絕對值大全(零點(diǎn)分段法化簡最值)0001

1、絕對值大全(零點(diǎn)分段法、化簡、最值)一、去絕對值符號的幾種常用方法解含絕對值不等式的基本思路是去掉絕對值符號，使不等式變?yōu)椴缓^對值符號的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法相同。因此掌握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題關(guān)鍵。c x c(c 0)(c 0)1 利用定義法去掉絕對值符號根據(jù)實(shí)數(shù)含絕對值的意義，即 |x|= x(x 0) ，有|x|< c x(x 0)x c或 x c(c 0)| x|>cx 0(c 0)x R(c 0)2 利用不等式的性質(zhì)去掉絕對值符號利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化 | x |< c或| x |> c ( c >0)來解，如 |ax b

2、|> c ( c >0)可為 ax b>c或 ax b <c；|ax b |< c可化為 c < ax + b < c ，再由此求出原不等式的解集。對于含絕對值的雙向不等式應(yīng)化為不等式組求解，也可利用結(jié)論“a |x | ba xb或 bx a”來求解，這是種典型的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法。3 利用平方法去掉絕對值符號對于兩邊都含有 “單項(xiàng) ”絕對值的不等式，利用 |x |2 = x2 可在兩邊脫去絕對值符號來解，這 樣解題要比按絕對值定義去討論脫去絕對值符號解題更為簡捷，解題時還要注意不等式兩邊變 量與參變量的取值范圍，如果沒有明確不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)

3、，需要進(jìn)行分類討論，只有不等 式兩邊均為非負(fù)數(shù) (式 )時，才可以直接用兩邊平方去掉絕對值，尤其是解含參數(shù)不等式時更必 須注意這一點(diǎn)。4 利用零點(diǎn)分段法去掉絕對值符號所謂零點(diǎn)分段法，是指：若數(shù) x1， x2， xn分別使含有 |x x1|，|x x2|， |x xn |的代數(shù)式中相應(yīng)絕對值為零，稱x1， x2， xn為相應(yīng)絕對值的零點(diǎn)，零點(diǎn) x1，x2， xn將數(shù)軸分為 m +1段，利用絕對值的意義化去絕對值符號，得到代數(shù)式在各段上 的簡化式，從而化為不含絕對值符號的一般不等式來解，即令每項(xiàng)等于零，得到的值作為討論 的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含

4、絕對值符號的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把 求解條理化、思路直觀化。5 利用數(shù)形結(jié)合去掉絕對值符號 解絕對值不等式有時要利用數(shù)形結(jié)合，利用絕對值的幾何意義畫出數(shù)軸，將絕對值轉(zhuǎn)化為 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離求解。數(shù)形結(jié)合法較為形象、直觀，可以使復(fù)雜問題簡單化，此解法適用 于|x a| |x b| m或|x a| | x b| m（m為正常數(shù) ）類型不等式。對 |ax b| |cx d | m（或m），當(dāng)|a| c|時一般不用。二、如何化簡絕對值 絕對值的知識是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，在中考和各類競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，含有絕對值符號的 數(shù)學(xué)問題又是學(xué)生遇到的難點(diǎn)之一，解

5、決這類問題的方法通常是利用絕對值的意義，將絕對值 符號化去，將問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的問題，確定絕對值符號內(nèi)部分的正負(fù)，借以去掉絕 對值符號的方法大致有三種類型。一）、根據(jù)題設(shè)條件例 1 ：設(shè)化簡的結(jié)果是（ ）。合并整理后再用同樣方法化去A ）（ B ）（ C ）（ D ）思路分析：由 可知 可化去第一層絕對值符號，第二次絕對值符號待應(yīng)選（ B ）歸納點(diǎn)評 只要知道絕對值將合內(nèi)的代數(shù)式是正是負(fù)或是零，就能根據(jù)絕對值意義順利去 掉絕對值符號，這是解答這類問題的常規(guī)思路（二）、借助數(shù)軸例 2：實(shí)數(shù) a、b、c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式的值等于（ ）（A ）（ B）（C）（D）思路分析 由

