【土木建3、結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析與抗震驗算

1、3 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析與抗震驗算 抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計3.1 概述3.2 單自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析 3.3 單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應(yīng)譜3.4 多自由度彈性體系的地震反應(yīng)的振型分解法3.5 多自由度體系的水平地震作用3.6 結(jié)構(gòu)自振周期和振型計算3.7 地基與結(jié)構(gòu)的相互作用3.10 結(jié)構(gòu)的抗震驗算 3.1 概 述一、建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計步驟1、計算結(jié)構(gòu)的地震作用地震荷載2、計算結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的地震作用效應(yīng)m、q、n及位移3、地震作用效應(yīng)與其他荷載效應(yīng)進行組合、驗算結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的抗震承載力及變形（確保結(jié)構(gòu)、構(gòu)件的內(nèi)力材料抗力）。3 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析與抗震驗算 抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計二

2、、結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計理論發(fā)展過程的三個階段1.靜力理論階段-靜力法1920年，日本大森房吉提出。假設(shè)建筑物為絕對剛體。)(txg m)(txmg 地震作用gkxggxmfggmaxmax gxkg max -地震系數(shù)：反映震級、震中距、地基等的影響將f作為靜荷載，按靜力計算方法計算結(jié)構(gòu)的地震效應(yīng) 2、反應(yīng)譜理論階段：1940年美國皮奧特教授提出的“彈性反應(yīng)譜理論”目前我國采用：底部剪力法或震型分解反應(yīng)譜法（用于小震或中震的計算）計算時：單自由度多質(zhì)點體系（多個等效單質(zhì)點體系），如糖葫蘆重力荷載的代表值。:g）特性，如周期、阻尼等動力系數(shù)(反映結(jié)構(gòu)的:gkf 目前，世界上普遍采用的方法。目前，世界上普

3、遍采用的方法。3、動態(tài)分析階段：時程分析法用于大震分析計算，借助于計算機。三、與各類型結(jié)構(gòu)相應(yīng)的地震作用分析方法不超過40m的規(guī)則結(jié)構(gòu)：底部剪力法一般的規(guī)則結(jié)構(gòu)：兩個主軸的振型分解反應(yīng)譜法 質(zhì)量和剛度分布明顯不對稱結(jié)構(gòu)：考慮扭轉(zhuǎn)或雙向地震作用的振型分解反應(yīng)譜法 8、9度時的大跨、長懸臂結(jié)構(gòu)和9度的高層建筑：考慮豎向地震作用 特別不規(guī)則、甲類和超過規(guī)定范圍的高層建筑：一維或二維時程分析法的補充計算補充：單自由度體系動力學分析回顧單自由度體系自由振動（1）無阻尼時0kxxm 02xx mk2)sincos()(00txtxtxmcmk2,20kxxcxm 022xxx )sincos()(dd00

4、0txxtxetxdt1時（2）有阻尼時阻尼：振動過程中的阻力。無阻尼自由振動：系統(tǒng)只在恢復(fù)力作用下維持的振動。其振動的振幅不隨時間而改變，振動過程將無限地進行下去。有阻尼自由振動：系統(tǒng)在振動過程中，除受恢復(fù)力外，還存在阻尼力，這種阻尼力的存在不斷消耗振動的能量，使振幅不斷減小。強迫振動：在外加劑激振力作用下的振動稱為強迫振動。（工程中的自由振動，都會由于阻尼的存在而逐漸衰減，最后完全停止。但實際上又存在有大量的持續(xù)振動，這是由于外界有能量輸入以補充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。）有阻尼受迫振動有兩部分組成。第一部分是衰減振動；第二部分是受迫振動。 3.2 單自由度彈性體系的地震反應(yīng)分析

5、1、單自由度彈性體系的計算簡圖r把結(jié)構(gòu)的所有質(zhì)量集中在屋蓋處，墻、柱視為一個無質(zhì)量的彈性桿 ，形成一個單質(zhì)點體系。r當一個單質(zhì)點體系只作單向振動時，形成一個單自由度體系。3 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析與抗震驗算 抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計 2、運動方程)(0tx)(tx ：地面（基礎(chǔ)）的水平位移 ：質(zhì)點對地面的的相對位移 ：質(zhì)點的總位移 ：質(zhì)點的絕對加速度)()(0txtx)()(0txtx )(0tx動荷載取質(zhì)點為隔離體，由結(jié)構(gòu)動力學可知，作用在質(zhì)點上的力：慣性力：彈性恢復(fù)力：阻尼力：（粘滯阻尼理論）根據(jù)達朗貝爾原理：單質(zhì)點彈性體系在地震作用下的運動方程為： )()()()(0txcdtkxstxtxm

6、i )4 . 3()()()()(0)()()()(00式：txmtkxtxctxmtkxtxctxtxm 或表示為或表示為上式進一步簡化為：kmcmcmkxxxx223.5202）（式 ）（式3.5202xxxx 式（3.5）為一個二階常系數(shù)非齊次微分方程。令方程式左邊=0，得該方程的齊次解，即方程022xxx 的通解。則方程式（3.5）的解由有上述的齊次解和特解兩部分組成。之間 1.01程結(jié)構(gòu)阻尼比在0.0體系的阻尼比，一般工內(nèi)的振動次數(shù) 2秒系的圓頻率，即質(zhì)點在無阻尼單自由度彈性體阻尼系數(shù)所需施加的力 質(zhì)點點發(fā)生單位位移時，在彈性直桿的剛度，即質(zhì)上式中ck)3.12(sin)0(cos)

