數(shù)學(xué)物理方法綜合試題及答案

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換綜合試題（一）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號 內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。1.cosi ,則(2.3.4.A.復(fù)數(shù)A.D.Imz 0z 3(cos , 5i sin 一）的三角表木式為（544c43(cos- ,isin ) B . 3(cos-5553(cos- , - i sin 55設(shè)C為正向圓周|z|=1 ,則積分A. 0設(shè)函數(shù)A.zzeB.C.zze argz.4 ,-i sin53(cos-5.4,i sin5,生等于c|z|ez 1 Czzeez 1zzeez

2、 1解答:5.1是函數(shù)cot z(z 1)46.7.A.3階極點(diǎn)B.卜列映射中，把角形域4AzA. w z線性變換4階極點(diǎn)B.C. 5階極點(diǎn)D. 6階極點(diǎn)argz 一保角映射成單位圓內(nèi)部|w|0映射為上半平面 Imco 0B.將上半平面Imz0映射為單位圓co|1|z|0|z|1映射為單位圓| 3 |19. f z (z12rz一在01)1的羅朗展開式是()A.nn n(1) z0B.(zC.nnn 1(z 2) D. ( 1) (z 2)n 0n 010.3zcosz2dz 二0二、填空題(本大題共6小題，每小題2分，共12分)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。 錯(cuò)填、不填均無分。11 .方程

3、Ln z i的解為。312 .哥極數(shù)二! zn的收斂半徑為 。n 1 n13 .設(shè) z (1 i)100,則 Imz=。1 一14.設(shè) C為正向圓周 憶|=1 ,貝U ?( z)dz=。15.設(shè)C為正向圓周2，f(z)sin一3-d,其中z-z2,則f(1)=，-116.函數(shù) f z 1z(z 1)5在點(diǎn)z=0處的留數(shù)為三、計(jì)算題(本大題共8小題,共52分)17.計(jì)算積分Ic(z-i)2(z 3i)2dz的值，其中C為正向圓周 憶-1|二3 。n 118 .函數(shù)f(z) (z 1) (n 為正整數(shù))在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù)19 .求u x2 2xy - y2的共軻調(diào)和函數(shù) v(x,y)，并使v(

4、0,0) = 1.20 .計(jì)算積分Io=zdz的值，其中C為正向圓周|z|=2.c |z|z 221 .試求函數(shù)f(z尸e- d 在點(diǎn)z=0處的泰勒級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域0iz _22 .求出f(z) e z在所有孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).n 1 n23 .求級數(shù)(1) nz的和函數(shù)n 124 .函數(shù)6sinz3 z3(z6 6)在z 0點(diǎn)為零，用級數(shù)展開法指出該零點(diǎn)的級 .四、綜合題(下列3個(gè)小題中，第25題必做，第26、27題中只選做一題。每小題 8分，共16分)25 .利用留數(shù)求積分I=4 Cosx一dx的值0 x4 10x2 926 .設(shè)Z平面上的區(qū)域?yàn)?D：|z i | J2,|z-i| J

5、2,試求下列保角映射3(1) Wif(z)把D映射成 W平面上的角形域 D1：-argw1 -；44(2) Wif2(w1)把D1映射成W2平面上的第一象限 d2:00;(4) w f (z)把D映射成Go27.利用拉氏變換解常微分方程初值問題:y 2y y 1y(0) 0,y(0)11-i Q、11. z 1(1 33),或 e3 214. 41517.解：因在C內(nèi)f(z)綜合試題(一)答案12 . e13.03i,或 2 i cos16. 6333ze0y有二階級點(diǎn)z=I ,所以(z-i)2(z 3i)2Q f(z)dz 2ilim (z-i)2 f (z) ?c1! z i dz2 il

6、imz ie z 2e zz(z 3i)2 (z 3i)318 .解：因?yàn)閚為正整數(shù)，所以f(z)在整個(gè)z平面上可導(dǎo).一n 1f (z) n(z 1)19 .解 1:-u 2x 2y,-u 2x-2y,xy由 C R條件，有 _v _A,_v _u , y x x yv2,、再由vdy(2x 2y)dy 2xy y (x)。x2y (x)-2x 2y -,xy得(x)-2x ,于是(x) -x2 C ,v 2xy y2 - x2 C。由 v(0,0)1,得 C=1。22故 v 2xy y - x 1翻 Q.(x,y) v v斛2 v(x y) (00) dx dy C(0,0) xy(x, y

7、)(。(2y-2x)dx (2x 2y)dy C22-x 2xy y C以下同解1。20.解 1 ：dz12Re zdz2 c2cos 2i (cosi sin )d4i 0(1cos2 )d解2:z?c西dz2ei21.解:因?yàn)閒(z)f (z)22.解:A：C123.|z|2-ze2e- 2iei2= 2i(22 n(-z )n!0)(-1)nz0 n!2n:(i z(2分)所以由哥級數(shù)在收斂圓內(nèi)逐項(xiàng)求積性質(zhì),函數(shù)()df(z)(1n 2n 1(-1) zn 0 n! 2n 1(iz1z有孤立奇點(diǎn)0與內(nèi)有如下 Laurent展開1ez(11 2一 z2!13z3!)(12!Rese1 z

8、一Rese z解： Clim Cn 1n C2!3!3! 4!)1z2! z23! z31z,00 k!(k 1)10 k!(k1).n 1 .lim 1n n故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì),有:n n-1(1) nzdzn1)所以(1)nn 1n-1 nzz)2，(1 z)于是有:(1)n 1z ( 1)n nzn 1(1z)224.解:f(z)6sin6(z31 -z 3!36z (z1 15z5!6)故z=0為f(z)的15級零點(diǎn)四、25.解：在上半平面內(nèi),26.2Re2Res f(z), iRes f(z),3i48e3解：(1)(2)設(shè)w2(3)(4)八.36sin z6z36z3ize22(z21)(z29)cosx2-1)(x2 9)dxiRes f(z),i116ei1- 3 ,48e i有一階極點(diǎn)z=i和z=3i。(3e2-1)。-i- _ 4 e 4w1,2Re2 iResixe22(x 1)(xf(z),3i ,2、解得交點(diǎn)zi+1,Z2=-1。2則它把D映射成W平面上的D1：-則它把D映射成W平面上的第一象限D(zhuǎn)2:0arg w2。設(shè)w w2,則它把映射成W平面的上半平面G:dx9)argw1Imw0。-i 一w (e 42_z -1、2一0(Z)z 1Wi z 1t