6、數(shù)軸上容易看出 ，這就為去掉絕 對值符號掃清了障礙解：原式應(yīng)選（ C）歸納點(diǎn)評 這類題型是把已知條件標(biāo)在數(shù)軸上，借助數(shù)軸提供的信息讓人去觀察，一定弄 清：1零點(diǎn)的左邊都是負(fù)數(shù)，右邊都是正數(shù)2右邊點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊點(diǎn)表示的數(shù)3離原點(diǎn)遠(yuǎn)的點(diǎn)的絕對值較大，牢記這幾個要點(diǎn)就能從容自如地解決問題了（三）、采用零點(diǎn)分段討論法例 3 ：化簡思路分析 本類型的題既沒有條件限制，又沒有數(shù)軸信息，要對各種情況分類討論，可采 用零點(diǎn)分段討論法，本例的難點(diǎn)在于 的正負(fù)不能確定，由于 x 是不斷變化的，所 以它們?yōu)檎樨?fù)、為零都有可能，應(yīng)當(dāng)對各種情況 一討論解：令 得零點(diǎn)： ；令 得零點(diǎn)： ，把數(shù)軸上的數(shù)分為三個

7、部分（如圖） 當(dāng)時 , 原式 當(dāng) 時， ，原式 當(dāng) 時， ， 原式歸納點(diǎn)評：雖然 的正負(fù)不能確定，但在某個具體的區(qū)段內(nèi)都是確定的，這正 是零點(diǎn)分段討論法的優(yōu)點(diǎn)，采用此法的一般步驟是：1求零點(diǎn)：分別令各絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為零，求出零點(diǎn)（不一定是兩個）2分段：根據(jù)第一步求出的零點(diǎn)，將數(shù)軸上的點(diǎn)劃分為若干個區(qū)段，使在各區(qū)段內(nèi)每個 絕對值符號內(nèi)的部分的正負(fù)能夠確定3在各區(qū)段內(nèi)分別考察問題4將各區(qū)段內(nèi)的情形綜合起來，得到問題的答案誤區(qū)點(diǎn)撥 千萬不要想當(dāng)然地把 等都當(dāng)成正數(shù)或無根據(jù)地增加一些附加條件，以免 得出錯誤的結(jié)果三、帶絕對值符號的運(yùn)算在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何去掉絕對值符號？因?yàn)檫@一問題看似簡單，所

8、以往往容易被人們 忽視。其實(shí)它既是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點(diǎn)，還是學(xué)生容易搞 錯的問題。那么，如何去掉絕對值符號呢？我認(rèn)為應(yīng)從以下幾個方面著手：（ 一）、要理解數(shù) a 的絕對值的定義。在中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，數(shù) a的絕對值是這樣定義的， “在數(shù)軸上，表示數(shù) a 的點(diǎn)到原點(diǎn)的 距離叫做數(shù) a 的絕對值。 ”學(xué)習(xí)這個定義應(yīng)讓學(xué)生理解，數(shù) a的絕對值所表示的是一段距離， 那么，不論數(shù) a 本身是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，它的絕對值都應(yīng)該是一個非負(fù)數(shù)。（二）、要弄清楚怎樣去求數(shù) a 的絕對值。從數(shù) a 的絕對值的定義可知，一個正數(shù)的絕對值肯定是它的本身，一個負(fù)數(shù)的絕對值必定 是它的相反數(shù)，零的

9、絕對值就是零。在這里要讓學(xué)生重點(diǎn)理解的是，當(dāng)a 是一個負(fù)數(shù)時，怎樣去表示 a 的相反數(shù)（可表示為 “-a”），以及絕對值符號的雙重作用（ 一是非負(fù)的作用，二是括 號的作用 ）。（三）、掌握初中數(shù)學(xué)常見去掉絕對值符號的幾種題型。1、對于形如 a的一類問題只要根據(jù)絕對值的 3個性質(zhì)，判斷出 a的 3 種情況，便能快速去掉絕對值符號。當(dāng) a>0時， a= a （性質(zhì) 1：正數(shù)的絕對值是它本身 ） ；當(dāng) a=0 時， a= 0 （性質(zhì) 2： 0的絕對值是 0） ；當(dāng) a<0 時； a= a （性質(zhì) 3：負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù) ） 。2、對于形如 a+b 的一類問題首先要把 a+b看作是一

