剛體轉(zhuǎn)動慣量和截面的慣性矩

1、剛體轉(zhuǎn)動慣量和截面的慣性矩力學(xué)是工科專業(yè)一門難度較大的學(xué)科，在我校的教？W培養(yǎng)計劃中， 一般是上半學(xué)期的理論力學(xué)和下半學(xué)期的材料力學(xué)， 這 兩門課之間存在內(nèi)在聯(lián)系， 不僅僅停留在理論力學(xué)中的靜力學(xué)部 分是材料力學(xué)的基礎(chǔ)， 在教學(xué)過程中， 作者還發(fā)現(xiàn)了一些參數(shù)之 間的關(guān)系，如果不加以比較說明，會讓同學(xué)覺得知識凌亂。本文 通過比較對理論力學(xué)中剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量和材料力學(xué)中截面 對軸的慣性矩， 讓學(xué)生做到知識的融會貫通， 不僅能更加牢固掌 握這些基本參數(shù)，而且使新知識變得簡單易懂。1 剛體的轉(zhuǎn)動慣量1.1 定義剛體的轉(zhuǎn)動慣量是工程力學(xué)中一個重要知識， 是剛體轉(zhuǎn)動慣 性的度量， 表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變

2、的難易程度。 計算剛體及系 統(tǒng)對固定軸的動量矩或是計算動能時， 都必須要求對軸的轉(zhuǎn)動慣 量。對軸的轉(zhuǎn)動慣量的定義為（1） 若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則： （2）1.2 平行移軸定理 同一個剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量一般是不相同的， 當(dāng)轉(zhuǎn)軸與 通過剛體質(zhì)心的軸相互平行時， 對該軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通 過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量， 加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。（3）1.3 組合法 當(dāng)物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時， 可先計算每一部 分（物體）的轉(zhuǎn)動慣量， 然后再加起來就是整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。 若物體有空心部分，要把此部分的轉(zhuǎn)動慣量視為負(fù)值來處理。例如：如圖 1所示。鐘擺：均質(zhì)直桿 m1，l ；

3、均質(zhì)圓盤： m2， R。求整個鐘擺對 0軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：1.4 回轉(zhuǎn)半徑定義，則剛體對 z 軸的回轉(zhuǎn)半徑為： （4）2 截面的慣性矩2.1 定義 在推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式時定義了：（ 5）式中，即為截面對中性軸 z 軸的慣性矩， 從定義可以看出慣 性矩是反映梁的截面尺寸和形狀抵抗彎曲變形能力的一個物理 量。2.2 平行移軸定理當(dāng)坐標(biāo)軸不過截面的形心， 但和形心軸平行時， 截面圖形對 該軸的慣性矩與對形心軸的慣性矩有比較簡單的關(guān)系， 即慣性矩 平行移軸定理： （6）2.3 組合法組合截面對于坐標(biāo)軸的慣性矩等于各部分對于該軸慣性矩 之和。例如：空心圓對過圓心的軸的慣性矩可以看作大圓的的慣 性矩減去小

4、圓的慣性矩。2.4 慣性半徑定義，則慣性半徑為： （7） 通過以上四個方面對較剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量和截面對軸的 慣性矩進(jìn)行了比較和類比， 不難發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動慣量和慣性矩有很多類 似的地方， 首先這兩個參數(shù)都是是對軸而言， 都可以用平行移軸 定理和組合法，都有一個相對應(yīng)的定義半徑。不同的是定義，剛 體的轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)用的是剛體的質(zhì)量乘以到軸的距離的平方， 而截 面的慣性矩是應(yīng)用的截面的面積乘以到軸的距離的平方， 所以只 需要把質(zhì)量換成面積就可以輕松地學(xué)習(xí)材料力學(xué)的慣性矩。3 結(jié)語在力學(xué)教學(xué)過程中， 把理論力學(xué)和材料力學(xué)中相關(guān)的內(nèi)容有 機(jī)結(jié)合，從四個方面對理論力學(xué)中剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量和材料力 學(xué)中截面對軸的慣性矩進(jìn)行了