序列和離散系統(tǒng)

1、黃黃 海海哈爾濱理工大學哈爾濱理工大學2015年年3月月 DSP第一章第一章 離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號與系統(tǒng)Q 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述Q 離散時間信號與系統(tǒng)離散時間信號與系統(tǒng)Q Z變換與離散時間傅里葉變換變換與離散時間傅里葉變換Q 離散傅里葉變換離散傅里葉變換Q 快速傅里葉變換（快速傅里葉變換（FFT）Q 數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)Q 無限長單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法無限長單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法Q 有限長單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有限長單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法軟件學院軟件學院Slide 1 DSP本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容F 離散時間信號離

2、散時間信號序列序列F 離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)F 線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)F 常系數(shù)線性差分方程常系數(shù)線性差分方程F 連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間信號的抽樣軟件學院軟件學院Slide 2 DSP離散時間信號是對模擬信號 xa(t) 進行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T，得到：nnTxtxanTta ),()(1.1 1.1 離散時間信號離散時間信號序列序列0txa(t)0 xa(nT)tT2T軟件學院軟件學院Slide 3 DSP這里 n 取整數(shù)。對于不同的 n 值，xa(nT) 是一個有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時間信號。注意，這里的n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，另外，在數(shù)值上它等于信號的

3、采樣值，即nnTxnxa ),()(,.9 , 8 ,7 , 3 , 2, 1.)(nx 離散時間信號的表示方法：公式表示法、圖形表示法、公式表示法、圖形表示法、集合符號表示集合符號表示法，如軟件學院軟件學院Slide 4 DSP二、常用序列二、常用序列1. 單位抽樣序列(n)0, 00, 1)(nnn01/t(t)0(1)t(t)1n0(n)軟件學院軟件學院Slide 5 DSP2. 單位階躍序列單位階躍序列u(n)0, 00, 1)(nnnut0u(t)10nu(n)軟件學院軟件學院Slide 6 DSP (n)與與u(n)之間的關(guān)系之間的關(guān)系) 1()()(nunun0)()(kknnu

4、令n-k=m，有nmmnu)()(軟件學院軟件學院Slide 7 DSP3. 矩形序列矩形序列RN(n)nNnnRN其它, 010, 1)(N為矩形序列的長度0nR4(n)123)()()(NnununRN10)()(NmNmnnR軟件學院軟件學院Slide 8 DSP4. 實指數(shù)序列實指數(shù)序列)()(nuanxn，a為實數(shù)0n0a1a-1或-1a0,序列的幅值擺動0n-1a00na0 時，序列右移延遲延遲當 n00 時，序列左移超前超前x(n)n0n0 x(n-2)軟件學院軟件學院Slide 18 DSP4. 序列的翻轉(zhuǎn)序列的翻轉(zhuǎn)n0 x(-n)x(-n)是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列。x(-n)是以

5、縱軸（n=0）為對稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。x(n)n0軟件學院軟件學院Slide 19 DSP5. 尺度變換尺度變換x(n)n0n0 x(2n)(mnx)(nx是序列每隔m點取一點形成的，相當于時間軸n壓縮了m倍。抽取序列抽取序列mnx)(nx是序列相鄰抽樣點間補（m1)個零值點，表示零值插值。插值序列插值序列軟件學院軟件學院Slide 206. 累加（等效積分）累加（等效積分）nkkxny)()(7. 7. 差分運算差分運算 前向差分前向差分 后向差分后向差分) 1()()()() 1()(nxnxnxnxnxnx8. 8. 卷積和卷積和mmnhmxnhnxny)()()()()(等效為

6、等效為翻褶、移位、相乘和相加翻褶、移位、相乘和相加四個步驟。四個步驟。軟件學院軟件學院Slide 21 DSP1.2 1.2 線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)Tx(n)y(n)()(nxTny在時域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時不變系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)。系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T表示，即軟件學院軟件學院Slide 22 DSP1.2.1 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足可加性與比例性,則稱此系統(tǒng)為離散時間線性系統(tǒng)。),()(11nxTny)()(22nxTny)()()()()()(212121nbynaynxbTnxaTnbxnaxT

7、其中a、b為任意常數(shù)。設(shè)軟件學院軟件學院Slide 23 DSP例例是否線性系統(tǒng)。)792sin()()(nnxny證：)792sin()()(11nnxny)792sin()()(22nnxny)792sin()()()()(22112211nnxanxanyanya)792sin()()()()(22112211nnxanxanxanxaT)()()()(22112211nyanyanxanxaT所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。軟件學院軟件學院Slide 24 DSP例例4)(3)(nxny所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。證：4)(3)()(111nxnxTny4)(3)()(222nxnxTny)(4