10、個整體，再判斷 a+b的 3 種情況，根據(jù)絕對值的 3 個性質(zhì)，便能快 速去掉絕對值符號進(jìn)行化簡。當(dāng) a+b>0時， a+b= （a+b） =a +b （性質(zhì) 1：正數(shù)的絕對值是它本身 ） ； 當(dāng) a+b=0 時， a+b= （a+b） =0（性質(zhì) 2：0的絕對值是 0）；當(dāng) a+b<0 時， a+b= （a+b）= a-b （性質(zhì) 3：負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù) ）。3、對于形如 a-b的一類問題同樣，仍然要把 a-b看作一個整體，判斷出 a-b 的 3種情況，根據(jù)絕對值的 3 個性質(zhì)，去 掉絕對值符號進(jìn)行化簡。但在去括號時最容易出現(xiàn)錯誤。如何快速去掉絕對值符號，條件非常簡單，只要

11、你能判斷 出 a與 b的大小即可（不論正負(fù)）。因?yàn)榇?小 =小-大 =大-小，所以當(dāng) a>b時， a-b =（a-b） = a-b， b-a =（ a-b） = a-b 。 口訣：無論是大減小，還是小減大，去掉絕對值，都是大減小。4、對于數(shù)軸型的一類問題，根據(jù) 3 的口訣來化簡，更快捷有效。如 a-b的一類問題，只要判斷出 a在 b 的右邊（不 論正負(fù)），便可得到 a-b=（a-b）=a-b， b-a = （ a-b） =a-b 。5、對于絕對值符號前有正、負(fù)號的運(yùn)算 非常簡單，去掉絕對值符號的同時，不要忘記打括號。前面是正號的無所謂，如果是負(fù) 號，忘記打括號就慘了，差之毫厘失之千里也！

12、6、對于絕對值號里有三個數(shù)或者三個以上數(shù)的運(yùn)算萬變不離其宗，還是把絕對值號里的式子看成一個整體，把它與 0比較，大于 0 直接去絕 對值號，小于 0 的整體前面加負(fù)號。四、去絕對值化簡專題練習(xí)（ 1） 設(shè)化簡 的結(jié)果是（ B ）。（A ）（B）（C）（D）（2）實(shí)數(shù) a、b、c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則代數(shù)式的值等于（ C ）。（A ）（B）（C）（D）（3）已知，化簡的結(jié)果是x-8 。（4）已知，化簡的結(jié)果是 -x+8。（5）已知， 化簡的結(jié)果是 -3x（6） 已知 a、b、c、d 滿足且，那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助數(shù)軸完成）（7） 若 ，則有（ A ）。A）（B ）（ C）

13、（D ）（8） 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則式子化簡結(jié)果為A）C ）（ B ）（ C）（ D ）（9） 有理數(shù) 中負(fù)數(shù)的個數(shù)是（ B ）a、b 在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，那么下列四個式子，（A ）0 （B）1 （C）2 （D）3（10） 化簡 =（1）-3x （x<-4） （2）-x+8（- 4x 2） （3）3x（x>2）（11） 設(shè) x 是實(shí)數(shù)，下列四個結(jié)論中正確的是（ D ）。（A）y 沒有最小值（B ）有有限多個 x 使 y 取到最小值（C）只有一個 x使 y 取得最小值（ D ）有無窮多個 x使 y取得最小值五、絕對值培優(yōu)教案 絕對值是初中代數(shù)中的一個基本概