7、0(1)3.11(sin(0)(0)cos)0(0222式，式txtxx(t)，txxtxex(t)xxxt 的自由振動方程為：則無阻尼單自由度體系當體系無阻尼時的圓頻率為有阻尼單自由度體系式中：解得該方程的齊次解為運動方程等于零自由振動方程：令體系3、自由振動t=0時，體系的初始位移t=0時，體系的初始速度 由上圖可知，無阻尼自由振動時的振幅不變，而有阻尼體系自由振動的振幅隨時間的增加而減小，且體系的阻尼越大，其振幅的衰減就越快。 。，即使結(jié)構(gòu)周期加大使結(jié)構(gòu)自由頻率減小，說明由于阻尼存在，將為有阻尼的自振頻率，間隔稱為周期）等的，也可以把該時間間間隔是相振動一個循環(huán)所需的時衰減是往復(fù)的，質(zhì)點

8、每振動不是周期的，但阻尼時有阻尼振動的周期（有。次數(shù)，稱為體系的頻率單位時間內(nèi)質(zhì)點的振動內(nèi)的振動次數(shù)）：圓頻率(質(zhì)點在時間2自振周期：無阻尼單自由度體系的tfft2022稱為臨界阻尼系數(shù)得又因體系發(fā)生振動體系不發(fā)生振動由試驗測得為臨界阻尼比）此時的表示結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生振動，時當知由式kmcckmckmcrr2221110112。，（。是結(jié)構(gòu)的一種固有屬性關(guān)，周期與其質(zhì)量和剛度有由此可知：結(jié)構(gòu)的自振周期則得單自由度體系自振因近似取在實際結(jié)構(gòu)中，的取值一般很小，所以但理論上kmtmk2，4、強迫振動r瞬時沖量及其引起的自由振動 ）（ 21. 3sin000000tmpdtetxmpdt)( x ,xmp

9、dtvvmvmvpdtt由振動方程則得瞬時荷載作用下自因式3.11）根據(jù)自由振動的方程（則此時的速度若體系原先靜止，即瞬時沖量： ）（式，3.21sin0000tmpdtetxmpdt)( x ,xmpdtvmvmvpdtt由振動方程則得瞬時荷載作用下自式3.11）根據(jù)自由振動的方程（此時的速度瞬時沖量：r杜哈默積分dtxe dxtmpdtext，tmdxpdtxxxx -)-(tsin)(t) sin(t) 1)(20)-(tt002 得 則由(式3.21)改為瞬時沖量的強迫振動就是質(zhì)點由外荷載引起的特解 )(式3.5取取可視為作用于單位質(zhì)量上的動力荷載 dtextx)( x)x(dtext

10、)x()( xt)x(etxdtextxtttttttsin10000sin1sin00cos0sin1000000 則時，當體系的初始狀態(tài)靜止的通解為：(式3.5)微分方程默積分）系的總位移：（即杜哈通過對上式積分，得體，上式即為處于靜止狀態(tài)的單自由度體系地震位移反應(yīng)計算公式。 3.3單自由度彈性體系的水平地震作用及其反應(yīng)譜1、單自由度彈性體系的水平地震作用 對于單自由度彈性體系，通常把慣性力看作一種反映地震對結(jié)構(gòu)體系影響的等效力，可以用它的最大值來對結(jié)構(gòu)進行抗震驗算。（把動荷載轉(zhuǎn)化為靜荷載解決計算問題。） 下式為質(zhì)點的絕對最大加速度 計算公式，取決于地震時地面運動加速度 、結(jié)構(gòu)的自振周期t

11、及結(jié)構(gòu)的阻尼比3 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析與抗震驗算 抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計)30. 3()(2sin)(2smax0)(20atttdttext as)(0 x 2、地震反應(yīng)譜 地震時，地面運動引起結(jié)構(gòu)振動，單質(zhì)點體系質(zhì)點相對于地面的相對位移 、相對速度 、絕對加速度 均為時間t的函數(shù)，從工程觀點看，在地震中結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的最大位移、最大速度、最大加速度更具有實際意義，此最大值隨質(zhì)點自振周期變化的曲線稱為反應(yīng)譜。)(tx)(tx )()(0txtx 下圖即為在給定的地震作用下質(zhì)點絕對最大加速度與體系自振周期的關(guān)系曲線。最大速度反應(yīng)最大位移反應(yīng)最大加速度反應(yīng)maxmaxmax0)()()()(txstxs

12、txtxmsvda 特點：*結(jié)構(gòu)的阻尼比和場地條件對反應(yīng)譜有很大影響*高頻結(jié)構(gòu)主要取決于地面的最大加速度sa*中頻結(jié)構(gòu)主要取決于地面的最大速度sv*低頻結(jié)構(gòu)主要取決于地面的最大位移sd 2、標準反應(yīng)譜 把水平地震作用的基本公式（3.31）變換為式（3.32）放大了多少倍。 地面最大加速度質(zhì)點最大絕對加速度比即表示由于動力效應(yīng)， 大加速度之比。大絕對加速度與地面最動力系數(shù)，是單質(zhì)點最:加速度之比。動的最大加速度與重力地震系數(shù)，表示地面運txskg(t)xka)34. 3()(: 3.33)(00 ）（式）（式3.32)()(3.31)()()(00max0maxkggtxtxsmgmstxtxm

