第5講.幾何問題之角平分線題型Ⅰ(學(xué)生)

1、第五講.幾何問題之角平分線題型I【教學(xué)目標(biāo)】1 .掌握角平分線的性質(zhì)和判定；2 .綜合應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題；3 .綜合應(yīng)用垂直平分線、等腰三角形、四邊形等知識解決相關(guān)問題;4 .學(xué)習(xí)分析問題、解決問題的能力?！局R、方法梳理】：一.知識要點詳解：1 .角平分線的性質(zhì)定理：(1)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。(2)定理的數(shù)學(xué)表示：如圖 1,已知OE是 AOB的平分線，F(xiàn)是OE上一點，若CF OA 于點 C , DF OB 于點 D,則 CF DF。(3)定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；(4)角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所

2、在的直線。2 .角平分線性質(zhì)定理的逆定理：(1)角平分線性質(zhì)定理的逆定理： 在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。(2)定理的數(shù)學(xué)表示：如圖2,已知點F在 AOB的內(nèi)部，且FC OA于C, FD OB于D ,若FD FC ,則點F在 AOB的平分線上。(3)定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線。(4)注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系。3 .關(guān)于三角形三條角平分線的定理：(1)關(guān)于三角形三條角平分線交點的定理：三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等。定理的數(shù)學(xué)表示：如圖3,如果AP、BQ、CR分別是 ABC的內(nèi)角 BAC、

3、 ABC、ACB的平分線，那么： AP、BQ、CR相交于一點I ;若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點D、E、F ,則DI EI FI。定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實際中的幾何作圖問題。(2)三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點一定在三角形的內(nèi)部。4 .關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：(1)會作已知線段的垂直平分線；(2)會作已知角的角平分線;(3)會作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡單綜合問題的圖形.角平分線定理使用中的幾種輔助線作法：(如下圖示)1 .已知角平分線，構(gòu)造全等三角形；2 .已知一個點到角的一邊的距離，

4、過這個點作另一邊的垂線段；3 .已知角平分線和其上面的一點，過這一點作角的兩邊的垂線段。.角平分線性質(zhì)定理之聯(lián)想:1 .由角平分線的性質(zhì)聯(lián)想兩線段相等；2 .由角平分線的軸對稱性構(gòu)造全等三角形；3 .過角平分線上一點作一邊的平行線，構(gòu)成等腰三角形。【典例精講】模塊一.角平分線的對稱性:基本圖形例1.如圖，AD是 ABC的角平分線，DE AB, DF AC ,垂足分別是 E, F。連接EF , 交AD于點G。說出AD與EF之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論。例2.如圖，BE CF, DF AC于F, DE AB于E , BF和CE交于點D。 求證：AD平分 BAC 。例3.如圖，在 ABC中， C 9

5、0o, AD平分 BAC ,BD DF。求證：CF EB。DE AB 于 E ,F在AC上,例4.如圖，已知在 ABC中，BD DC ,12。求證： AD平分 BAC。例5.如圖，已知在四邊形 ABCD中， B D 180°, AC平分 BAD, CE AD, E為 垂足。求證：AB AD 2AE 。例 6.如圖 1, Rt ABC 中， ACB 90°, CD AB,垂足為 D。AF 平分 CAB,交CD于點E ,交CB于點F。(1)求證：CE CF。(2)將圖2中的 ADE沿AB向右平移到 ADE的位置，使點E落在BC邊上，其它條件不變，如圖2所示。試猜想：BE與CF有

6、怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論。例7. (1)如圖1所示，在 ABC中，AD是 BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的 任意一點，試比較 PB PC與AB AC的大小，并說明理由。(2)如圖2所示，AD是 ABC的內(nèi)角平分線，其它條件不變，試比較PC PB與AC AB的大小，并說明理由。A【雙基訓(xùn)練】1.如圖，12, PD OA于D, PE OB于E ,下列結(jié)論中錯誤的是（）(A). PD PE(B). OD OE (C). DPO EPO (C). PD OD2.如圖,ABC 中,ABC 120°, C 26°,且 DE AB, DF AC , DE DF求 ADC的度

7、數(shù)。3.已知：12, 34,求證：AP平分 BAC o4 .如圖，D是 ABC的外角 ACE的平分線上一點， DFAC于FBC的延長線于E。求證:CE CF o5 .如圖，在 ABC中，EF AB 于 F , EGD為BC的中點，DE BC交AC交AC延長線于G 。求證:BAC的平分線AE于E, BF6.如圖，ABCD,B 90°, E是BC的中點，DE平分 ADC。求證：AE平分 DAB。【縱向應(yīng)用】7.如圖，F(xiàn), G是OA上兩點，M, N是OB上兩點，且FG MN , S PFG S PMN，試問點P是否在 AOB的平分線上?8.如圖，在 ABC 中，AB 3AC,BAC的平分線

8、交BC于點D ,過點B作BE AD ,垂足為E ,求證：AD DE .【橫向拓展】9.求證：三角形的三條角平分線相交于一點。練習(xí)題答案【雙基訓(xùn)練】1 .答案：D2 .答案：137°PF。3 .【提示】過點 P作PE AB、PF AC,利用角平分線性質(zhì)可得 PE4 .【證明】QCD是 ACE的平分線，DF AC于F , DE BC于EDEC DFC 90°, DE DF在 Rt DEC 和 Rt DFC 中DC DCQ DE DFRt DEC Rt DFCCE CF5 .【證明】連接 BE、EC,由DE BC, BD DC , BE EC , AE ?平分 BAC, EF A

9、B , EG AC , EF EGRt BFERt CGE , BF CG6.【證明：過點 E作EF AD于FQ DE 平分 ADC , EC DC , EF FD CE EF又Q CE BE EF BE又 Q EF AF , BE AB二.AE 平分 DAB?！究v向應(yīng)用】7.【證明：過點 P作PD OA于D, PE OB于E11Q Spfg -FG PD ， Spmn -MN PE , 22而 S PFG S PMN. 1 一_ 1_FG PD -MN PE22又Q FG MN PD PE又 Q PD OA 于 D , PE OB 于 E P在 AOB的平分線上。8.證明：如下圖，延長 BE交AC延長線于F ,取CF中點M ,連接EM .QAD 平分 BAC, AE BE, AE AE,BAE FAE ASA .E是BF中點，AB AF .QM是CF中點，ME / BC.Q AB 3AC , AF 3AC.AC CM , CD / ME , D 是 AE 中點.AD DE