四邊形復(fù)習(xí)提綱經(jīng)典題型解析匯總

1、四邊形復(fù)習(xí)提綱（經(jīng)典題型解析） 匯總四邊形復(fù)習(xí)提綱【知識(shí)要點(diǎn)】1、四邊形的內(nèi)角和等于180。，n邊形的內(nèi)角和等于（n2） 180。，任意多邊形的外角和等于河。°, n邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)為n（n-3）/2.2、平行四邊形性質(zhì)：（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線(xiàn)互相平分；（2）平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形.判定：（D定義判定；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（4）對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形；（5） 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.3、矩形性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角

2、線(xiàn)相等（推論：直角三角斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半）；（4） 既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形；（5）其面積等于兩條鄰邊的乘積.判定：（D定義判定；（2）有三個(gè)角是直角的四邊形；（3）對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形.4、菱形性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；（4）既是中心對(duì)稱(chēng) 圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形；（5）其面積等于兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)乘積的一半（適用于所有對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形）.判定：（D定義判定；（2）四條邊相等的四邊形；（3）對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形.5、正方形性質(zhì)：具有矩形、菱形的一切性質(zhì).判定：（1）定義判定；（2）先判定四

3、邊形為矩形，再判定它也是菱形；（3）先判定四邊形為菱形，再判定它也是矩形.6、等腰梯形性質(zhì)：（1）兩腰相等；（2）兩條對(duì)角線(xiàn)相等；（3）同一底上的兩個(gè)底角相等；（4）是軸對(duì)稱(chēng)圖形.判定：（1）在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；（2）對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形.7、平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理：如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其他宜線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等.推論1:經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線(xiàn)，必平分另一腰。推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)，必平分第三邊.8、兩個(gè)中位線(xiàn)定理三角形的中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于它的一半.梯形的中位線(xiàn)定理：梯形的中位線(xiàn)平

4、行于兩底，并且等于兩底和的一半（推論：梯形面積等于中位線(xiàn)長(zhǎng)與高的乘積）.9、中心對(duì)稱(chēng)定義：強(qiáng)調(diào)必須凝鑄180。承合。定理：（D關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形.（2）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分（存在逆定理）.10、各種四邊形之間的相互關(guān)系。正方形【方法總結(jié)】與多邊形的角度、邊數(shù)、對(duì)角線(xiàn)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，一般運(yùn)用公式列方程解決。2、分清各種四邊形的聯(lián)系與區(qū)別，明白定義、性質(zhì)與判定方法的正確使用（可以根據(jù)條件與結(jié)論的前后順序確定） 3、對(duì)角線(xiàn)是研究四邊形的常用輔助線(xiàn)，它既可以把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，又可以充分體現(xiàn)四邊形的所有特征。4、梯形中常添加輔助線(xiàn)，將其轉(zhuǎn)化為

5、平行四邊形或者三角形：（1）過(guò)較短底的頂點(diǎn)作梯形的高；（2）過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作腰的平行線(xiàn)；（3）過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線(xiàn)的平行線(xiàn)；（4）延長(zhǎng)兩腰相交；（5）連結(jié)上底的一個(gè)頂點(diǎn)與另一腰的中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與下底的延長(zhǎng)線(xiàn)相交.梯形常用的輔助線(xiàn)如下圖：55、遇到有關(guān)中點(diǎn)的問(wèn)題，常考慮構(gòu)造中位線(xiàn)，或者使用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”.6、解決折疊問(wèn)題，抓住“折疊前后重合的圖形關(guān)于折痕所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)”這一關(guān)鍵。7、“雙重對(duì)稱(chēng)圖形”判斷妙著：一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，畫(huà)出一條對(duì)稱(chēng)軸后，如果能畫(huà)出與它垂直的另一條對(duì)稱(chēng)軸，那么這個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形同時(shí)也 是中心對(duì)稱(chēng)圖形，垂足即為對(duì)稱(chēng)中心；如果能畫(huà)不出與它垂直的另一條對(duì)稱(chēng)軸，那么這個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形一定不是中心對(duì)

