第2章 平面力系

1、第二章平面力系 平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)的簡化 平面任意力系的平衡條件和平衡方程 物體系統(tǒng)的平衡靜定和超靜定問題2.1工程中的平面任意力系問題工程中的平面任意力系問題2.2 力線平移定理FdFMMBB)( 可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力F平行移到任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，這個(gè)附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點(diǎn)B的矩。力線平移定理的另一個(gè)用法，可把一個(gè)力和一個(gè)力偶合成一個(gè)力。正步驟逆步驟主矢和主矩2.3 平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化)(20222FMMFF)(10111FMMFF)(0nnnnFMMFF1212nRni FFFFFFFF平面匯交力系力，F(xiàn)R(主矢，作用在簡化中心)平面力

2、 偶 系力偶，MO (主矩，作用在該平面上)平面任意力系平面匯交力系+平面力偶系向一點(diǎn)簡化其中平面匯交力系的合力為平面力偶系的合成結(jié)果為1212()()()()OnOOOnOiMMMMMMMM FFFF大小22)()(iyixRFFF方向cos( , )ixRRFFiFcos( , )iyRRFFjF作用點(diǎn)作用于簡化中心上主矩)(iOOFMM 平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)O簡化，可得一個(gè)力和一個(gè)力偶。 這個(gè)力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O 。 這個(gè)力偶的矩等于該力系對于點(diǎn)O的主矩。主矢與簡化中心的位置無關(guān)，主矩和簡化中心的位置有關(guān)。平面固定端約束平面固定端約束=(1)平面任意力系簡化為

3、一個(gè)力偶原平面一般力系等效為一個(gè)平面力偶系。合力偶矩M等于原力系對簡化中心的主矩。由于力偶在同一平面內(nèi)可移轉(zhuǎn)，所以此時(shí)的簡化結(jié)果與簡化中心無關(guān)()OOMM F FR0，MO0 2.4 平面任意力系的簡化結(jié)果分析(2)平面任意力系簡化為一個(gè)合力的情形合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，則此時(shí)平面力系簡化為一合力，作用線恰好通過簡化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此時(shí)還可進(jìn)一步簡化為一合力。如圖OOFRdFRFRFRMOFROOdOOORMdF()ORROMF dMF()OOiMM F結(jié)論：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。這就是平面任意力系的合力矩定理

4、。FRdOO從圖中可以看出所以由主矩的定義知：()()OROiMM FF0RF主矢主矢主矩主矩最后結(jié)果最后結(jié)果說明說明合力合力合力合力合力作用線過簡化中心合力作用線過簡化中心0RF合力作用線距簡化中心合力作用線距簡化中心合力偶合力偶平衡平衡與簡化中心的位置無關(guān)與簡化中心的位置無關(guān)與簡化中心的位置無關(guān)與簡化中心的位置無關(guān)結(jié)論： 1、合力的大小等于線載荷所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線載荷的方向相同。3、合力的作用線通過載荷圖的形心。1、均布載荷、均布載荷qlQ 2、三角形載荷、三角形載荷qlQ213、梯形載荷、梯形載荷l/2l/2qQlq2q1可以看作一個(gè)三角形荷載和一可以看作一個(gè)三角形

5、荷載和一個(gè)均布載荷的疊加個(gè)均布載荷的疊加 面的形心就是截面圖形的幾何中心，質(zhì)心是針對實(shí)物體而言的，而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實(shí)物體，質(zhì)心和形心重合。 v 判斷形心的位置： v 當(dāng)截面具有兩個(gè)對稱軸時(shí)，二者的交點(diǎn)就是該截面的形心。據(jù)此，可以很方便的確定圓形、圓環(huán)形、正方形的形心； v 只有一個(gè)對稱軸的截面，其形心一定在其對稱軸上，具體在對稱軸上的哪一點(diǎn)，則需計(jì)算才能確定。 平面任意力系平衡的充要條件是： 力系的主矢和對任意點(diǎn)的主矩都等于零即 00oRMF2.5 平面任意力系的平衡條件和平衡方程)()()(22iOOyxRFMMFFF因?yàn)槠矫嫒我饬ο档钠胶夥匠?54(000oyx