13、tffaa max0)(txsa max0)(20max0)(2sin)()(12tttdttextxt 將sa的表達式（3.30）代入式（3.34）得：與t的關(guān)系曲線稱為譜曲線：（1） 譜曲線的實質(zhì)也是一條加速度反應(yīng)譜曲線。（2）曲線峰值對應(yīng)的結(jié)構(gòu)自振周期t=tg，tg為場地的特征周期（過去也稱作卓越周期） 標準反應(yīng)譜曲線：根據(jù)大量的強震記錄算出對應(yīng)于每一條強震記錄的反應(yīng)譜曲線，然后統(tǒng)計求出的最有代表性的平均曲線。 下圖為譜曲線及加速度譜曲線 2、設(shè)計反應(yīng)譜 規(guī)范把與t的關(guān)系作為設(shè)計反應(yīng)譜。體系自振周期按圖3.9確定地震影響系數(shù)：，tgsa:gfkgskggtxtxsmgmsfaaa則水平地

14、震力因)()(00 55 . 005. 09 . 0)38. 3(ttmax2g曲線下降段的衰減指數(shù)計算采用3.38式進行范圍內(nèi)，地震影響系數(shù)5tt在tgg1-直線下降段的斜率調(diào)整系數(shù)；按下式確定008/ )05. 0(02. 0111時，取當maxmaxmaxmaxmax222245. 01252:1.706. 005. 0155. 055. 0kk.,ktg,此時與地面加速度相等，即其加速度0時，結(jié)構(gòu)為一剛體，t注意：當結(jié)構(gòu)自振周期見表3.3見表3.1， 水平地震系數(shù)的最大值特征周期，見表3.2阻尼調(diào)整系數(shù)，max：時，取地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為0.05）1.400.90(1.20)0

15、.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影響地震影響烈度烈度括號數(shù)字分別對應(yīng)于設(shè)計基本加速度0.15g和0.30g地區(qū)的地震影響系數(shù) 特征周期值（s）0.90 0.65 0.450.35第三組第三組0.75 0.55 0.400.30第二組第二組0.65 0.45 0.35 0.25第一組第一組 場地類別場地類別解：解：（1 1）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期kn/m249601248021222hikct 4 .71s/m8 . 9/kn700/2ggms336. 024960/4 .712/

16、2kmt（2 2）求水平地震影響系數(shù)）求水平地震影響系數(shù)查表確定查表確定max16. 0max地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為0.050.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影響地震影響烈度烈度例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋蓋處。已知設(shè)防烈度為蓋處。已知設(shè)防烈度為8 8度，設(shè)計地震分組為二組，度，設(shè)計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值g=

17、700kng=700kn，框架柱線剛，框架柱線剛度度 , ,阻尼比為阻尼比為0.050.05。試求該結(jié)構(gòu)多。試求該結(jié)構(gòu)多遇地震時的水平地震作用。遇地震時的水平地震作用。 mkn106 . 2/4heiicch=5mh=5m查表確定查表確定max16. 0max解：解：例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋蓋處。已知設(shè)防烈度為蓋處。已知設(shè)防烈度為8 8度，設(shè)計地震分組為二組，度，設(shè)計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值g=700kng=700kn，框架柱線剛，框架柱線剛度度 , ,阻尼比為阻尼比為0

18、.050.05。試求該結(jié)構(gòu)多。試求該結(jié)構(gòu)多遇地震時的水平地震作用。遇地震時的水平地震作用。 mkn106 . 2/4heiicc（1 1）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期kn/m249601248021222hikct 4 .71s/m8 . 9/kn700/2ggms336. 024960/4 .712/2kmt（2 2）求水平地震影響系數(shù)）求水平地震影響系數(shù)h=5mh=5m查表確定查表確定gt3 . 0gt地震特征周期分組的特征周期值（地震特征周期分組的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三組第三組0.75 0.55 0.400.30第二組第二組0.65 0

19、.45 0.35 0.25第一組第一組 場地類別場地類別解：解：例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋例：單層單跨框架。屋蓋剛度為無窮大，質(zhì)量集中于屋蓋處。已知設(shè)防烈度為蓋處。已知設(shè)防烈度為8 8度，設(shè)計地震分組為二組，度，設(shè)計地震分組為二組，類類場地；屋蓋處的重力荷載代表值場地；屋蓋處的重力荷載代表值g=700kng=700kn，框架柱線剛，框架柱線剛度度 , ,阻尼比為阻尼比為0.050.05。試求該結(jié)構(gòu)多。試求該結(jié)構(gòu)多遇地震時的水平地震作用。遇地震時的水平地震作用。 mkn106 . 2/4heiicc（1 1）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期）求結(jié)構(gòu)體系的自振周期kn/m24960kt

20、4 .71ms336. 0t（2 2）求水平地震影響系數(shù)）求水平地震影響系數(shù)16. 0maxh=5mh=5m3 . 0gtggttt5)(st01 . 0gtgt50 . 6max2max45. 0max2)(ttgmax12)5(2 . 0gtt max2)(ttg9 . 055 . 005. 09 . 017 . 106. 005. 012144. 016. 0)336. 0/3 . 0(9 . 0（3 3）計算結(jié)構(gòu)水平地震作用）計算結(jié)構(gòu)水平地震作用kn8 .100700144. 0gf 例1、p79 習題1解：查表3.2(p35) 34.8kn。用下的水平地震作用為則該結(jié)構(gòu)在多遇地震作由