6、稱(chēng)圖形.8、求特殊圖形的面積，通常需要添加輔助線(xiàn)把它轉(zhuǎn)化為規(guī)范圖形，轉(zhuǎn)化的方法主要有“割”、"補(bǔ)”兩種.9、在眾多的定理中，要嚴(yán)格區(qū)分有無(wú)逆定理，比如平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理就不存在逆定理?！镜湫屠}剖析】【例1】若一凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則它的邊數(shù)是.剖析：設(shè)此凸多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，以及“外角和等于360°”的推論，列方程，得（n - 2） 180° =360°.解得 n=4.【例2】下列圖案既是中心對(duì)稱(chēng)，又是軸對(duì)稱(chēng)的是 （）剖析：由“方法總結(jié)”第7條，易知選A.【例3】下列命題中，真命題是，）A.有兩邊相等的平行四邊形是菱形

7、B .有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形C四個(gè)角相等的菱形是正方形D.兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形是正方形剖析：由各類(lèi)平行四邊形的判定方法可知，A、B、D都不對(duì)，它們分別缺少了 “兩部邊”、“平勺四邊形”、“對(duì)角線(xiàn)耳相平分”等條件;C中四邊形的四個(gè)角相等，均為帥。，必是矩形，既是矩形又是菱形的四邊形當(dāng)然是正方形。故選C.【例4】如圖，DABCD的周長(zhǎng)為16cm, AC、BD相交于點(diǎn)O, OE_LAC交AD于E,則4DCE的周長(zhǎng)為（）A. 4 cm B. 6cm C. 8cm D. 10cmB剖析：由題意知，AD+CD=8cm RABCD中，AC、BD互相平分，則OE為AC的垂直平分線(xiàn)，所以EC=

8、EA. 因此，ZkDCE 的周長(zhǎng)=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。故選 C.【例5】如圖，在有CD中，。是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線(xiàn)與邊AC、BD分別交于E、F, 求證：四邊形AFCE是菱形.剖析：解題時(shí)，注意區(qū)分判定定理與性質(zhì)定理的不同使用.6BCD 中，AE/7CF, AZ1=Z2.又NAOE=NCOF, AO=CO.相交于O,四邊形AEFC是菱形,/AOEACOF, AEO=FO.四邊形AFCE是平行四邊形.又 EFJ_AC, OAFCE 是菱形.例6如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD剖析：容易證得，四邊形HOBE是矩形，則EH = BO

9、 = ； BD = ； AC = J FC. / / /【例7】探究規(guī)律：如圖1,已知直線(xiàn)加，A、B為直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，C、P為直線(xiàn)”?上的兩點(diǎn).（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中面積相等的各對(duì)三角形：。（2）如果A、B、C為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在加上移動(dòng)，那么無(wú)論P(yáng)點(diǎn)移動(dòng)到任何位置總有： 與aABC的面積相等;理由是：如圖2,五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過(guò)多年開(kāi)星荒地，現(xiàn)已變成如圖3所示的形狀，但承包土地與開(kāi)緊 荒地的分界小路（圖3中折線(xiàn)CDE）還保留著，張大爺想過(guò)E點(diǎn)修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時(shí)的一樣 多。請(qǐng)你用有關(guān)的幾何知識(shí)，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計(jì)出修路方案.（不

10、計(jì)分界小路與直路的占地面積）CD寫(xiě)出設(shè)計(jì)方案，并在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形；（2）說(shuō)明方案設(shè)計(jì)理由.剖析：本題從一個(gè)簡(jiǎn)單幾何原理入手，逐步深入探究，并用它解決實(shí)際問(wèn)題，較好地體現(xiàn)了新時(shí)期的教學(xué)理念“創(chuàng)新”與“應(yīng)用”兩 大主旋律.（1） ZkABC 和ABP. AAOC 和BOP, ACPA 和aCPB 分別面積相等。（2）因?yàn)槠叫芯€(xiàn)間的距離相等，所以無(wú)論點(diǎn)P在m上移動(dòng)到任何位置，總有aABP與ABC同底等高，因此，它們的面積總相等.解決問(wèn)題：(1)畫(huà)法如圖.連結(jié)EC,過(guò)點(diǎn)D作DF/EC,交CM于點(diǎn)F,連結(jié)EF, EF即為所求直路的位置.(2)設(shè)EF交CD于點(diǎn)H. 由上面得到的結(jié)論，可知： SaEC

