中考數(shù)學(xué)試題研究含參二次函數(shù)題庫

1、類型一函數(shù)類型確定型含參二次函數(shù)2 一1 .已知拋物線 y=3ax+2bx+c.(1)若a=3k, b=5k, c=k+1,試說明此類函數(shù)圖象都具有的性質(zhì)；(2)若a=；, c=2+b,且拋物線在一2W x<2區(qū)間上的最小值是一3,求b的值； 3(3)若a+b+c= 1,是否存在實(shí)數(shù)x,使得相應(yīng)的y值為1,請說明理由.解：(1)a=3k, b= 5k, c=k+1,，拋物線 y= 3ax2 + 2bx+c 可化為 y= 9kx2+10kx+k+1 = (9x2+10x+1) k+1,.令 9x2+10x+1 = 0,解得 x1= 1 , x2= :,9圖象必過點(diǎn)(一1, 1), (1 1

2、), 9，對稱軸為直線 x=- 2109k=-9；1(2) , a= 3, c= 2+ b,，拋物線 y= 3ax2 + 2bx+c可化為 y=x2+ 2bx+ 2+ b,2b，對稱軸為直線x=一萬=b,當(dāng)一b> 2 時(shí)，即 bv 2,1 .x=2時(shí)，y取到最小值為3.4+4b+2+b= 3,解得b= 5(不符合題意，舍去)，當(dāng)一bv 2時(shí)即b>2,，x=2時(shí)，y取到最小值為3.3, 24 (2+ b) 4b4.44b+2+b= 3,解得 b=3;當(dāng)一2V b< 2時(shí)，即一2V bv 2,當(dāng)x= b時(shí)，y取到最小值為一 =-3,解得匹="2反(不符合題意，舍去)，b

3、2=1-221,綜上所述，b = 3或-2 ；(3)存在.理由如下：丁 a+ b+c=1,2 c 1 = a b>令 y = 1,貝U 3ax2 + 2bx+c= 1.A =4b24(3a)( c-1) =4b2+4(3a)( a+b) = 9a2+12ab+4b2+3a2= (3a+2b)2+3a： . aw0,3 .(3 a+ 2b)2+3a2>0,A >0,，必存在實(shí)數(shù)x,使得相應(yīng)的y值為1.2.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別相交于 A( -3, 0)、R0 , 3)兩點(diǎn)，二次函數(shù) y=x2+ m奸n的圖象經(jīng)過點(diǎn) A14(1)求一次函數(shù)

4、y= kx+ b的表達(dá)式；(2)若二次函數(shù)y = x2+m奸n的圖象頂點(diǎn)在直線 AB上，求m n的值；(3)設(shè)m= 2,當(dāng)一3wxwo時(shí)，求二次函數(shù) y = x2+m刈n的最小值； 若當(dāng)一3w x<0時(shí)，二次函數(shù)y = x2+m刈n的最小值為一4,求m, n的值.解：將點(diǎn) 代3, 0), B(0, 3)代入y=kx+b得-3k+ b=0b= 3k= 一 1,解得,b= - 3，一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式為y= x 3；(2)二次函數(shù)y= x2 + m奸n的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一m,24n-m4九頂點(diǎn)在直線AB上，4n m m=2-3,又二次函數(shù) y= x2+m奸n的圖象經(jīng)過點(diǎn) A( -3,

5、 0),1- 9 3m+ n= 0,4n rm m a =3組成方程組為42,、9 3m n = 0m= 4 m= 6解得 或i ;n= 3 n= 9當(dāng)m= 2時(shí)，由(2)得9-3m+ n=0,解得n=- 15,y= x2-2x- 15.二次函數(shù)對稱軸為直線 x=1,在一3< x<0右側(cè),當(dāng)x=0時(shí)，y取得最小值是15.;二次函數(shù)y= x2+m肝n的圖象經(jīng)過點(diǎn) A,9- 3m+ n= 0,二次函數(shù)y = x2+ m刈n的對稱軸為直線 x= - 2;i)如解圖，m當(dāng)對稱軸一3v 2V0時(shí)，最小值為4n m4立i.9- 3m+ n= 0m= 2解得n = - 3m= 10m或I由-3&