8、)(3)(3)()(2122112211aanxanxanyanya但是4)()( 3)()(22112211nxanxanxanxaT)()()()(22112211nyanyanxanxaT所以，此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。軟件學院軟件學院Slide 25 DSP1.2.2 時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時不變系統(tǒng)Tx(n)y(n)()(nxTny若則)()(00nnxTnnyn0為任意整數(shù)。輸入移動任意位（如n0位），其輸出也移動這么多位，而幅值卻保持不變。軟件學院軟件學院Slide 26 DSP例例bnaxny)()(證：bnnaxnnxT)()(00bnnaxnny)()(

9、00)()(00nnxTnny所以，此系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。軟件學院軟件學院Slide 27 DSP例例)()(nnxny證：)()(00nnnxnnxT)()()(000nnxnnnny)()(00nnxTnny所以，此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。同理，可證明 所代表的系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。)4sin()()(0nnxny軟件學院軟件學院Slide 28 DSP1.2.3 線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系T(n)h(n)一個既滿足疊加原理，又滿足時不變條件的系統(tǒng)，一個既滿足疊加原理，又滿足時不變條件的系統(tǒng)，被稱為線性時不變系統(tǒng)被稱為線性時不變系統(tǒng)(linear shif

10、t invariant, LTI)。線性時不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應(yīng)來表征。 單位取樣響應(yīng)，也稱單位沖激響應(yīng)，是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)來表示：)()()(nhnTny軟件學院軟件學院Slide 29根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì) )()()(mmnTmxnymmnhmxny)()()(又根據(jù)時不變性質(zhì)設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，而mmnmxnx)()()(因此，系統(tǒng)輸出為 )()()()(mmnmxTnxTny通常把上式稱為離散卷積或線性卷積。這一關(guān)系常用符號“*”表示：)()()()()(nhnxmnhmxnym軟件學院軟件學院Slide 30 DSP線性時不變系統(tǒng)的一個

11、重要特性是它的輸入與輸出線性時不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關(guān)系：序列之間存在著線性卷積關(guān)系：v用單位取樣響應(yīng)h(n)來描述系統(tǒng)h(n)x(n)y(n)()()()()(nhnxmnhmxnym軟件學院軟件學院Slide 31 DSP線性卷積的計算線性卷積的計算計算它們的卷積的步驟如下： (1)折疊：先在變量坐標軸k上畫出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標為對稱軸折疊成 h(-k)。 (2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移n。 (3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應(yīng)取樣值相乘。 (4)相加：把所有的乘積累加

12、起來，即得y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxnym軟件學院軟件學院Slide 32 DSP例 已知x(n)和h(n)分別為：和a為常數(shù)，且1a，試求x(n)和h(n)的線性卷積。其它, 060,)(nanhn其它, 040, 1)(nnx 計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。 軟件學院軟件學院Slide 33 DSP解 參看圖，分段考慮如下：(1)對于n4，且n-60，即46，且n-64，即64，即n10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m) n軟件學院軟件學院Slide 34圖解說明圖解說明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06

13、(1) n0n-6mh(n-m)n 0(2) 0n4n-6mh(n-m)n04軟件學院軟件學院Slide 35(3) 4n6n-6mh(n-m)n04 6n-6mh(n-m)n06(4) 610n-6mh(n-m)n04(2) 0n4n-6mh(n-m)n04圖解說明圖解說明軟件學院軟件學院Slide 360)(0mxm時，當0)(04mnhmnm時，當aaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnmmnnm11111)()()(11)1(000(2)在在0n4區(qū)間上區(qū)間上n-6mh(n-m)n040mx(m)4軟件學院軟件學院Slide 37(3)在在4n6區(qū)間上區(qū)間上n-6mh(n-m)n

14、04 60mx(m)4aaaaaaaaamnhmxnynnnmmnmmnm1111)()()(141)41 (404040軟件學院軟件學院Slide 38(4)在在6n10區(qū)間上區(qū)間上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4aaaaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnnmmnnnm111)()()(741)14()6(4666軟件學院軟件學院Slide 39 DSP綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：nnaaanaaanaannynnnn10, 0106,164,140,110, 0)(74141軟件學院軟件學院Slide 40 DSP卷積結(jié)果y(n)如圖所示 6ny(n)1004軟件

15、學院軟件學院Slide 41 DSP例例 設(shè)有一線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為000)()(nnnuanhn10 a)()()(Nnununxmmnhmxny)()()(解：分段考慮如下：(1)對于n0；(2)對于0n N1；(3)對于nN。軟件學院軟件學院Slide 42 DSP0)(ny0)(0mxm時，當0)(00mnhmnm時，當(2)在0nN 區(qū)間上Slide 43 DSP(3)在nN 區(qū)間上aaaaaamnhmxnyNNnNmmnNmmnNm111)()()(1101010(1)(2)(3)y(n)軟件學院軟件學院Slide 44 DSP例例設(shè)有一線性時不變系統(tǒng)，其5 , 1 ,