11、F=SaECI), SaHCF=SaFJ)H.五心凈 ABCDE=S mmABCFE,S 五gEI)CMN= S 展序 EFMN例8采用如圖所示的方法，可以把梯形ABCD折疊成一個(gè)矩形EFNM(圖中EF, FN, EM為折痕)，使得點(diǎn)A與B、C與D分別重合于一點(diǎn). 請(qǐng)問(wèn)，線(xiàn)段EF的位置如何確定;通過(guò)這種圖形變化,你能看出哪些定理或公式(至少三個(gè))？證明你的所有結(jié)論.提示：EF為梯形ABCD的中位線(xiàn)，可以看出梯形的中位線(xiàn)定理、面積公式、等腰三角形的性質(zhì)定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)定理等等?；A(chǔ)題型1.如圖在平行四邊形48co中，4：N8 = 5:3,求這個(gè)平行四邊形各內(nèi)角的度數(shù)解：丁四邊形A8C。是平行四

12、邊形 AD/BC 44 + N8 = 180° 一 ，由于 NA:N8 = 5:3故設(shè)乙4 = 5x,則 =3x即 5x + 3x = 180°解得 x = 22.5° 因此 ZA = 5 x 22.5° = 112.5。，N8 = 3 x 22.5° = 67.50，平行四邊形各內(nèi)角度數(shù)分別是U2-5。，67.5。，112.5。，67.5°2.已知平行四邊形A8C°的周長(zhǎng)為38AC, 30相交于° ,且必°8的周長(zhǎng)比A8OC的周長(zhǎng)小于3 cm ,如圖，求平行四邊形A8C0各邊的長(zhǎng)解：:四邊形A8C。為平

13、行四邊形 OA = OC AB = CD BC = AD ff.,SA OB的周長(zhǎng)=OA + OB + ABSBOC 的周長(zhǎng)=OC + OB + BC且&的周長(zhǎng)比A8°C的周長(zhǎng)小于3 c？. (OC + OB + BC) - (OA + OB + BC) = 3/. BC-AB = 3又平行四邊形ABC。的周長(zhǎng)為38 cm.BC +AB = 19,A8 = 8a，BC = 11 cm/. CD = 8 cm, AD = 11 cm3.如圖，已知：在平行四邊形ABC。中，30是對(duì)角線(xiàn)，AE上8D于E, CF上BD于F求證：AE = b證明：方法一：:四邊形是平行四邊形 AB/C

14、D AB = CD一9/. ZABE = NCDFv AE-LBD, CF±BD. AAEB = ZCFD AABEACDF(AAS)J AE = CF方法二：連接4C,交BD于。 四邊形48。是平行四邊形/. OA = OC 9 又 AE工BD, CF LBD .ZAEO = ZCFO ,而 AAOE = ZCOF 二 SAEO s SCFO（ AAS）/. AE = CF4如圖所示，在平行四邊形A8CO中，£, F分別是4C, 04延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且C£ = AE ,則與。后具布怎么樣的位置關(guān)系？ 試說(shuō)明理由解：BF/DE證明：方法一：在平行四邊形A8CO中，A

15、6C°, A8 = C° ABAC = ZDCA / ABAC + ZBAF = 180°, AACD + 乙DCE = 180°1. ABAF = ZDC£又 AF = CE .AAFB 三 ACED (SAS)方法二.連接80,交從。于。在平行四邊形A8C。中，AO = CO BO = DO, AF = CE OF = OE 4FOB = /EOD . BOF 言 ADOE ( SAS)A ZF = Z£ . BF/DE方法三.連接30,交4c于°,連接。尸，BE由方法二知.OF = OE f OB = OD一四邊形肛為