21、公式3.37得：因其中由公式3.380.30g時，為8度，基本加速度為查表3.3，設(shè)防烈度因kn.gfkngttts.tstggg8342001740,2000 . 102. 09 . 005. 0174. 024. 00 . 10.535. 0tt 24. 05,5035. 0219 . 0max2gmax，則，抗震術(shù)語r 自由振動：在不受外界作用而阻尼又可忽略的情況下結(jié)構(gòu)體系所進行的振動。r 自振周期：結(jié)構(gòu)按某一振型完成一次自由振動所需的時間。（1）自振頻率：當外力不復(fù)存在時，結(jié)構(gòu)體系每秒振動的次數(shù)，又稱固有頻率。（2）基本周期：結(jié)構(gòu)按基本振型完成一次自由振動所需的時間。又稱第一自振周期。

22、r 振型：結(jié)構(gòu)按某一自振周期振動時的變形模式。（1）基本振型：多自由度體系和連續(xù)體自由振動時，最小自振頻率所對應(yīng)的振動變形模式，又稱第一振型。（2）高階振型：多自由度體系和連續(xù)體自由振動時，對應(yīng)于二階頻率以上（含二階）的振動變形模式。r 共振：當干擾頻率與結(jié)構(gòu)自振頻率接近時，振幅急劇增大的現(xiàn)象。 3.4多自由度彈性體系地震反應(yīng)分析的振型分解法1、計算簡圖3 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析與抗震驗算 抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計 體系只作單向振動時， n個質(zhì)點 n個自由度體系 n個獨立等效單自由度彈性體系的最大地震反應(yīng) n個振型作用效應(yīng)（m、v、n） 組合n個振型效應(yīng) 驗算截面抗震r 通常第一振型周期最長，影響最

23、大，振型愈高，影響愈小。 2、運動方程先考慮兩個自由度體系的運動方程，圖3.11所示)45b. 3(2)45a. 3()()()(102222112222112220121211121211111212111121211111011xmxkxkxcxcxmxmxkxkxcxcxmxcxcdxkxksxxmi 的運動方程：同理，得質(zhì)點根據(jù)達朗貝爾原理：阻尼力：彈性恢復(fù)力：慣性力：的力有：作用在質(zhì)點(3.46b)112121)46. 3(2222211221111211222221122111ccccccccckkakkkkkkkkk阻尼系數(shù)處引起的彈性反力；保持不動時，在質(zhì)點產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點使

24、質(zhì)點所需施加的水平力；處保持不動時，在質(zhì)點產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點使質(zhì)點剛度系數(shù)式中 。，一般采用振型分解法上述的運動方程的求解列的矩陣。行別為個質(zhì)點，則上述各項分當有用矩陣形式表示：式nnn00)47. 3(13.452121212221121122211211210 xxxxxxxxxkkkkkcccccmmmxmxkxcxm 3、自由振動(1)自振頻率)50. 3(0)(0)(48. 349. 321)49. 3()sin()sin(:)48. 3(0022222121212121112122112221212221211111xmkxkxkxmkxxtxxtxxxkxkxmxkxkxm）式得

25、：）代入（將（的位移幅值。、質(zhì)點、上述微分方程的解為該體系的自振方程：去阻尼的影響，則可得對二自由度體系，若略 ）（，見式（個質(zhì)點的多自由度體系對值）第二自振圓頻率（較大本自振圓頻率）第一自振圓頻率（或基的兩個正實根）可求得由式（解得：行列式必等于零，即：）有非零解，則其系數(shù)為使式（3.543.53n3.52)52. 3(2121050. 321212112221122221112221112222221122111mmkkkkmkmkmkmkmkkkmk程程二自由度體系的頻率方二自由度體系的頻率方(2) 主振型形式通常稱為主振型。變，這種振動的位移比值始終保持不中的任意時刻，兩質(zhì)點結(jié)構(gòu)振動過

26、程無關(guān)，為一常數(shù)，即在位移幅值的比值與時間121122112221211211111221213.50kkmxxkkmxx，位移幅值的比值：對應(yīng)于第二自振圓頻率，位移幅值的比值：對應(yīng)于第一自振圓頻率的位移幅值。、），即求得質(zhì)點帶入式（，把求得的r 因主振型只取決于質(zhì)點位移之間的相對值，所以通常將其中某一個質(zhì)點的位移值定為1。r 一般，體系有多少個自由度就有多少個頻率，相應(yīng)就有多少個主振型，他們是體系的固有屬性。(3)主振型的正交性 p31,由式（3.27）知：結(jié)構(gòu)在任一瞬時的位移等于慣性力產(chǎn)生的靜位移。因此上述的主振型曲線可看作體系按某一頻率振動式時，其上相應(yīng)的慣性荷載所引起的靜力變形曲線。對

27、于二自由度體系，其兩個振型的變形曲線及相應(yīng)的慣性力如圖3.13所示 tkxtxtxm 0ji2jii2110112101011)()(128. 3)()()(p31)(1xmijiitxmxxmitxtxmkxxxxmi振型時：質(zhì)點質(zhì)點，對的慣性力可表示為：則質(zhì)點）（見的慣性力：如質(zhì)點 )59. 3(0x:3.58)58. 3(00221222111121221222111122211222222112122122122122111211ktjxmxxmxxmxxmxxmxxmxxmxxmxxm用矩陣表示為稱為振型的正交性。）所表示的關(guān)系，通常式（則一般）（整理得：根據(jù)功的互等定理：，也都有上