6、lt;-2<0知不符合題意舍去)m= 2n= 3ii)如解圖，當(dāng)對稱軸一2> 0時(shí)，,一 3w xw0, .當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值為一4,把(0 , 4)代入 y=x2+m刈 n,得 n=4,把 n = 4 代入 9 3m n= 0,得 m= 5.3mK 0,，此種情況不成立;iii) 當(dāng)對稱軸一mm=。時(shí)，y = x2+m奸n當(dāng)x=0時(shí)，取得最小值為一 4, 把(0 , 4)代入 y= x2+ m刈 n 得 n = - 4,把 n = - 4 代入 9 3m n= 0,得 m= 5.3m2=0m= 0,，此種情況不成立；iiii) 當(dāng)對稱軸一m< 3時(shí)，一 3W xW0,

7、.當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值一4, /當(dāng)x =-3時(shí)，y=0,不成立.綜上所述，mi= 2, n= - 3.第2題解圖3.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yi=x2+2(k2)x+k24k+ 5.(1)求證：該二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸僅有一個(gè)交點(diǎn)；(2)若函數(shù)y2= kx+3經(jīng)過yi圖象的頂點(diǎn)，求函數(shù) yi的表達(dá)式；(3)當(dāng)1WxW3時(shí)，二次函數(shù)的最小值是 2,求k的值. 證明：b2- 4ac= 4( k- 2) 2-4( k2- 4k+ 5) = - 4<0, .函數(shù)圖象與 x 軸沒有交點(diǎn)，當(dāng) x = 0 時(shí)，yi=k2-4k+5=(k-2)2+1>0,，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸僅有一個(gè)交點(diǎn)；2(

8、2)解：yi= (x + k2) +1,函數(shù)yi的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2k, 1),代入函數(shù)y2=kx+3得(2-k) k+3=1,解得 k= 1 + V3或 k= 1 y3,y1 = x2 + 2(1) x+ 5- 25或 y1 =x2- 2(班+ 1) x+ 5+ 2，3;(3)解：當(dāng)對稱軸x =白=2 kwi時(shí)，k> 1,2a當(dāng)x=1時(shí)，y1取得最小值2,即 1+2(k2) + k2 4k+5=2,解得 k=0(舍去)或 k=2；當(dāng)對稱軸1<2 k<3時(shí)，1<k<1,當(dāng)x = 2k時(shí)，最小值恒為1,無解；當(dāng)對稱軸x=2k>3時(shí)，k<- 1,當(dāng)x = 3時(shí)

9、，yi取得最小值2,即 9 + 6(k2) + k2 4k+5=2,化簡得 k2+2k=0,解得 k=0(舍去)或 k= 2.綜上所述，k的值為2或2.4.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(aw0)的圖象經(jīng)過 A(1 , 1)、B (2 , 4)和C三點(diǎn).(1)用含a的代數(shù)式分別表示 b、c;(2)設(shè)拋物線y=ax2+bx+ c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(p, q),用含a的代數(shù)式分別表示 p、q；, 一一 3 當(dāng)a>0時(shí)，求證：p<2, q< 1.(1)解：二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(1 , 1)、B(2 , 4)兩點(diǎn)，1 = a+ b+ c二4 = 4a+ 2b+ c

10、'化解得3=3a+b,b= 3 3a, - 1 = a+ 3 3a+ c,c= 2a - 2；(2)解：由(1)得 b=3 3a, c=2a-2, b 3a-3-p=_2a=_20"4a (2a 2) (3 3a) a + 10a 94a4a(3)證明：3 一分< °，3a-3 p= W3 g 32 2a< 2；(a 3)4a2-<0,a2+6a9 4a 4a+ 4a一(a 3)4a2-+1<1.a>0,5.已知拋物線y1=ax2 + bx+c(aw°, awc)過點(diǎn)A(1 , 0),頂點(diǎn)為B,且拋物線不經(jīng)過第三象限.(1)用

11、含a、c的代數(shù)式表示b；(2)判斷點(diǎn)B所在象限，并說明理由;(3)若直線y2=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B,且與該拋物線交于另一點(diǎn)C(c, b+8),求當(dāng)x>l時(shí)，y1的a取值范圍.解：(1) ,拋物線 y1= ax2+bx+c(aw°, awc)經(jīng)過點(diǎn) A(1 , 0),把點(diǎn)A(1 , 0)代入即可得到 a+b+c= 0,即b= ac；(2)點(diǎn)B在第四象限.理由如下：;拋物線 y1=ax2+bx+ c(a*0, ac)過點(diǎn) A(1, 0),，拋物線y1與x軸至少有1個(gè)交點(diǎn)，令ax2+bx+c=0,cXi . X2 = -, a1- xi = 1, X2=1.- aw c,a，拋物線與x軸