16、 2)(2 , 4 , 1 , 3)(nhnx3142x(m)m0 1 2 3 4215h(m)m102 3 4)()()(nhnxny求mmnhmxny)()()(解：m0-2-3-4-11h(-m)623)0()0()0(hxy軟件學院軟件學院Slide 4552113) 1 () 1 ()0()0() 1 (hxhxy24241153)2()2() 1 () 1 ()0()0()2(hxhxhxy10,22,13,24, 5, 6)(ny-3-11 20mh(1-m)-23-11 20mh(2-m)-2ny(n)-11 20-23 4 5 665241322103142x(m)m0 1

17、2 3 4軟件學院軟件學院Slide 46 DSP02413051248262413010221324561020515對有限長序列相卷，可用豎乘法注：1. 各點要分別乘、分別加且不跨點進位； 2. 卷和結(jié)果的起始序號等于兩序列的其實序號之和。軟件學院軟件學院Slide 47 DSP由上面幾個例子的討論可見，)()()()()(nhnxmnhmxnymh(n)x(n)y(n)設(shè)x(n)和h(n)兩序列的長度分別是N 和M ，線性卷積后的序列長度為(N + M -1)。軟件學院軟件學院Slide 48 DSP線性卷積滿足以下運算規(guī)律：線性卷積滿足以下運算規(guī)律：交換律)()()()(nxnhnhn

18、xh(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)軟件學院軟件學院Slide 49結(jié)合律分配律)()()()()()(2121nhnhnxnhnhnxh1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n) * h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+ h2(n)x(n)y(n)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx軟件學院軟件學院Slide 50 DSP)()()()()(nnxmnmxnxm)()()()()(000nnxmnnmxnnnxm軟件學院軟件學院序列與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：序列與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：

19、若序列與一個移位的單位取樣序列若序列與一個移位的單位取樣序列 ( (n-nn-n0 0) )進行線性卷進行線性卷積，就相當于將序列本身移位積，就相當于將序列本身移位n n0 0：Slide 51nmnmmxmnumxnunx00)()()()()(序列與單位階躍序列的線性卷積等于序列累加：序列與單位階躍序列的線性卷積等于序列累加： DSP1.2.4 1.2.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取決于只取決于n n時刻，以及時刻，以及n n時刻以前的時刻以前的輸入輸入，即),2(),1(),()(nxnxnxny稱該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。對于線性時不變系統(tǒng)，具有因果性

20、的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足：0, 0)(nnh如0, 00,)()(nnanuanhnn因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)。軟件學院軟件學院Slide 52 DSP穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)對一個線性時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取充要條件是單位取樣響應(yīng)絕對可和樣響應(yīng)絕對可和，即nnh)(穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于每個有界輸入有界輸入x(n)x(n)，都產(chǎn)生有界輸出都產(chǎn)生有界輸出y(n)y(n)的系統(tǒng)。即如果|x(n)|M(M為正常數(shù))，有|y(n)|+，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。 軟件學院軟件學院Slide 53 DSP例例設(shè)某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為)()(nuanhn式中

21、a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：1,1,1111limlim)(100aaaaaaanhNnNNnnNnn由于n0時，h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以 時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。1a軟件學院軟件學院Slide 54 DSP例例 設(shè)某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應(yīng)為) 1()(nuanhn式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：(1)討論因果性由于n0時，h(n)0，故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。1,1,111111)(111aaaaaaaanhnnnnnnn(2)討論穩(wěn)定性所以 時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。1a軟件學院軟件學院Slide 551.3 1.3 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差

22、分方程一個N 階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)微分方程離散時間線性時不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)差分方程NkkMmmknyamnxbny10)()()(求解差分方程的基本方法有三種：經(jīng)典法求齊次解、特解、全解遞推法求解時需用初始條件啟動計算變換域法將差分方程變換到Z域進行求解軟件學院軟件學院Slide 56 DSP1.4 1.4 連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間信號離散時間信號采樣內(nèi)插信號經(jīng)過采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號頻譜將發(fā)生怎樣變化；經(jīng)過采樣后信號內(nèi)容會不會有丟失；如果信號沒有被丟失，其反變換應(yīng)該怎樣進行，即由數(shù)字信號恢復成模擬信號應(yīng)該具