28、述的正交特性j與k之間度體系，任意兩個振型對于兩個以上的多自由 剛度矩陣也有正交性，即任意兩個振型對事實上，多自由度體系的正交性。意兩個振型對）表示多自由度體系任式（振型號、質(zhì)點號；上式中：）中式（kxkxkjixxxxmmmmxxxktjknkkknjnjjtj0:3.5900x3.59212121剛度矩陣剛度矩陣質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣。kn/m103kn/m105t50, t60)a (14. 33.1424121kkmm第二層層間側(cè)移剛度為，為。第一層層間側(cè)移剛度正交性。各層質(zhì)量為其主振型的振頻率和振型，并驗證所示二層框架結(jié)構(gòu)的自計算圖例050103103103601083.51kn/m103

29、kn/m103kn/m108244424422242211242111）得頻率方程：由式（系數(shù)：解：求各層的層間剛度kkkkkkkk 0171. 133381488. 010x kx0171. 0x mx(c)b)3.1471. 111031088 .162560488. 011031086 .307603.57/32.40;/54.17(42t12t14412112211222441211211111221ttkkmxxkkmxxsradsrad剛度矩陣質(zhì)量矩陣驗證主振型的正交性：（振型見圖第二振型：第一振型：）得該結(jié)構(gòu)的振型：由式（該結(jié)構(gòu)的自振頻率）的兩個正實根解

30、上式得解解: :例例. .求圖示體系的頻率、振型求圖示體系的頻率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk0222221122111mkkkmkm12k1ei1ei1km2kkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 121618. 01618. 11211221122212112111121kkmxxkkmxx1 11.6181.6181 10.6180.618 1x 2x 4 4、振型分解法振型分解法 是求解多自由度彈性體系地震反應(yīng)的重要方法。先以二自由度體系為例，如圖3.21所示。 )81. 3()

31、80. 3()()(3.79)()()79. 3()()()()()()()()(121222121221211112121qxxxtqtxtqtqxtqxtqtxxtqxtqtxtxtxmmnjjiji或用矩陣形式表示為：）可寫為：式（當為多自由度體系中，。與第二振型所占的分量時刻的變位中第一振型一義坐標，表示在質(zhì)點任是時間的函數(shù)，稱為廣、來表示，即：其兩個振型的線性組合用和的位移在地震作用下任一時刻和將質(zhì)點 值。時的即當各質(zhì)點位移振型的振型參與系數(shù)。體系在地震反應(yīng)中第式中理后得剛度矩陣的正交性，整根據(jù)振型對質(zhì)量矩陣和，得：將上式等號兩邊各乘以故得：比例常數(shù)、式中之間的耦合，即令：型足正交條

32、件，以消除振從而使阻尼矩陣亦能滿剛度矩陣的線性組合，質(zhì)量矩陣和），并假定阻尼矩陣是）代入運動方程式（將式（jnjjnijiinijiijtjtjjjjjjjjtjtjtjtjtjqxxxxjxmxmxmxmxnjxqqqxmxqxkxqxkmxqxmxxxmqxkqxkmqxmkmc1)87. 3(1)86. 3(), 2, 1(;)82. 3(3.473.8121121022210210212121 )90. 3(22;22;3.88)98 . 3(), 2, 1(23.86)88. 3(23.86212211222212212212112222211121212102221解得）得由式（和

33、阻尼比確定，即第一、第二振型的頻率通常根據(jù)、振型的阻尼比，系數(shù)對應(yīng)于式中）可寫為：則式（）中，令：在式（jnjxqqqjjjjjjjjjjj 。的質(zhì)點地震作用下其中任一，多自由度彈性體系在）就是用振型分解法時式（），得：）代入式（將式（。相應(yīng)的自由度體系稱作與振型下的位移反應(yīng)，這個單反應(yīng)的單自由度體系在地震、自振頻率為）相當于阻尼比為式（）（式中或?qū)憺椋海┦降慕猓嚎蓪懗觯ǎ?，）的解，即式（動微分方程式（參照單自由度體系的運位移公式(3.94)振子injjijjnjjijijjtjtjjjjjtjtjjjmxtxtqtxjdtextttqdtextqjjjj3.94)()()(3.803.923

34、.933.93)(sin)(1)()92. 3()()()91. 3()(sin)()(3.893.243.5110)(00)(0 3.5 3.5 多自由度體系的水平地震作用多自由度體系的水平地震作用一、振型分解反應(yīng)譜法 多自由度彈性體系在地震時質(zhì)點所受到的慣性力就是質(zhì)點的地震作用。質(zhì)點上的地震作用為：3 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析與抗震驗算 抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計地震作用效應(yīng)。結(jié)構(gòu)的最大組合這些效應(yīng)，以求得的地震作用效應(yīng)，然后最大地震作用及其相應(yīng)一振型的瑣，一般采用先求出每大地震作用。但計算繁最大值就是設(shè)計用的最的時程曲線。曲線上隨時間變化的曲線，即）作出根據(jù)式（速度。振型相應(yīng)振子的絕對加與第的相對

