裂項相消與放縮法解數列專題(共18頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上數列專題3一、裂項求和法裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：通項為分式結構，分母為兩項相乘，型如：， 是的等差數列。常用裂項形式有： ；特別地：二、用放縮法證明數列中的不等式將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的方法，叫放縮法。1.常見的數列不等式大多與數列求和或求積有關，其基本結構形式有如下4種：（為常數）；（為常數）.放縮目標模型可求和（積）等差模型、等比模型、裂項相消模型2.幾種常見的放縮方法 （1）添加或舍去一些項，如：；（2）將分子或分母放大（或縮小） ； （程度大）（程度小）

2、或平方型：；立方型：指數型： ；利用基本不等式，如：（一）放縮目標模型可求和等比數列或等差數列例如：（1）求證：.（2）求證：.（3）求證：.總結：放縮法證明與數列求和有關的不等式，若可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和的，一般要先將通項放縮后再求和. 問題是將通項放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的才行呢？其實，能求和的常見數列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、錯位相減模型、裂項相消模型等. 實際問題中，大多是等比模型或裂項相消模型. （1）先求和再放縮例1.設各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，滿足4Snan124n1，nN*，且a2，a5，a14構成等比數列(1)證明：；

3、(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數n，有.（2）先放縮再求和例如：求證：. 例如：函數，求證：.例2.設數列an的前n項和為Sn，滿足，且a1，a2+5，a3成等差數列（1）求a1的值；（2）求數列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數n，有總結：一般地，形如或（這里）的數列，在證明（為常數）時都可以提取出利用指數函數的單調性將其放縮為等比模型.練習：1.設數列滿足，數列的前項和為.（1）求數列的通項公式；（2）求證：當時，；（3）試探究：當時，是否有？說明理由.（3）形如例如：設，求證：.根據所證不等式的結構特征來選取所需要的不等式，不等式關系：注：應注意把握放縮的“度”

4、：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放縮成，則得，就放過“度”了。總結：形如的數列不等式證明：設和分別為數列和的前項和，若，利用不等式的“同向可加性”這一基本性質，則有.要證明不等式，如果記看作是數列的前項和，則，那么只要證其通項滿足即可.（二）放縮目標模型可求積放縮法證明與數列求積有關的不等式，方法與上面求和相類似，只不過放縮后的是可求積的模型，能求積的常見的數列模型是（分式型），累乘后約簡為.姐妹不等式：和記憶口訣：“小者小，大者大”，（解釋：看，若小，則不等號是小于號，反之）。例如：求證：.例如：求證：?？偨Y：形如的數列不等式證明：設和分別為數列和的前項積，若，利用不等式的“正數同向

5、可乘性”這一基本性質，則有.要證明不等式，如果記看作是數列的前項積，則，那么只要證其通項滿足即可.例3.已知數列滿足，.（1）求證：是等差數列，并求出的通項；（2）證明：對于，.（二）添加或舍去一些正項（或負項）若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。例如：已知，求證：.例4.已知數列的各項為正數，其前n項和.（I）求之間的關系式，并求的通項公式；（II）求證例5.已知數列：滿足：，記.(I)求證：數列是等比數列；(II)若對任意恒成立，求t的取

6、值范圍；(III)證明:. （三）固定一部分項，放縮另外的項例6.設數列an的前n項和為Sn.已知a11，nN*.（1）求a2的值；（2）求數列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數n，有.練習：2.設，則的整數部分是（ ）A.17 B.18 C.19 D.203.已知是各項都為正數的數列，為其前n項和，且， .（I）求數列的通項；（II）求證：.數列專題3一、裂項求和法裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：通項為分式結構，分母為兩項相乘，型如：， 是的等差數列。常用裂項形式有： ；特別地：二、用放縮法證明數列中的

7、不等式將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的方法，叫放縮法。1.常見的數列不等式大多與數列求和或求積有關，其基本結構形式有如下4種：（為常數）；（為常數）.放縮目標模型可求和（積）等差模型、等比模型、裂項相消模型2.幾種常見的放縮方法 （1）添加或舍去一些項，如：；（2）將分子或分母放大（或縮小） ； （程度大）（程度?。┗蚱椒叫停?；立方型：指數型： ；利用基本不等式，如：（一）放縮目標模型可求和等比數列或等差數列例如：（1）求證：.分析：不等式左邊可用等比數列前項和公式求和。解析：左邊=表面是證數列不等式，實質是數列求和。（2）求證：.分析：左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求和，將通項