16、平行四邊形. BF/DE5.如圖，已知。是平行四邊形A8C°對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，AC = 38 mz BD=24 cm , 4>=14。九，那么的周長(zhǎng)為25解：根據(jù)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分以及對(duì)邊相等的性質(zhì)可知0 = i50 = 1x24 = 12OC = 1aC = 1x38 = 19BC = AD = 14 cm22 cm 22 cm99,OBC 的周長(zhǎng)為 8C + 08 + OC = 14 +12 +19 = 45 an6.如圖平行四邊形48co中，EF/AB, GH/AD t EF與GH交于° ,則該圖形中的平行四邊形的個(gè)數(shù)共有（）A. 7 B. 8C. 9D. 1

17、0由題意可知圖中的平行四邊形分別是：DEOH . EAGO , HOFC , OGBF t DAGH , HGBC t DEFC t EABC , 048c所以 共有9個(gè)7.如圖，平行四邊形中，A尸平分ND46交0°于N,交6c的延長(zhǎng)線(xiàn)于F, DE上AF,交A4于例，交C8延長(zhǎng)線(xiàn)于上， 垂足為°,試證明：be = cfMB證明：丁四邊形為平行四邊形 AD/BC AB/CD AB = CD -9t.ZDAF = ZF9 ZADE=ZE9 EDC = /AMD DE±AF 9 /. AOM = AAOD = 90°,. A尸平分4B, " ZDAF

18、 = ZBAF/ OA = OA .AAOM 會(huì) AAOD （ ASA）/. ZADM = ZAMD9 Zfi4F = ZF, ZEDC = ZE.AB = BF, CD = CE/. BF = CE /. BE = CF8.如圖，已知：D, Efb分別在ABC的各邊上，DE/, DE = AF,延長(zhǎng)人。到G ,使FG = 2FD求證：AG與DE互 相平分.證明：連接A。，EGv DE/AF 9 DE=AF四邊形皿方是平行四邊形:. DF = AE, DF/AE又 FG = 2FDDG = DF =、FG.2. DG = AE ,而 DFAE四邊形"EG。為平行四邊形,4G與0匠互相

19、平分9.如圖，已知°是M8C的邊AB的中點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)D尸BE,叮A3試說(shuō)明：AE與OF互相平分證明：連接A尸，DE/ DF/BE, EF/AB，四邊形比力t.為平行四邊形，., £P= 3。是A4中點(diǎn).BD = AD：-AD=EF, AD/EF ，四邊形仞/為平行四邊形他與°F互相平分10 .如圖，點(diǎn)知，7 分別在平行四邊形A8CO的邊8C, AO上，且BM =DN , MELBD. NFJ.BD,垂足分別為E, F ,求證："N與£產(chǎn)互相平分證明：連接七汽，A/;四邊形A8C。是平行四邊形BC/AD NCBD = ZADB 9 丁 /

20、MEF =/NFE = 9。°, /MEB =/NFD = 9。- ME/NF , , BM = DN ABME -、DNF (A4S) ME = NF四邊形是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形） ： MN與EF互相平分11.如圖，A/與房互相平分，交點(diǎn)為M,EC與QF互相平分，交點(diǎn)為N,那么，四邊形A3。是平行四邊形么？你是怎么判定的？解：四邊形48co是平行四邊形證明：連接AE, BF, EF, DE, CF與be互相平分四邊形AB/它是平行四邊形/. EF/AD9 EF = AD EC與QF互相平分.二四邊形BCEF是平行四邊形:EF"BC , EF

21、= BCAD/BC，四邊形A8C°是平行四邊形12.如圖，已知臺(tái)七夕/是必8c的高，。是8c的中點(diǎn).求證：DE = DF證明：8E, U是AA8C的高，MFC , A8EC均為直角三角形. O是8。的中點(diǎn).DF是&&BFC斜邊上的中線(xiàn)，DE是RtBEC斜邊上的中線(xiàn)df=Lbc de=-bc2.2.DE=DF13 .如圖，先將矩形紙片A8CO對(duì)折一次折痕為£尸，展開(kāi)后又將紙片折疊使點(diǎn)A落在£尸上，此時(shí)折痕為8W,求NNSC度數(shù)的大小ae=be=df = fc=Lcd='ab=Lbn提示：根據(jù)題意得222過(guò)點(diǎn)N作NG_L8C,垂足為Gng=Lb