6、MFF 平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個(gè)任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點(diǎn)的矩的代數(shù)和也等于零。平面任意力系平衡方程的三種形式1) 一般式000AyxMFF2)二矩式000BAxMMF兩個(gè)取矩點(diǎn)連線，不得與投影軸垂直BA,由后面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點(diǎn)的一合力或處于平衡。再加第一條件，若AB連線不垂直于x 軸 (投影軸），則力系必平衡。3)三矩式000CBAMMM三個(gè)取矩點(diǎn)，不得共線CBA, 由前面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點(diǎn)的一合力或處于平衡，再加第三條件，力系只能簡化為過A、B、C三點(diǎn)的一合力或處

7、于平衡，若三點(diǎn)不在同一直線上，則力系必平衡。注意：注意：以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，最多只能求出三個(gè)未知數(shù)以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，最多只能求出三個(gè)未知數(shù)。例4-2已知：, , ,;P q a Mqa求：支座A、B處的約束力.解：取AB梁，畫受力圖. 0 xF0AM 0yF0AxF解得0AxF4220BFaMPaqa a解得3142BFPqa20AyBFqaPF解得342AyPFqa2.6平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF平面平行力系的方程只有兩個(gè)，有兩種形式00AyMF各力不得與投影軸垂直00BAMMA

8、,B兩點(diǎn)連線不得與各力平行2.7 剛體系統(tǒng)的平衡問題 由多個(gè)物體通過約束所組成的系統(tǒng)稱為剛體系統(tǒng)。 外界物體作用于系統(tǒng)的力稱該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內(nèi)各剛體間相互作用的力稱該系統(tǒng)的內(nèi)力。 當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)剛體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個(gè)剛體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當(dāng)研究剛體系統(tǒng)的平衡時(shí)，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個(gè)剛體。 1 剛體系統(tǒng)靜定的判斷 在靜力學(xué)中求解剛體系統(tǒng)的平衡問題時(shí)，若未知量的數(shù)目(m)不超過獨(dú)立平衡方程數(shù)目(3n)。則由剛體靜力學(xué)理論，可把全部未知量求出，這類問題稱為靜定問題。 若未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學(xué)理論無法求出，

9、這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。而總未知量數(shù)與總獨(dú)立平衡方程數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)(k=m-3n)。 靜不定問題在強(qiáng)度力學(xué)靜不定問題在強(qiáng)度力學(xué)（材力材力, ,結(jié)力結(jié)力, ,彈力）中用位移彈力）中用位移協(xié)調(diào)條件來求解協(xié)調(diào)條件來求解。靜定（未知數(shù)三個(gè)）靜定（未知數(shù)三個(gè)） 靜不定（未知數(shù)四個(gè)）靜不定（未知數(shù)四個(gè)）例4-6 已知:F F=20kN,q=10kN/m,20mkNML=1m;求:A,B處的約束力.解:1)取CD梁,畫受力圖.0CMsin60cos30202BlFlqlFl 解得 F FB B=45.77kN=45.77kN解得kN89.32AxF 0iyFsin602cos300AyBF

10、FqlF解得kN32. 2AyF 0AM22sin60 3cos3040ABMMqllFlFl解得kN37.10AM2)取整體,畫受力圖. . 0ixFcos60sin300AxBFFF2.8 工程中的摩擦工程中的摩擦干摩擦固體對固體的摩擦。流體摩擦流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力?；瑒?dòng)摩擦由于物體間相對滑動(dòng)或有相對滑動(dòng)趨勢引起的摩擦。滾動(dòng)摩擦由于物體間相對滾動(dòng)或有相對滾動(dòng)趨勢引起的摩擦。 當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體具有相對滑動(dòng)或相對滑動(dòng)趨勢時(shí)，彼此間產(chǎn)生的阻礙相對滑動(dòng)或相對滑動(dòng)趨勢的力，稱為滑動(dòng)摩擦力。 摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對滑動(dòng)的趨勢或相對滑動(dòng)的方向相反，它的大小根據(jù)主動(dòng)