35、加速度；質(zhì)點地面運動的加速度；式中)()(3.100)()()()()100. 3()()()97. 3()()()(00010tftfjttxitxtxttxxmtxtxmtfiijijnjjijiiii 質(zhì)點的重力荷載代表值集中于即振型位移；質(zhì)點的水平相對位移，振型）計算；式（的振型參與系數(shù)，可按振型確定；的地震影響系數(shù)，按圖振型自振周期相應(yīng)于第式中）（則上式寫為：令絕對最大標準值：質(zhì)點上的水平地震作用振型第），作用在第由式（igijxjtjgxfgmggttxttxxmfijijijjjijijjjiiijjjjijiji3.873.93.102)()()101. 3()()(3.100

36、max0max0 用1、振型的最大地震作和變形。的作用效應(yīng)，包括內(nèi)力振型水平地震作用產(chǎn)生水平地震作用效應(yīng)；式中確定，即：“平方和開方”的方法似采用構(gòu)總的地震作用效應(yīng)近最大值。則結(jié)用及效應(yīng)并不一定也達，其他各振型的地震作應(yīng)的效應(yīng)）達最大值時用（使其相刻當某一振型的地震作也是最大值。但任一時軸力、變形），這里的（彎矩、剪力、震作用效應(yīng)后，就可計算結(jié)構(gòu)的地質(zhì)點上的最大地震作用振型求出jssssssijjjjj)103. 3(22、振型組合r 一般，各個振型在地震總反應(yīng)中的貢獻隨其頻率的增加而迅速減少，所以頻率最低的幾個振型控制結(jié)構(gòu)的最大地震反應(yīng)。實際計算中，一般采用前23個振型即可。r規(guī)范規(guī)定：在進

37、行結(jié)構(gòu)抗震驗算時，結(jié)構(gòu)任一樓層的水平地震剪力應(yīng)符合下式要求層的重力荷載代表值。第的增大系數(shù)；尚應(yīng)乘以規(guī)則結(jié)構(gòu)的薄弱層，規(guī)定的數(shù)值，對豎向不表剪力系數(shù)，不應(yīng)小于標準值的樓層剪力；層對應(yīng)于水平地震作用第jgivgvjekinijjeki1.154 . 3)104. 3(r二、底部剪力法 規(guī)范5.2.1：對于高度不超過40m，以剪切變形為主且質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻的結(jié)構(gòu)，以及近似于單質(zhì)點體系的結(jié)構(gòu)，可以采用底部剪力法。)107. 3(1eqekgf1、底部剪力計算 符合規(guī)定的結(jié)構(gòu)，根據(jù)底部剪力相等的原則，把多質(zhì)點體系用一個與其基本周期相等的單質(zhì)點體系代替。底部剪力用式（3.37）進行計算： 式

38、中 相應(yīng)于結(jié)構(gòu)基本自振周期的水平地震影響系數(shù)，按圖3.9確定，對于多層砌體房屋、底部框架和多層內(nèi)框架磚房，可取水平地震影響系數(shù)最大值； 結(jié)構(gòu)等效總重力荷載:式中 集中于質(zhì)點i的重力荷載代表值； c 等效系數(shù)。規(guī)范規(guī)定取c=0.85注意：因為 標準值，則結(jié)構(gòu)總水平地震作用 為標準值。1eqgniieqgcg1igig)107. 3(1eqekgfekf2、各質(zhì)點的水平地震作用標準值的計算 因符合規(guī)范要求的結(jié)構(gòu)，其地震反應(yīng)以基本振型為主，而且基本振型接近于直線，呈倒三角形，如圖3.22所示。的結(jié)構(gòu)。）適用于基本周期式（的地震作用質(zhì)點上分配到各質(zhì)點，即得各用把結(jié)構(gòu)的總水平地震作所以可得：則又因振型為

39、倒三角形，由該式知：的水平地震作用為：），質(zhì)點根據(jù)式（geknjjjiiiiekiiiiiiiiiittfhghgfffhgfhxgxfgxfi4 . 13.109)109. 3(3.1021111111，且不向下傳遞。宜乘以系數(shù)作用效應(yīng)，因鞭端效應(yīng)囪等地震的屋頂間、女兒墻、煙規(guī)定：對頂部突出屋面規(guī)范。；對其他房屋，取房，確定；對多層內(nèi)框架磚由表結(jié)構(gòu)房屋，對多層鋼筋混凝土和鋼，（為：的水平地震作用標準值則質(zhì)點用頂部附加水平地震作數(shù)頂部附加地震作用系式中構(gòu)的頂部加以修正：以集中力的形式加在結(jié)水平地震作用的建筑，取頂部附加的基本自振周期規(guī)范規(guī)定：對結(jié)構(gòu)上部震害較為嚴重。本周期較長的建筑物，震害經(jīng)驗

40、表明：某些基計算、頂部附加地震作用的33 .5.200.23.5)110. 3()n21)1 (i4 . 1311nnnneknjiiiiinneknnngifhghgffffftt在地震作用下，高層建筑或其他建（構(gòu)）筑物頂部細長突出部分振幅劇烈增大的現(xiàn)象。1158. 00 . 102. 09 . 005. 0,25. 1535. 025. 03.916. 00.20g83.325. 03.22156. 0358. 0000. 1-1.710xx000. 1488. 0xx105. 0,0.20g83.13.143.5max21121max11111112122211211ttstgtstst