22、n則 2 NN8C = 30。（直角三角形中3。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，反過(guò)來(lái)也成立）14 .過(guò)矩形A6C。對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)°作石/_LAC分別交A4, 于E ,”,點(diǎn)G為人£的中點(diǎn)，若NAOG = 30。，求證:OG = DC 3證明：連接。石.,四邊形ABCD是矩形/. OA = OC EF± AC *石廠是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn) EA = ECBE = -EC ZAOG = 30°- ZACB = 60° ZOCE = 30° - ZBCE = 30°-29OG=AG=GE=-AE=CE22 og = ag = g

23、e = ebOG = DC/.315 .在矩形A8C°, A8 = 6,8C = 8,將矩形折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，折損為EF ,在展開(kāi)，求折痕E”的長(zhǎng)解：" = 6,8C = 8 .由勾股定理可得AC = 10根據(jù)題意有"=,尸，設(shè)” = b = x, BF = S-x25由勾股定理A獷+8F'=A尸，即"+（8-x）-=-i-解得4叱=空/.425751SoA,ce = CFxAB = -x6 = - SoAK.e=-ACxEFLL 15EF =2（提示：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半）16.已知：如圖，。是矩形ABC0對(duì)角線(xiàn)

24、的交點(diǎn)，AE平分NE4£>, NAO0 = 120。，求NAE0的度數(shù)答案：提示AW為等腰直角三角形，AOAB為等邊三角形，AO8E為等腰三角形/°BE = 30° ,乙 OEB = 75° ZOEA = 75° - 45° = 30° 917 .如圖，MN為過(guò)心必80的直角頂點(diǎn)A的直線(xiàn)，且 WMN于。，CE'MN于點(diǎn)心 A8 = AC,尸為BC的中點(diǎn)，求證:DF = EF證明：連接A/:為直角三角形，F(xiàn)為斜邊8c的中點(diǎn) BF = AF = CF ZBAC = 90°/. ZBAM + 4NAC =

25、90° HD±MN CE ±MN 9 M + 如A = 90。, ABDAEC = 90°/. ZDBA = ZEAC f 又 AB = AC, SDBA s AEAC（ AAS）. DB = AE.48 = AC, N84C = 9。，產(chǎn)為8C 的中點(diǎn)/. ZAZ?C = ZFAC = 45°/. ZDBA + ZABC + /CAF + CAN f 即 ZDM = ZE4£又; DB = AE, AF = BFADBF = EAF（SAS）/. DF = EF總結(jié)：在直角三角形中，出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，常見(jiàn)的輔助線(xiàn)是斜邊上的中線(xiàn)以及中位線(xiàn)1

26、8.如圖£是菱形A8CO邊AO的中點(diǎn)，EfAC于，交C8的延長(zhǎng)線(xiàn)于/；,交.于G ,求證：從4與£廠互相平分證明：.四邊形48°°是菱形ZBAC = ZDACAC LEG AH=AH ：. AA/E = AAHG （ ASA y A AE = AGAE=-AD AG=-AB22 AD/BC ZF = ZAEG . NBGF = AAGE ；. SAGE 三 &BGF（ AAS）EG = FG , AG = GB即A4與EF互相平分方法二：連接A，" BEAE = -AD AG = AB由 2,2 卷 /AGE = NAEG = NBGF

27、 = NBFG ,則 AE = AG = 8G = 8/- AE/BF且AE=BF二.四邊形AFBE為平行四邊形,AB與EF互相平分19 .如圖，在M8C中，乙4C6 = 90。，A0是NA的平分線(xiàn)，交6C于點(diǎn)°,是回邊上的高，交AO于F , DE工AB于E.求證：四邊形廠是菱形證明：TAO是NA的平分線(xiàn)J ACAD = NEAD ZACB = 90° CH LAB f ZCAD + ZCDA = 90° ZFA/7 + ZAF/7 = 90° 9 NCDA = ZAFH NAFH =乙CFD ZCFD = ZCDF J CF = CD AO是NA的平分