11、力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動(dòng)摩擦力，最大靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。若僅有滑動(dòng)趨勢而沒有滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為靜滑動(dòng)摩擦力；若存在相對滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。2.9 滑動(dòng)摩擦在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，該物體在重力P和法向力FN的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)。今在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，當(dāng)拉力F由零值逐漸增加但不很大時(shí)，物體仍保持靜止?？梢娭С忻鎸ξ矬w除法向約束力FN外，還有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向力，此力即靜滑動(dòng)摩擦力，簡稱靜摩擦力，常以FS表示，方向向左，如圖。1 靜滑動(dòng)摩擦力和最大靜滑動(dòng)摩擦力靜摩擦力的大小隨水平力F的增大而增大，這是靜摩擦力

12、和一般約束力共同的性質(zhì)。靜摩擦力又與一般約束力不同，它并不隨力F的增大而無限度地增大。當(dāng)力F的大小達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，物塊處于將要滑動(dòng)、但尚未開始滑動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)，只要力F再增大一點(diǎn)，物塊即開始滑動(dòng)。當(dāng)物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，即為最大靜滑動(dòng)摩擦力，簡稱最大靜摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再繼續(xù)增大，但靜摩擦力不能再隨之增大，物體將失去平衡而滑動(dòng)。0:0 xSSFFFFFmax0sFF綜上所述可知，靜摩擦力的大小隨主動(dòng)力的情況而改變，但介于零與最大值之間，即 由實(shí)驗(yàn)證明：最大靜滑動(dòng)摩擦力的大小與兩物體間的法向力的大小成正比，即：maxsNFf F這就是靜滑動(dòng)摩擦定律。

13、式中fs稱為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)。靜摩擦因數(shù)的大小需由實(shí)驗(yàn)測定。它與接觸物體的材料和表面情況(如粗糙度、溫度和濕度等)有關(guān)，而與接觸面積的大小無關(guān)。當(dāng)滑動(dòng)摩擦力已達(dá)到最大值時(shí)，若主動(dòng)力F F再繼續(xù)加大，接觸面之間將出現(xiàn)相對滑動(dòng)。此時(shí)，接觸物體之間仍作用有阻礙相對滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡稱動(dòng)摩擦力，以F Fd表示。實(shí)驗(yàn)表明：動(dòng)摩擦力的大小與接觸體間的正壓力成正比，即式中f d是動(dòng)摩擦因數(shù)，它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)。動(dòng)摩擦力與靜摩擦力不同，沒有變化范圍。一般情況下，動(dòng)摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)，即 f d fs。2 2 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力動(dòng)滑動(dòng)摩擦力NddFfF 實(shí)際上動(dòng)摩擦系數(shù)還與接觸物

14、體間相對滑動(dòng)的速度大小有關(guān)。對于不同材料的物體，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對滑動(dòng)的速度變化規(guī)律也不同。多數(shù)情況下，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對滑動(dòng)速度的增大而稍減小，但當(dāng)相對滑動(dòng)速度不大時(shí)，動(dòng)摩擦因數(shù)可近似地認(rèn)為是個(gè)常數(shù)。兩種摩擦力的比較兩種摩擦力的比較1. 靜滑動(dòng)摩擦力靜滑動(dòng)摩擦力l 方向：沿接觸處的公切線，與相對滑動(dòng)趨勢反向；l 大?。簃ax0FFsl NFfFsmax（庫侖摩擦定律）l 大?。篘FfFdd2. 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力動(dòng)滑動(dòng)摩擦力l 方向：沿接觸處的公切線，與相對滑動(dòng)趨勢反向；sdff（對多數(shù)材料，通常情況下）l 1 摩擦角SNRAFFF全約束力全約束力物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，全約束力和法線間的夾角。2.1

15、02.10 摩擦角和自鎖現(xiàn)象摩擦角和自鎖現(xiàn)象摩擦角摩擦角ftansfNFFmaxNNsFFf摩擦錐摩擦錐f02 自鎖現(xiàn)象 如果作用于物塊的全部主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角f之內(nèi)，則無論這個(gè)力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。因?yàn)樵谶@種情況下，主動(dòng)力的合力FR與法線間的夾角 f，因此， FR和全約束反力FRA必能滿足二力平衡條件，且 f，而 f ，支承面的全約束反力FRA和主動(dòng)力的合力FR不能滿足二力平衡條件。應(yīng)用這個(gè)道理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。 斜面與螺紋自鎖條件sfftantan斜面自鎖條件f斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。因?yàn)槁菁y可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角a就是斜面的傾角。螺母相當(dāng)于斜面上的