數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之運(yùn)算能力

1、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之運(yùn)算能力課程標(biāo)準(zhǔn)（ 2011 年版）中，對(duì)各學(xué)段的運(yùn)算提出了明確的要求。其中第三學(xué)段：體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過程，理解有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)；掌握必要的運(yùn)算（包括估算）技能；探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進(jìn)行表述的方法。運(yùn)算不僅是數(shù)學(xué)課程中“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”也都與運(yùn)算有著密切的聯(lián)系。一、對(duì)運(yùn)算能力的認(rèn)識(shí)根據(jù)一定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理，由一些已知量通過計(jì)算得出確定結(jié)果的過程，稱為運(yùn)算。能按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算，稱為運(yùn)算技能。不僅會(huì)根據(jù)法則、公式等正確的進(jìn)行運(yùn)算，而

2、且理解運(yùn)算的算理，能根據(jù)題目條件尋求正確的運(yùn)算途徑，稱為運(yùn)算能力。運(yùn)算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等的有機(jī)整合。在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，使運(yùn)算符合算理，合理簡潔。換言之，運(yùn)算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力。二、運(yùn)算能力的特征運(yùn)算能力的主要特征正確、靈活、合理、簡潔。首先，要保證運(yùn)算的正確，為此必須要正確理解相關(guān)的概念、法則、公式和定理等數(shù)學(xué)知識(shí)，明確意識(shí)到實(shí)施運(yùn)算的依據(jù)，然后，在適度訓(xùn)練、逐步熟悉的基礎(chǔ)上，清楚的意識(shí)到實(shí)施運(yùn)算中的算理。不斷總結(jié)正反兩方面的經(jīng)驗(yàn)和教

3、訓(xùn)，逐步減少在實(shí)施運(yùn)算中思考概念、法則、公式等的時(shí)間和精力，提高運(yùn)算的熟練程度，以求運(yùn)算順暢，立力求避免錯(cuò)誤。多題一解和一題多解在運(yùn)算中十分普遍， 即一般性與特殊性往往同時(shí)出現(xiàn)在實(shí)施運(yùn)算的過程中，多題一解體現(xiàn)了運(yùn)算的普適性，一題多解體現(xiàn)了運(yùn)算的靈活性。二者的交替出現(xiàn)，相互比較，循環(huán)往復(fù)，不斷優(yōu)化，促使學(xué)生越來越感悟到：實(shí)施運(yùn)算，解決問題，不僅要正確，而且要靈活、合理、簡潔。估算也是一種重要的運(yùn)算技能， 估算能力也是運(yùn)算能力的特征之一， 課標(biāo)在每一學(xué)段的學(xué)段目標(biāo)和課程內(nèi)容中，都強(qiáng)調(diào)了估算，并提出了具體的要求。隨意我們要充分重視估算。進(jìn)行估算需要經(jīng)過符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)，需要掌握一點(diǎn)的

4、方法，積累一定的經(jīng)驗(yàn)，需要避免出現(xiàn)過大的誤差，需要使估算結(jié)果盡量接近實(shí)際情境，能對(duì)實(shí)際問題做出合理的解釋。所以在涉及估算的教學(xué)中，時(shí)間不能壓縮，學(xué)生的活動(dòng)要充分。三、運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個(gè)長期的過程，應(yīng)伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和深化，從簡單到復(fù)雜、從具體到抽象，有層次的發(fā)展。運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展應(yīng)貫穿于師生共同參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過程中， 并體現(xiàn)發(fā)展的適度性、層次性和階段性。正確理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，是逐步形成運(yùn)算技能、發(fā)展運(yùn)算能力的前提。原式能力的培養(yǎng)與發(fā)展不禁包括運(yùn)算技能的逐步提高，還應(yīng)包括運(yùn)算思維的提升和發(fā)展，要經(jīng)歷如下過程：1、由具體到抽象第一學(xué)段：理解萬以內(nèi)的數(shù)，初步認(rèn)

5、識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，初步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運(yùn)算，以及簡單的分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加減運(yùn)算；第二學(xué)段：認(rèn)識(shí)萬以上的數(shù)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運(yùn)算（包括混合運(yùn)算），小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算（包括混合運(yùn)算），了解并初步應(yīng)用運(yùn)算律；第三學(xué)段：掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運(yùn)算；掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則；進(jìn)行簡單的整個(gè)辦公室加、減、乘運(yùn)算；利用乘法公式進(jìn)行簡單計(jì)算；進(jìn)行簡單的分式加、減、乘、除運(yùn)算；了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算，及簡單的四則運(yùn)算；解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加減消元法解二元一次方程組；用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；解數(shù)

