有的 1個圓最多有兩個交點，成為2條弧，每條弧將平面的一部分一分為二，增加了2個部分，所以2個圓最多將平面分成 4個部分.當有3個圓時，第3個圓與原有的2個產(chǎn)

9、生4個交點而增加4個部分，所以3個圓最多將平 面分成8個部分.同樣的道理，5個圓最多將平面分成 22個部分.再考慮直線.直線與每個圓最多有 2個交點，這樣與5個圓最多有10個交點.它們將直線分成 11 條線段或射線，而每條線段又將平面的一部分一分為二，2條射線增加了一部分，因此 5個圓和1條直線最多可將平面分成 32個部分.【答案】32【例7】 在一個西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成多少片？【考點】計數(shù)之歸納法【難度】4星【題型】解答【解析】將西瓜看做一個球體，球體上任意一個切割面都是圓形，所以球面上的切割線是封閉的圓周，考慮每一次切割能增加多少瓜皮片.當切1刀時，瓜皮被切成兩份，當切第 2刀時

10、，由于切割線相交，所以瓜皮被切成4分，切第n次時，新增加的切割線與原來的切割線最多有 2(n-1)個交點.這 些交點將第n條切割線分成2 (n-1 )段，也就是說新增加的切割線使瓜皮數(shù)量增加了2(n-1),所以在西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成 1+1+2父1 +2M2+2父3 + 2父4+2父5 = 32片.【答案】32【例8】 在一大塊面包上切 6刀最多能將面包切成多少塊.(注：面包是一個立體幾何圖形，切面可以是任何方向)【考點】計數(shù)之歸納法【難度】5星【題型】解答【解析】題目相當于6個平面能將空間劃分為多少個部分.通過找規(guī)律來尋找遞推關(guān)系，顯然的1個平面能將空間劃分成 2塊，2個平面能將空間劃分成 4塊，3個平面能將空間劃分成 8個平面，當增加到第四個平面時，第四個平面這能將原來空間中的8個部分中的其中幾個劃分.如圖：注意到第四個平面與其他三個平面相交形成3條直線，這三條直線將第四個平面分割成7個部分，而每一部分將原來三個平面劃分的8個空間中的7個劃分成兩份，所以4個平面能將空間劃分成8+7 =15個部分.同樣的第五個平面與前四個平面分別相交成4條直線，這四條直線能