8、放縮為等比數列。解析：，左邊（3）求證：.分析：注意到，將通項放縮為錯位相減模型。解析：，左邊總結：放縮法證明與數列求和有關的不等式，若可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和的，一般要先將通項放縮后再求和. 問題是將通項放縮為可以求和且“不大不小”的什么樣的才行呢？其實，能求和的常見數列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、錯位相減模型、裂項相消模型等. 實際問題中，大多是等比模型或裂項相消模型. （1）先求和再放縮例1.設各項均為正數的數列an的前n項和為Sn，滿足4Snan124n1，nN*，且a2，a5，a14構成等比數列(1)證明：；(2)求數列an的通項公式；(3)證明：對一切正

9、整數n，有.解析： (1)當n1時，4a1a225，a224a15.an0，.(2)當n2時，4Sn1an24(n1)1，；4Snan124n1，由，得4an4Sn4Sn1an12an24，an12an24an4(an2)2.an0，an1an2，當n2時，an是公差d2的等差數列a2，a5，a14構成等比數列，a52a2·a14，(a26)2a2·(a224)，解得a23.由(1)可知，4a1a2254，a11.a2a1312，an是首項a11，公差d2的等差數列數列an的通項公式為an2n1.(3).總結：（3）問左邊可用裂項相消法求和，先求和再放縮，表面是證數列不等式

10、，實質是數列求和。（2）先放縮再求和例如：求證：. 分析：左邊不能求和，應先將通項放縮為裂項相消模型后求和，保留第一項，從第二項開始放縮。解析：左邊當時，不等式顯然也成立.例如：函數，求證：.分析：此題不等式左邊不易求和，此時根據不等式右邊特征，先將分子變?yōu)槌?，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和.若分子，分母如果同時存在變量時，要設法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。例2.設數列an的前n項和為Sn，滿足，且a1，a2+5，a3成等差數列（1）求a1的值；（2）求數列an的通項公

11、式；（3）證明：對一切正整數n，有解：（1）在2Sn=an+12n+1+1中，令n=1得：2S1=a222+1，令n=2得：2S2=a323+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13，又2（a2+5）=a1+a3，解得a1=1（2）由2Sn=an+12n+1+1，得an+2=3an+1+2n+1，又a1=1，a2=5也滿足a2=3a1+21，所以an+1=3an+2n對nN*成立，an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，an=3n2n；（3）分析：（3）左邊不能直接求和，考慮將通項放縮后求和。利用指數函數的單調性放縮為等比模型。（法二）an=3

12、n2n=（32）（3n1+3n2×2+3n3×22+2n1）3n1，+1+=；（法三）an+1=3n+12n+12×3n2n+1=2an，當n2時，累乘得：，+1+×+×總結：一般地，形如或（這里）的數列，在證明（為常數）時都可以提取出利用指數函數的單調性將其放縮為等比模型.練習：1.設數列滿足，數列的前項和為.（1）求數列的通項公式；（2）求證：當時，；（3）試探究：當時，是否有？說明理由.（3）形如例如：設，求證：.根據所證不等式的結構特征來選取所需要的不等式，不等式關系：注：應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放

13、縮成，則得，就放過“度”了?？偨Y：形如的數列不等式證明：設和分別為數列和的前項和，若，利用不等式的“同向可加性”這一基本性質，則有.要證明不等式，如果記看作是數列的前項和，則，那么只要證其通項滿足即可.（二）放縮目標模型可求積放縮法證明與數列求積有關的不等式，方法與上面求和相類似，只不過放縮后的是可求積的模型，能求積的常見的數列模型是（分式型），累乘后約簡為.姐妹不等式：和記憶口訣：“小者小，大者大”，（解釋：看，若小，則不等號是小于號，反之）。例如：求證：.例如：求證：。總結：形如的數列不等式證明：設和分別為數列和的前項積，若，利用不等式的“正數同向可乘性”這一基本性質，則有.要證明不等式，

14、如果記看作是數列的前項積，則，那么只要證其通項滿足即可.例3.已知數列滿足，.（1）求證：是等差數列，并求出的通項；（2）證明：對于，.（二）添加或舍去一些正項（或負項）若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。例如：已知，求證：.本題在放縮時舍去了，從而使和式得到了化簡。例4.已知數列的各項為正數，其前n項和.（I）求之間的關系式，并求的通項公式；（II）求證例5.已知數列：滿足：，記.(I)求證：數列是等比數列；(II)若對任意恒成立，求t的取

15、值范圍；(III)證明:.解：（）證明：由得 即，且數列是首項為，公比為的等比數列（）由()可知 由得，易得是關于的減函數 ， （） 得證（三）固定一部分項，放縮另外的項例6.設數列an的前n項和為Sn.已知a11，nN*.（1）求a2的值；（2）求數列an的通項公式；（3）證明：對一切正整數n，有.解：(1)依題意，2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)當n2時，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即.又，故數列是首項為，公差為1的等差數列，所以1(n1)×1n.所以ann2.(3)當n1時，；當n2時，；當n3時，此時