41、gmxgxfststggggiiiii響系數(shù)為：由以上數(shù)據(jù)，得地震影，則：由圖，則度為度，設(shè)計基本地震加速：設(shè)防烈度為由表為第一組，則類場地，設(shè)計地震分組：由表震作用為：第一振型的質(zhì)點水平地）水平地震作用（周期為：）主振型及相應(yīng)的自振（算用振型分解反應(yīng)譜法計解：架的層間地震剪力。和底部剪力法計算該框，試分別用振型分解法，結(jié)構(gòu)的阻尼比設(shè)計地震分組為第一組速度為該地區(qū)設(shè)計基本地震加類場地上，度的在設(shè)防烈度為）所示框架結(jié)構(gòu)，建造（例圖例）所示。（層間剪力圖如圖的層間地震剪力為：），可求得一層、二層按式（所示。（作用及剪力圖如第一、第二振型的地震根據(jù)以上計算，對應(yīng)于）層間地震剪力（振型：同理可得：相應(yīng)

42、于第二則）式（計算振型參與系數(shù)，按c3.232 .72)3 .18(8 .694 .1122 .197 .1103.103a)(b)3.2333 .188 . 950) 1(233. 016. 05 .378 . 96071. 1233. 016. 08 .698 . 950123. 11158. 09 .408 . 960488. 023. 11158. 023. 1150488. 060150488. 0603.872222212212121122121111knvknvknfknfknfknfxmxmniiiniii所示。間剪力圖見圖框架水平地震作用及層作用：頂部附加集中水平地震則：按表

43、的水平地震作用為：），質(zhì)點式（）各質(zhì)點地震作用（則）由式（）結(jié)構(gòu)總水平地震作用（用底部剪力法計算3.245 .101 .1060986. 08 .590986. 011 .106448 . 95048 . 960)44(8 . 9501f9 .350986. 011 .106448 . 95048 . 96048 . 9601f0986. 007. 008. 03.5,35. 025. 04 . 14 . 1358. 01f3.11021 .1069161158. 09168 . 9)5060(85. 085. 03.10712122221111111111knffknfhghgknfhghg

44、tststfhghgikngfkngmggfeknnnekjjjnekjjjngneknjjjiiieqekniieqeqek例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設(shè)防烈度為抗震設(shè)防烈度為8 8度，度，類場地，設(shè)計地震分組為第二組。類場地，設(shè)計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803mn/m2451kmn/m1952kmn/m983k解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01x 000. 1666. 0667. 02x 000. 1035. 3

45、019. 43xs467.01ts208.02ts134.03t（2 2）計算各振型的地震影響系數(shù)）計算各振型的地震影響系數(shù)1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影響地震影響烈度烈度地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為地震影響系數(shù)最大值（阻尼比為0.050.05）查表得查表得16.0max地震特征周期分組的特征周期值（地震特征周期分組的特征周期值（s s）0.90 0.65 0.450.35第三組第三組0.75 0.55 0.400.30第二組第二組0.65 0.45 0.35 0.

46、25第一組第一組 場地類別場地類別s4.0gt)(st0 1 . 0gtgt50 . 6max2max45. 0max2)(ttgmax12)5(2 . 0gtt例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設(shè)防烈度為抗震設(shè)防烈度為8 8度，度，類場地，設(shè)計地震分組為第二組。類場地，設(shè)計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803mn/m2451kmn/m1952kmn/m983k解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01x 000. 1666. 0667

47、. 02x 000. 1035. 3019. 43xs467.01ts208.02ts134.03t（2 2）計算各振型的地震影響系數(shù)）計算各振型的地震影響系數(shù)查表得查表得16.0maxs4.0gt第一振型第一振型ggttt51max21)(ttg139.0第二振型第二振型gtt2s1.016.0max22第三振型第三振型gtt 3s1.016.0max2355 . 005. 09 . 07 . 106. 005. 012例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設(shè)防烈度為抗震設(shè)防烈度為8 8度，度，類場地，設(shè)計地

48、震分組為第二組。類場地，設(shè)計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803mn/m2451kmn/m1952kmn/m983k解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01x 000. 1666. 0667. 02x 000. 1035. 3019. 43xs467.01ts208.02ts134.03t（2 2）計算各振型的地震影響系數(shù)）計算各振型的地震影響系數(shù)139.0116.0216.03（3 3）計算各振型的振型參與系數(shù)）計算各振型的振型參與系數(shù)第一振型第一振型31213111/iiiiiixmxm363.11180667.02

49、70334.02701180667.0270334.0270222第二振型第二振型31223122/iiiiiixmxm428.01180)666.0(270)667.0(2701180)666.0(270)667.0(270222第三振型第三振型31233133/iiiiiixmxm063. 01180)035. 3(270019. 42701180)035. 3(270019. 4270222例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設(shè)防烈度為抗震設(shè)防烈度為8 8度，度，類場地，設(shè)計地震分組為第二組。類場地，設(shè)

50、計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803mn/m2451kmn/m1952kmn/m983k解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01x 000. 1666. 0667. 02x 000. 1035. 3019. 43xs467.01ts208.02ts134.03t（2 2）計算各振型的地震影響系數(shù)）計算各振型的地震影響系數(shù)139.0116.0216.03（3 3）計算各振型的振型參與系數(shù)）計算各振型的振型參與系數(shù)363.11428.02063. 03（4 4）計算各振型各樓層的水平地）計算各振型各樓層的水平地震作用震作用