12、有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又二.拋物線不經(jīng)過第三象限，.a>0,且頂點(diǎn)B在第四象限；(3)點(diǎn)ac, b+ 8)在拋物線上，a令 b + 8=0,得 b=- 8,由(1)得 a+ c= b, a+ c= 8,把B( 一4acb )、C(c, b+8)兩點(diǎn)代入直線解析式得 2a4aa4ac b24a=2x (- ?) + m2ab+ 8=2x c+m aa+ c= 8r a= 2r a= 4b= - 8b = 8解得 或 (awc,舍去),c= 6c= 4m= - 6m= - 2如解圖所示，C在A的右側(cè),當(dāng) x>l 時(shí),第5題解圖6.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)yi = ax2+2ax+ 3

13、(aw0).(1)若函數(shù)yi的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一1, 4),求函數(shù)yi的表達(dá)式；(2)若一次函數(shù)y2=bx+a(bw0)的圖象經(jīng)過y1圖象的頂點(diǎn)，探究實(shí)數(shù)a, b滿足的關(guān)系式;(3)已知點(diǎn)R1 , m和Qx。，n)在函數(shù)y1的圖象上，若 m> n,求xo的取值范圍.解：(1) .二次函數(shù) y1 = ax2+2ax+ 3的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一1, 4), 4= a 2a+ 3) a= 1 1,，函數(shù)y1的表達(dá)式為y1=x22x+3；(2) -. y1=ax2 + 2ax+3=a(x+1)2 + 3-a,，y1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1, 3-a).:一次函數(shù)y2=bx+ a(bw。)的圖象經(jīng)過yi圖象的

14、頂點(diǎn),3 a= b+ a,實(shí)數(shù)a、b滿足的關(guān)系式為b=2a3；,二次函數(shù) y= ax2 + 2ax+3的圖象的對稱軸為直線x = - fa= 1,，當(dāng)m= n時(shí)，xo =2 a-3.當(dāng)a>0時(shí)，如解圖所示,第6題解圖1.- m> n, 3V xo< 1;當(dāng)a<0時(shí)，如解圖所示，m>0,xov 3 或 xo> 1.綜上所述：(a>0)(a< 0)3 V xov 1xo的取值范圍為xoV 3 或 xo> 1類型二函數(shù)類型不確定型1 .已知函數(shù) y=(n+1)xm+ mx+1 - n(m, n 為實(shí)數(shù)). 當(dāng)簿n取何值時(shí)，此函數(shù)是我們學(xué)過的哪一類

15、函數(shù)？它一定與x軸有交點(diǎn)嗎？請判斷并說明理由；(2)若它是一個(gè)二次函數(shù)，假設(shè) n> 1,那么：當(dāng)xvo時(shí)，y隨x的增大而減小，請判斷這個(gè)命題的真假并說明理由；它一定經(jīng)過哪個(gè)點(diǎn)？請說明理由.解：(1)當(dāng) mp 1, nw2 時(shí)，函數(shù)y=(n+1)xm+ mx+ 1 -n( m n為實(shí)數(shù))是一次函數(shù)，它一定與 x軸有一個(gè)交點(diǎn)，.當(dāng) y=0 時(shí)，(n+i)xm+ mx+ 1 - n=0 n- 1X-n+2'，函數(shù)y=(n+1)xm+ m奸1- n(m n為實(shí)數(shù))與x軸有交點(diǎn)；當(dāng)mp2, nw1時(shí)，函數(shù)y=(n+1)xm+ m奸1 n(E n為實(shí)數(shù))是二次函數(shù),當(dāng) y = 0 時(shí)，(n+

16、 1)xm+ m刈 1 - n= 0即(n+1)x2+2x+1 n=0a =22-4(n+ 1)(1 -n)= 4n2>0,，函數(shù)y=(n+1)xm+ m奸1 - n( m n為實(shí)數(shù))與x軸有交點(diǎn);mn 1當(dāng)n= - 1, O時(shí)，函數(shù)y=( n+ 1)x + m奸1 -n是一次函數(shù)，當(dāng)y=O時(shí)，x=m，函數(shù)y= ( n+1) xm+ m肝1 - n( m n為實(shí)數(shù))與x軸有交點(diǎn);(2)假命題，若它是一個(gè)二次函數(shù)，則 m= 2,函數(shù) y= (n+1)x2+2x+1 n,1 .- n>- 1, n+ 1 >0,拋物線開口向上，b21對稱軸：x=泊=-2 (n+1)=一<3對

