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1、文檔可能無法思考全面，請瀏覽后下載! 圓盤內的熱傳導問題蔡曉君 物理學3班 200823010971、引言圓盤內的熱傳導問題是學習中常見的問題，本文通過建立模型并詳細的解答問題，得出了此模型的通解，并通過畫圖對圓盤內溫度分度規(guī)律進行了探究。對我們生活及生產(chǎn)中熱傳導現(xiàn)象有實際的理解幫助。2、模型介紹及問題的提出 圓盤內的熱傳導問題模型如下，設有半徑為1的薄均勻圓盤，邊界上的溫度為0，初始時刻圓盤內溫度分布為1-，其中r是圓盤內任一點的集半徑，求圓盤內溫度分布規(guī)律。圓域內求解問題，才用極坐標較方便，考慮到定解問題與無關，故溫度U只是r，t的函數(shù)，由題意得，歸結為下列定解問題 r0 r r運用分離變

2、量法 令U（r,t）=F(r)T(t)F(r) = T(t) 即令=則可得 對式 當=0時，=k為常數(shù)（顯然不符合題意）故T（t）=c又6 / 60 可使=T（t）=c則式可化為+=0這是特殊函數(shù)貝塞爾方程則通解F（r）= (具體過程見后面解釋1)又U（r,t）是有界的，故=0，即F（r）=又=0，故=0，即是的零點= 對應的本征函數(shù)為從而有形式解為U（r,t）=又=1-=+又由貝塞爾函數(shù)的遞推公式得 （具體過程課看后面解釋2）=再由遞推公式 得（具體過程看后面解釋）=從而可有 因此，所求定解問題之解為U(r,t)= （其中是的正零點）2.1對方程解的具體解釋解釋1：貝塞爾方程求解貝塞爾方程有

3、級數(shù)解（）代入原方程得合并同類項得，當k=0時， （） 當k=1時， 當k 當r=n時， 而 其中為任意常數(shù)，而具有性質 （n為整數(shù)）貝塞爾函數(shù)的特解為定義為第一類貝塞爾函數(shù)當,同理再定義與線性無關一般貝塞爾函數(shù)的額通解可表示成解釋2：證明證明：3、結論本文通過常規(guī)方法分離變量法解出了圓盤內的熱傳導問題的解，知道了所構造的模型通解為所求定解問題之解為U(r,t)= （其中是的正零點）且作出了圓盤溫度分度的圖形，更形象了解圓盤內溫度分布規(guī)律，如下圖所示4、參考文獻數(shù)學物理方程與特殊函數(shù) 李元杰 編 高等教育出版社數(shù)學物理方法 劉連濤 王正清 編 高等教育出版社數(shù)學物理方程 陳才生 編 東南大學出版社5、感想通過這次學習對編程畫圖有了更進一步的了解，鞏固掌握。在解題過程要時刻以老師的思想為指導，解題過程以分離變量法為指導方法，但是思想比解題更重要，在理解的基礎上運用這些思想及方法。也使我們更加深刻了解

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