23、備那些條件等。 軟件學院軟件學院Slide 57 DSP1.4.1 采樣采樣S)(txa)( txa)()()(tPtxtxaaT0tT2T)(txa0tP(t)T0txa(t)最高頻率為fc 軟件學院軟件學院Slide 58 DSP0理想采樣)()()(tPtxtxaannTttP)()(naanTtnTxtx)()()()(txa)( txa)(),(tPtP一、理想采樣xa(t)P(t)0txa(t)0t0tT1T軟件學院軟件學院Slide 59 DSP定義單位沖擊函數(shù)單位沖擊函數(shù)1)( dtt0, 0)(ttt0 (t)(1)單位沖擊函數(shù)有一個重要的性質(zhì)：采樣性若f(t)為連續(xù)函數(shù)，則

24、有)0()()(fdtttf將上式推廣，可得)()()(00tfdttttft0 (t-t0)軟件學院軟件學院Slide 60 DSP軟件學院軟件學院理想采樣過程理想采樣過程)()()(tstxtxasSlide 61 DSP二、頻譜的周期延拓二、頻譜的周期延拓即即即即)()()()(tPtxtxjXaaa)()()(,tPtxtxaa)()(jXtxaa)()(jXtxaa)()(21)(jPjXjXaadejXjXtxdtetxtxjXtjaaatjaaa)(21)()()()()(-1軟件學院軟件學院Slide 62 DSP)()(tPjP)(tP由于由于 是周期函數(shù)是周期函數(shù)nnTtt

25、P)()(可用傅立葉級數(shù)表示，即可用傅立葉級數(shù)表示，即ktjkkSeatP)(TS2采樣角頻率采樣角頻率 2222)(1)(1TTtjknTTtjkkdtenTtTdtetPTaSS系數(shù)系數(shù)軟件學院軟件學院Slide 63 DSP22)(1TTtjkkdtetTaSktjkktjkkSSeTeatP1)(T1)()(tPjPktjkSeT1tjkSe 1軟件學院軟件學院Slide 64 DSPkSkTjP)(2)()(21對稱性對稱性)(21StjkkeS移頻特性移頻特性kSSk)(1)(t根據(jù)根據(jù)軟件學院軟件學院Slide 65 DSP0(S)S2S-S-2SS)( jP軟件學院軟件學院Sl

26、ide 66 DSP)()(21)(jPjXjXaakaSjXkT)()(221kSadkjXT)()(221采樣信號的傅氏變換為采樣信號的傅氏變換為 kSadkjXT)()(1kSajkjXT)(1kaTjkjXT)2(1軟件學院軟件學院Slide 67 DSP即即kSaajkjXTjX)(1)(采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，其延拓周期為其延拓周期為 s s 。軟件學院軟件學院Slide 68 DSPCS2CS2討論：討論： S S/2/2 C C)(jXa S S2 2 S S3 3 S S 0 0- - S S( (c)c)- - C

27、 C C C S S/2/2 0 0( (a)a)( jXa最高最高截止截止頻率頻率 S S/2/2)(jXa 0 0- - S S2 2 S S S S( (b)b)軟件學院軟件學院Slide 69 DSPCS2稱稱NyquistNyquist采樣率采樣率2/S稱折疊頻率稱折疊頻率CS2 C C S S/2/2)(jXa S S 0 0- - S SS0稱稱NyquistNyquist范圍范圍采樣定理采樣定理 ：要想采樣后能夠不失真地還原出原信號，則采樣頻率必須大于要想采樣后能夠不失真地還原出原信號，則采樣頻率必須大于兩倍原信號頻譜的最高截止頻率（兩倍原信號頻譜的最高截止頻率（ s s 2

28、2 C C）。）。由上面的分析有，頻譜發(fā)生混疊的原因有兩個：由上面的分析有，頻譜發(fā)生混疊的原因有兩個：1.1.采樣頻率低采樣頻率低2.2.連續(xù)信號的頻譜沒有被限帶連續(xù)信號的頻譜沒有被限帶軟件學院軟件學院Slide 70 DSPCS20C 2C 3C 4C 可選可選 s =(3 4) C 低通采樣軟件學院軟件學院Slide 71 DSP軟件學院軟件學院理想采樣后信號頻譜發(fā)生的變化理想采樣后信號頻譜發(fā)生的變化2 信號在時域的特性和在頻域的特性之間存在以下對應(yīng)關(guān)系：2 時域的周期性 頻域的離散性2 時域的離散性 頻域的周期性2 時域的非周期性 頻域的連續(xù)性2 時域的連續(xù)性 頻域的非周期性Slide 72 DSP軟件學院軟件學院傅里葉變換的各種形式時域信號頻域信號非周期連續(xù)連續(xù)非周期周期連續(xù)離散非周期非周期離散連續(xù)周期周期離散離散周期dejXtxtj)(21)(ktjkejkXtx0)()(010)(1)(NkknNWnXNnxdeeXnxnjnj)(21)(2/2/00)(1)(TTtjkdtetxTjkXdtetxjXtj)()(nnjjenxeX)()(10)()(NnknNWnxkXSlide 73 DSP頻域分析頻域分析kS