17、稱軸在y軸左側(cè)，當(dāng)x<0時(shí)，y可能隨x的增大而增大，也可能隨 x的增大而減 小，故為假命題；它一定過點(diǎn)(1, 4)和(一1, 0),理由如下：當(dāng) x = 1 時(shí)，y = n+1 + 2+1 n=4.當(dāng) x = 1 時(shí)，y= 0.，它一定經(jīng)過點(diǎn)(1, 4)和(一1, 0).2 .設(shè)函數(shù) y= kx2+(2 k+1)x+1(k 為實(shí)數(shù)).(1)寫出其中的兩個(gè)特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并且在同一坐標(biāo)系中，用描點(diǎn)法畫出它們的圖象；(2)根據(jù)所畫圖象，猜想出：對任意實(shí)數(shù)k,函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；(3)對于任意負(fù)實(shí)數(shù)k,當(dāng)xvm時(shí)，y隨x的增大而增大，試求 m的取值范圍.解：

18、(1)令k=0, k=1,則這兩個(gè)函數(shù)為 y = x+1, y = x2 + 3x+1,描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象如解 圖所示；第2題解圖(2)不論k取何值，函數(shù) y=kx2+(2k+ 1)x+1的圖象必過定點(diǎn)(0,1), ( 2, 1), 且與x軸至少有1個(gè)交點(diǎn).證明：.當(dāng) x=0 時(shí)，y=1;當(dāng) x=2 時(shí)，y=- 1.，函數(shù)圖象必過(0 , 1) , ( -2, 1);當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)， y=x+1的圖象是一條直線，且與 x軸有一個(gè)交當(dāng)kwo時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，y=kx2+(2k+ 1)x+1的圖象是一條拋物線.A =(2k+1)24X kx 1 = 4k2+4k+1 4k=4k2+1

19、>0,，拋物線y= kx2+(2 k+1)x+1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).綜上所述，函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+1(k為實(shí)數(shù))與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)；. k<0,，函數(shù)y= kx2+(2k+1)x+1的圖象在對稱軸直線 x= 2匕1的左側(cè)時(shí)，y隨x的增大2k而增大.2k+ 1根據(jù)題意，得忤2k而當(dāng) ko 時(shí)，22F=-i-21->-1, 2 k2 k m 1.3 .已知函數(shù) y= kx2+ (4- 3k) x-4. 3(1)求證：無論k為何值，函數(shù)圖象與 x軸總有交點(diǎn)；(2)當(dāng)kwo時(shí)，A( n- 3, n 7)、B( -n+ 1, n7)是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn).求拋物線的表達(dá)式；

20、求n的值.(1)證明：當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，即y = 4x-4,與x軸交于點(diǎn)(3 , 0);3當(dāng)kwo時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)， A =(4-3k)2-4kX(- 4) = (3 k + 4)2>0, 33，函數(shù)與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)；綜上可知，無論k為何值，函數(shù)圖象與 x軸總有交點(diǎn)；(2)解：當(dāng)kwo時(shí)，函數(shù)y = kx2+(4 3k)x4為二次函數(shù)， 3- A( n 3, n 7)、B( n+ 1, n 7)是拋物線上的兩個(gè)不同點(diǎn),n 3 n+ 1，拋物線的對稱軸為直線x = - 1,43-3k2k = 1，拋物線的表達(dá)式為;(n3, n 7)是拋物線y=;4x2+;8x4上的點(diǎn),1

21、515428-n-7=(n-3) +15(n-3)-4.一 19解得n1=T，n2= 3.4.已知y關(guān)于x的函數(shù)y= (k1) x22kx+k+2的圖象與x軸有交點(diǎn).(1)求k的取值范圍；(2)若xi, x2是函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿足(k1)x2+2kx2+k+2= 4xix2.求k的值；當(dāng)k< x< k+ 2時(shí)，請結(jié)合函數(shù)圖象確定y的最大值和最小值.解：(1)當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)y=-2x+3,其圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)kwi時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)，令 y = 0 彳#(k- 1)x2-2kx + k+2= 0.A =(-2k)2-4( k- 1)( k + 2)>0,解得 kW2.即 k<2 且 kw1.綜上所述，k的取值范圍是k<2.(2) x1Wx2,由(1)知k<2且kw1,函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，2，由題意得(k-1)x1 + (k + 2) =2kx<D,將代入(k1)