6、字系數(shù)的一元一次不等式。無論是學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運(yùn)算， 還是解方程和解不等式的運(yùn)算， 一開始總是和具體事物相聯(lián)系的，之后逐步脫離具體事物，抽象成數(shù)與式、方程與不等式的運(yùn)算。直至高中階段進(jìn)行更為抽象的符號(hào)運(yùn)算，如集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，命題的或、且、非等運(yùn)算。 7 運(yùn)算思維的抽象程度，是運(yùn)算能力發(fā)展的主要特征之一。2、由法則到定理學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運(yùn)算、解方程和捷豹但是的運(yùn)算，在反復(fù)操練、相互交流的過程中，不僅會(huì)逐步形成運(yùn)算技能，還會(huì)引發(fā)對(duì)“怎么算？”“怎么算的好？”“為什么要這樣算？”等一系列問題的思考。這是有法則到算理的思考，是運(yùn)算從操作的層面提升到思維的層面，這是運(yùn)算發(fā)展的重要內(nèi)容。課程標(biāo)

7、準(zhǔn)規(guī)定了一系列與算理相關(guān)的內(nèi)容。如在第三學(xué)段：除了“理解有理數(shù)的運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算”外，算理的內(nèi)容好要求進(jìn)一步強(qiáng)化，在學(xué)習(xí)方程解法之前，要求“掌握等式的基本性質(zhì)”；在學(xué)習(xí)不等式解法正確，要求“探索不等式的基本性質(zhì)”；為此課程標(biāo)準(zhǔn)提供了例53：小麗去文具店買鉛筆和橡皮。鉛筆每只 0.5 圓，橡皮每塊0.4 元。小麗帶了 2元錢，能買幾只鉛筆、幾塊橡皮？在此例中，不僅給出了詳細(xì)的解題方案和過程，還指出：這是一個(gè)求整數(shù)解的不等式問題，并且問題是開放的，通過列表具體計(jì)算，有助于學(xué)生直觀理解不等式，對(duì)于嘈雜聲，這個(gè)問題是生活常識(shí)，但希望學(xué)生能通過這個(gè)例子學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分式看待生活中的問題。

8、在一元二次方程的內(nèi)容中， 課程標(biāo)準(zhǔn)不禁設(shè)置了“能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程”，而且增加了“會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等”“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”等內(nèi)容，表面不禁要學(xué)習(xí)和掌握解一元二次方程的運(yùn)算方法，更要思考和領(lǐng)悟解一元二次方程的算理。3、由常量到變量函數(shù)在第三學(xué)段是重要的內(nèi)容， 函數(shù)概念的引入， 運(yùn)算對(duì)象從常量提升到變量。運(yùn)算的內(nèi)容更加豐富多彩，課程標(biāo)準(zhǔn)中不僅有：“能確定簡單實(shí)際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會(huì)求出函數(shù)值”“會(huì)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式”“會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的不等式化為頂點(diǎn)式，并能由此得

9、到二次函數(shù)圖象的定點(diǎn)坐標(biāo)”等直接進(jìn)行運(yùn)算的內(nèi)容；還包括與運(yùn)算密切相關(guān)的內(nèi)容， 如“能結(jié)合圖象對(duì)簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析” “用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡單實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系”“結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，能對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論”“根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式探索并理解圖象的變化情況”“能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式”“根據(jù)圖象和表達(dá)式探索反比例函數(shù)圖象的變化情況”“指導(dǎo)給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù)。”由變量到常量， 表明運(yùn)算思維產(chǎn)生了新的飛躍， 運(yùn)算能力也發(fā)展到了一個(gè)新的高度。4、由單向思維到逆向、多向思維逆向思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)特點(diǎn)。在第二學(xué)段， 課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定“在

10、具體運(yùn)算和解決簡單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)加與減、乘與除的互逆關(guān)系?！痹诘谌龑W(xué)段，又增加了乘方與開方的互逆關(guān)系。到高中階段，更有指數(shù)與對(duì)數(shù)、微分與積分等混個(gè)小。運(yùn)算的互逆關(guān)系，是逆向思維的重要表現(xiàn)形式之一。運(yùn)算也是一種推理，在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問題的過程中， “由因?qū)Ч焙汀皥?zhí)果索因”的推理模式也是經(jīng)常要用到的，表現(xiàn)為有效探索運(yùn)算的條件與結(jié)論，已知與未知的相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化，思維方式是互逆的，更是相輔相成的。在實(shí)施運(yùn)算的過程中，還會(huì)遇到多因素的情況，各個(gè)因素相互聯(lián)系、相互制約、有相輔相成，更加需要不同的思維方向、不同的解題思路和不同的解題方法，通過你叫，嫁衣?lián)駜?yōu)選用。這是運(yùn)算思維達(dá)到一個(gè)新高度的重要