51、ijjijjigxfkn4 .1678 .9270334.0363.1139.011f第一振型第一振型kn4 .3348 .9270667.0363.1139.012fkn2 .3348 .9180000.1363.1139.013fkn4 .167kn4 .334kn2 .334第一振型第一振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設(shè)防烈度為抗震設(shè)防烈度為8 8度，度，類場地，設(shè)計地震分組為第二組。類場地，設(shè)計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803mn/m2451kmn/m1952kmn/m9

52、83k解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01x 000. 1666. 0667. 02x 000. 1035. 3019. 43xs467.01ts208.02ts134.03t（2 2）計算各振型的地震影響系數(shù)）計算各振型的地震影響系數(shù)139.0116.0216.03（3 3）計算各振型的振型參與系數(shù)）計算各振型的振型參與系數(shù)363.11428.02063. 03（4 4）計算各振型各樓層的水平地）計算各振型各樓層的水平地震作用震作用ijjijjigxfkn4 .167kn4 .334kn2 .334第一振型第一振型kn9 .1208

53、 .9270)667.0()428.0(16.021f第二振型第二振型kn7 .1208 .9270)666.0()428.0(16.022fkn8 .1208 .9180000.1)428.0(16.023fkn8 .120kn7 .120kn9 .120第二振型第二振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設(shè)防烈度為抗震設(shè)防烈度為8 8度，度，類場地，設(shè)計地震分組為第二組。類場地，設(shè)計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803mn/m2451kmn/m1952kmn/m983k解：解：（1 1）

54、求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01x 000. 1666. 0667. 02x 000. 1035. 3019. 43xs467.01ts208.02ts134.03t（2 2）計算各振型的地震影響系數(shù)）計算各振型的地震影響系數(shù)139.0116.0216.03（3 3）計算各振型的振型參與系數(shù)）計算各振型的振型參與系數(shù)363.11428.02063. 03（4 4）計算各振型各樓層的水平地）計算各振型各樓層的水平地震作用震作用ijjijjigxfkn4 .167kn4 .334kn2 .334第一振型第一振型kn8 .120kn7 .120kn9 .

55、120第二振型第二振型kn2 .1078 .9270019.4063.016.031f第三振型第三振型kn9 .808 .9270)035.3(063.016.032fkn8 .178 .9180000.1063.016.033fkn8 .17kn9 .80kn2 .107第三振型第三振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設(shè)防烈度為抗震設(shè)防烈度為8 8度，度，類場地，設(shè)計地震分組為第二組。類場地，設(shè)計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803mn/m2451kmn/m1952kmn/m983k解

56、：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01x 000. 1666. 0667. 02x 000. 1035. 3019. 43xs467.01ts208.02ts134.03t（2 2）計算各振型的地震影響系數(shù)）計算各振型的地震影響系數(shù)139.0116.0216.03（3 3）計算各振型的振型參與系數(shù)）計算各振型的振型參與系數(shù)363.11428.02063. 03（4 4）計算各振型各樓層的水平地）計算各振型各樓層的水平地震作用震作用kn4 .167kn4 .334kn2 .334第一振型第一振型kn8 .120kn7 .120kn9 .12

57、0第二振型第二振型kn8 .17kn9 .80kn2 .107第三振型第三振型（5 5）計算各振型的地震作用效應(yīng)（層間剪力）計算各振型的地震作用效應(yīng)（層間剪力）第一振型第一振型kn8362 .3344 .3344 .16711vkn6 .6682 .3344 .33412vkn2 .33413v2.3346.6688361 1振型振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設(shè)防烈度為抗震設(shè)防烈度為8 8度，度，類場地，設(shè)計地震分組為第二組。類場地，設(shè)計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803mn/m

58、2451kmn/m1952kmn/m983k解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01x 000. 1666. 0667. 02x 000. 1035. 3019. 43xs467.01ts208.02ts134.03t（2 2）計算各振型的地震影響系數(shù)）計算各振型的地震影響系數(shù)139.0116.0216.03（3 3）計算各振型的振型參與系數(shù)）計算各振型的振型參與系數(shù)363.11428.02063. 03（4 4）計算各振型各樓層的水平地）計算各振型各樓層的水平地震作用震作用kn4 .167kn4 .334kn2 .334第一振型第一振型

59、kn8 .120kn7 .120kn9 .120第二振型第二振型kn8 .17kn9 .80kn2 .107第三振型第三振型（5 5）計算各振型的地震作用效應(yīng)（層間剪力）計算各振型的地震作用效應(yīng)（層間剪力）2.3346.6688361 1振型振型第二振型第二振型kn8 .1208 .1207 .1209 .12021vkn1 .08 .1207 .12022v8 .12023v8 .1201 .08 .1202 2振型振型例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。例：試用振型分解反應(yīng)譜法計算圖示框架多遇地震時的層間剪力。 抗震設(shè)防烈度為抗震設(shè)防烈度為8 8度，度，類場地，設(shè)計地

60、震分組為第二組。類場地，設(shè)計地震分組為第二組。tm2701tm2702tm1803mn/m2451kmn/m1952kmn/m983k解：解：（1 1）求體系的自振周期和振型）求體系的自振周期和振型000.1667.0334.01x 000. 1666. 0667. 02x 000. 1035. 3019. 43xs467.01ts208.02ts134.03t（2 2）計算各振型的地震影響系數(shù)）計算各振型的地震影響系數(shù)139.0116.0216.03（3 3）計算各振型的振型參與系數(shù)）計算各振型的振型參與系數(shù)363.11428.02063. 03（4 4）計算各振型各樓層的水平地）計算各振型