14、念，是學(xué)習(xí)相反數(shù)、有理數(shù)運(yùn)算及后續(xù)二次根式的基 礎(chǔ)絕對值又是初中代數(shù)中的一個重要概念，在解代數(shù)式化簡求值、解方程（組）、解不等（組）、函數(shù)中距離等問題有著廣泛的應(yīng)用，全面理解、掌握絕對值這一概念，應(yīng)從以下方面人 手：a（a 0）l 絕對值的代數(shù)意義： a 0（a 0）a（a 0）2(b 0)； a 22絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看，a 表示數(shù) a 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 （長度，非負(fù) ） ；a b 表示數(shù) a 、數(shù) b 的兩點(diǎn)間的距離3絕對值基本性質(zhì)非負(fù)性： a 0 ； ab a b ； a培優(yōu)講解（一）、絕對值的非負(fù)性問題【例 1】若 x 3 y 1 z 5 0 ，則 x y z 。 總結(jié)：若干非負(fù)

15、數(shù)之和為 0，。（二）、絕對值中的整體思想【例 2】已知 a 5, b 4，且 a b b a ，那么 a b= 變式 1. 若|m 1|=m1，則 m1; 若|m 1|>m1，則 m1;（三）、絕對值相關(guān)化簡問題（零點(diǎn)分段法）【例 3】閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：xx0我們知道 x0x0 ，現(xiàn)在我們可以用這一個結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化xx0簡代數(shù)式 x 1 x 2 時，可令 x 1 0和 x 2 0 ，分別求得 x 1,x 2（稱 1,2分 別為 x 1與 x 2 的零點(diǎn)值）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值 x 1和 x 2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3 種情況：（ 1）當(dāng)

16、 x1時，原式=x1x 2 2x 1（2）當(dāng) 1 x 2 時，原式 = x1x 2 3 ；（ 3）當(dāng) x 2時，原式 =x1x2 2x 1 。2x1x1綜上討論，原式 = 31x22x1x2通過以上閱讀，請你解決以下問題：1） 分別求出 x 2 和 x 4 的零點(diǎn)值；（ 2）化簡代數(shù)式 x 2 x 4變式 1.化簡 (1) 2x 1 ； (2) x 1 x 3 ；變式 2.已知 x 3 x 2的最小值是 a， x 3 x 2的最大值為 b，求 a b的值。（四）、 a b 表示數(shù)軸上表示數(shù) a 、數(shù) b 的兩點(diǎn)間的距離【例 4】（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與 2，3與

17、 5， 2與 6， 4與 3.并回答下列各題：（ 1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：_ .（ 2）若數(shù)軸上的點(diǎn) A 表示的數(shù)為 x，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 1，則 A 與 B 兩點(diǎn)間的距離 可以表示為 .（ 3）結(jié)合數(shù)軸求得 x 2 x 3 的最小值為 ，取得最小值時 x的取值范圍為 _. （4） 滿足 x 1 x 4 3的 x的取值范圍為 .（ 5） 若 x 1 x 2 x 3 x 2008 的值為常數(shù)，試求 x 的取值范圍（五）、絕對值的最值問題【例 5】（ 1）當(dāng) x取何值時， x 3有最小值？這個最小值是多少？（ 2）當(dāng) x取何值時，5 x 2 有最大值？這個最大

18、值是多少？（ 3）求 x 4 x 5 的最小值。（ 4 ）求x 7 x 8 x 9 的最小值?！纠?6】已知 x 1, y 1 ，設(shè) M x y y 1 2y x 4 ，求 M 的最大值與最小 值課后練習(xí)：1、若ab1| 與 (ab 1) 互為相反數(shù)，求3a 2b 1的值。2若ab1與 (ab 1) 互為相反數(shù)，則a 與 b 的大小關(guān)系是 ( )A abB ab C a bD a b3已知數(shù)軸上的三點(diǎn) A 、 B、 C分別表示有理數(shù) a，1，一 l，那么 a 1 表示( )AA、B 兩點(diǎn)的距離B A 、C兩點(diǎn)的距離C A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和D A、C兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和4.利用數(shù)軸分析 x 2 x 3 ，可以看出，這個式子表示的是 x到 2的距離與 x到 3的距離 之和，它表示兩條線段相加：當(dāng) x 時，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨 x 的增大而越來越大； 當(dāng) x 時，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨 x 的減小而越來越大；當(dāng) x 時，發(fā) 現(xiàn)，無論 x 在這個范圍取何