28、線(xiàn)，CD LAC DE LAB.CD = DE .CF = DE : CH ± AB f DE1,AB . CH/DE 四邊形CFE。是平行四邊形. CD = CF J平行四邊形CFED是菱形20 .菱形ABC。中，NZM8 = 120。，如果它的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為12求菱形斗席。的邊長(zhǎng)解：若對(duì)角線(xiàn)AC =如圖；四邊形A8C°為菱形，且ND48 = 120。NZZ4C = NR4C = 60。則MOC為等邊三角形菱形"CO的邊長(zhǎng)為12 a若對(duì)角線(xiàn)3D=12cm ,如圖:四邊形ABC。為菱形，且ND48 = 120。, NZMC = N8AC = 60。則AAOC為等邊

29、三角形又 OD = OB OD = OB = 6 cm 設(shè)=x 9 AD = 2x ,由勾股定理可得(2 ")2 =廠+ 6-,解得x = 2y/3t j.AD = cm綜上所述：菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12 cm或4/ cm22.如圖，四邊形A8C。是正方形，上是0。的中點(diǎn)，廠是8。上的一點(diǎn)，且"=3"求證：AELEF證明：連接A尸，設(shè)FC = k ,則8c = 4k四邊形 ABCD 是正方形 /. N8 = NC = NO = 90。，AB = EC = CD = AD = 4k； E為CD 中點(diǎn)DE = EC = 2k在 RtSABF 中，AF2= AB2 +

30、BF2 = 25k2在 KiAEC/中，EF2 =EC2 -bFC2 =5k2在 RiAADE 中,AE2 = AD2-b DE2 = 20k2則A6 + EU=A產(chǎn)，.AMF是直角三角形/. ZAEF = 90° /. AE±EF(到初三的時(shí)候此題還有額外的證明方法)23 .如圖，過(guò)正方形A8C。對(duì)角線(xiàn)比 上一點(diǎn)P,作于后，作尸尸，C。于尸，連接AP,七廠.求證：AP=EFfAP±EF證明：連接延長(zhǎng)AP交E”于點(diǎn)丁四邊形ABC。是正方形 ZABP =乙 CBP = 45° AB = BC ,/ BP = BP /. AABP a SCBP（SAS） A

31、PCP /BAP = NBCP 一9/ PE±BC PF LCD BC LCD 99四邊形pecf為矩形（有三個(gè)角為直角的四邊形為矩形）,PC = EF . PA = EFI PF = EC , NEPF = /PEC = 90° &PEF m SEPC （ HL）/. /PFE = ZPCE . ZPFE = ZBAPV AB L BC 9 PEL BC /. AB/PE , ZBAP = AEPH/ ZPFE + /PEH = 90° ./EPH + NPEH = 90° /. APLEH24.如圖正方形ABC。中，M是4?的中點(diǎn)，MN,DW

32、 , 8N平分/C8E,交MN于N求證：DM=MN證明：取線(xiàn)段AQ的中點(diǎn)尸，連接*W四邊形ABCD為正方形/. AB = ADf ZA = ZABC = 90° .F為A。中點(diǎn)，M為A4中點(diǎn) . DF=AI = AM=MB. ZAFM = ZAMF = 45°二4DFM = 135° / BN 平分 ZCBE 二4CBN =乙EBN = 45°. NMBN = 135。 二 /DFM = /MBN DM ±MN - NDMA + NNMB = 9。 NDMB + ZADM = 90° ZADM = /MBN 在與&WN8中ZM

33、DF = 4NMB< DF = MBZDFM = /MBN . SDMF 三 SMNB (ASA).。河=MN 思考：若點(diǎn)"是線(xiàn)段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其他條件不變，則上面的結(jié)論還成立么？請(qǐng)參考上面的解題思路，本題還有額外的證明方法，但是需要初三學(xué)習(xí)的知識(shí)，現(xiàn)在就不列舉了25 .如圖，在梯形48co中，A°/6C, AO<8C, E,少分別是AD, 8c的中點(diǎn)，且七/_L 8C ,求證：梯形A8CO為等腰梯形證明：過(guò)上分別作A3, 0。的平行線(xiàn)交BC于M, N ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形/. AE = BM 9 DE = NC , AB = EM f DC =

34、 EN: E,尸分別是AD, BC的中點(diǎn).AE=DEt BF = CF, BM =CN 二 BF-BM = CF-NC/. MF L NFEF _L BC EM = EN EF是線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)/. ME = NE /. AB = CD故梯形ABCD是等腰梯形26 .已知等腰梯形 A8co 中，AB = CD , N8 = 60。，AD = 15 cm f 8C = 497，求它的腰長(zhǎng)ADAD解，方法一：過(guò)點(diǎn)A作AE,交BC于點(diǎn)EAD/ BC四邊形AECD為平行四邊形 AD = EC DC = AE -9AB = DC ：. AE=AB N8 = 60。四邊形 A8C0 為等邊三角形/.

35、BE=AB A0 = 15, BC = 49 /. £?E = BC-CE = BC-AD = 49-15 = 34 .AB = CD = 34 cm 方法二過(guò)點(diǎn)A作A用垂足為M,過(guò)點(diǎn)。作。N_L8C,垂足為N四邊形abcd為等腰梯形AB = CD f N8 = NC AAMB = ZDNC = 90Q. SABM s &DCN( AAS)/. BM = CN 幺 MN =乙 MND = NAON =90。，四邊形AMND為矩形AD = MN .8C = 49 40 = 15BW=CN = 1(8C-AO) = L(49 -15) = 17/.22 / ZB = 60

36、6; /BAM = 30° AB = 2BM = 34 cm 27 .如圖，在M8C中，46>AC,從。平分/84C, CD1.AD f點(diǎn)七是8C的中點(diǎn)DE = -(AB-AC)求證：DEAB2A證明：延長(zhǎng)°交A4于點(diǎn)” AD LCD - ZADC = ZADF =900 t AO平分 ZBAC .I ZDAC = ZDAFAD=AD.AAOCwAAO尸（4S4）（AO又是高，又是角平分線(xiàn)，很容易聯(lián)想到“三線(xiàn)合一”） AC = AF FD = DC 9 點(diǎn)七是8c的中點(diǎn)OE是三角形AC8尸的中位線(xiàn)de=Lbf. DE/BF,2: AB-AF = BF BF=AB-AC

37、DE = (AB-AC)228 .如圖，在梯形"CO中,DC/AB 9 BC = DC + AB , E是 AD 中點(diǎn)求證：«EB = 90。證明：取8c中點(diǎn)尸，連接石/；由梯形中位線(xiàn)性質(zhì)可知EF/DC/ABEF = (DC + AB)且 2 BC = DC + AB - 2EF = BC EF = CF = FB：.ZCEB = 90°與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線(xiàn)作法歸類(lèi)解析第一類(lèi)：連結(jié)對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形A4CO中，點(diǎn)£尸在對(duì)角線(xiàn)AC上，且A£ = C7L請(qǐng)你以廠為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母

38、的某一點(diǎn)連成一條新線(xiàn)段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線(xiàn)段相等（只需證明一條線(xiàn)段即可）連結(jié)BFBF = DE證明：連結(jié)。8,。廠,設(shè)08, AC交于點(diǎn)OV四邊形ABCD為平行四邊形：.AO = OC,DO = OBV AE = FC：. AO-AE = OC-FC 即 OE = OF：.四邊形EBFD為平行四邊形 BF = DE27第二類(lèi)：平移對(duì)角線(xiàn)，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形.例2如右圖2,在平行四邊形A4CO中，對(duì)角線(xiàn)AC和3。相交于點(diǎn)O,如果AC = 12,3D = 10, AB = m ,那么m的取值范圍是（）AI < m < 11 B 2 < m < 22 clO < m < 12 d5 < / < 6解：將線(xiàn)段。3沿QC方向平移，使得。4 =。E，。=4£,則有四邊形。8七為平行四邊形，.,在以（7萬(wàn)中, AC = 12,C石=BD = 10,AE = 2AB = 2m12 -10 < 2w < 12 + 10,即 2 << 22 解得 1 < /?/ < 11