第一部分共形映射的概念教學(xué)ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 共形映射的概念共形映射的概念一、兩曲線的夾角一、兩曲線的夾角二、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、共形映射的概念三、共形映射的概念四、小結(jié)與思索四、小結(jié)與思索一、兩曲線的夾角)(, )( ttzz正向正向: t : t 增大時(shí)增大時(shí), , 點(diǎn)點(diǎn) z z 挪動(dòng)的方向挪動(dòng)的方向. .假設(shè)規(guī)定假設(shè)規(guī)定: : tpp正正向向?qū)?duì)應(yīng)應(yīng)于于割割線線0pp0 , 那么那么增大的方向增大的方向. )()( 00同同向向與與ttzttz 平面內(nèi)的有向延續(xù)曲線平面內(nèi)的有向延續(xù)曲線C C可表示為可表示為: :zyx0C.0pp)(0tz)(0ttz )()()(lim0000tztt

2、zttzt 當(dāng)當(dāng) p p, 0時(shí)時(shí)ppp0處切線處切線上上 0pC, 0)( 00 ttz如如果果的的向向量量那那么么表表示示)(0tz ).( 0tzzC 相相切切于于點(diǎn)點(diǎn)與與方向與方向與 C 一致一致.C.0pp)(0tz)(0ttz )(0tz yx0C沿沿000)()(zCztz上上點(diǎn)點(diǎn)為為起起點(diǎn)點(diǎn)為為的的方方向向若若規(guī)規(guī)定定 處切線的正向處切線的正向, 那么有那么有x 軸正向之間的夾角軸正向之間的夾角.處處的的切切線線的的正正向向與與上上點(diǎn)點(diǎn)就就是是00)( Arg. 1zCtz C.0zyx0)(0tz )(Arg0tz 2C1C正向之間正向之間與與相交于一點(diǎn)的兩條曲線相交于一點(diǎn)的

3、兩條曲線21 . 2CC之間的夾角之間的夾角. .)(Arg)(Arg0102tztz .0z),(:11tzzC ; )(:22tzzC ).()(02010tztzz 向向在交點(diǎn)處的兩條切線正在交點(diǎn)處的兩條切線正與與就是就是的夾角的夾角21 ,CC二、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的的幾幾何何意意義義 )( Arg.10zf : , :0參參數(shù)數(shù)方方程程的的有有向向光光滑滑曲曲線線平平面面內(nèi)內(nèi)過(guò)過(guò) zzC);(, )( ttzz正向正向: t : t 增大的方向增大的方向; ;, )( 00tzz 且且.,0)(0 ztzC0z.yx0)(z ,)(內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)Dzfw )(0tz

4、 . 0)(,00 zfDz且且, 的有向光滑曲線的有向光滑曲線其參數(shù)方程為其參數(shù)方程為,)( ztzfw正向正向: t : t 增大的方向增大的方向. .)( )( 00zfwwCzfw 平面內(nèi)過(guò)平面內(nèi)過(guò)映射成映射成將將映射映射C0z.yx0)(z)(0tz yx0)(w0w. )(zfw )()( ttzfw因因?yàn)闉?)()(0tttwtw 所所以以, 0 ) (0處切線存在處切線存在上點(diǎn)上點(diǎn)即即w )(Arg)(Arg)(Arg000tztwzf )(Arg)(Arg)(Arg000tzzftw 或或處切線的傾角處切線的傾角在在0w 處切線的傾角處切線的傾角在在0zC的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)角角映映

5、射射后后在在經(jīng)經(jīng)曲曲線線定定義義為為0)(:zzfwC )()(00tzzf 2 1 1C闡明闡明: 轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線轉(zhuǎn)動(dòng)角的大小與方向跟曲線C的外形無(wú)關(guān)的外形無(wú)關(guān).映射映射 w=f(z) 具有轉(zhuǎn)動(dòng)角的不變性具有轉(zhuǎn)動(dòng)角的不變性. .0w 映射映射經(jīng)經(jīng))(zfw 1C1 )(Arg)(Arg)(Arg01010tztwzf 2C2 2C0z.)(Arg)(Arg)(Arg02020tztwzf 那么有那么有)(Arg)(Arg)(Arg)(Arg02020101tztwtztw 的的夾夾角角在在與與 021w 的夾角的夾角在在與與 021zCC結(jié)論結(jié)論:)(zfw 的夾角在其大小和方向上

6、都等同于經(jīng)過(guò)的夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過(guò). 2121之之間間的的夾夾角角與與對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線與與映映射射后后跟跟 CC方向不變的性質(zhì)方向不變的性質(zhì), 此性質(zhì)稱為保角性此性質(zhì)稱為保角性. 的的大大小小和和具具有有保保持持兩兩曲曲線線間間夾夾角角映映射射 )( zfw 之之間間與與的的任任意意兩兩條條曲曲線線相相交交于于點(diǎn)點(diǎn)210 CCz 的的幾幾何何意意義義)( . 20zf 000)()(lim)(0zzzfzfzfzz 因因?yàn)闉?0 irezz 令令 Cyx0)(wyx0)(zs R)(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.,lim000zzwwzz .0 ieww 0

7、000)()(zzzfzfzzww iiree s )(0zf所以所以.lim0szz )(0lim izzerss的的伸伸縮縮率率在在稱稱為為曲曲線線 0zC結(jié)論結(jié)論: 的的后通過(guò)點(diǎn)后通過(guò)點(diǎn)是經(jīng)過(guò)映射是經(jīng)過(guò)映射 )( )(00zzfwzf 的形狀及的形狀及它與曲線它與曲線的伸縮率的伸縮率在在的任何曲線的任何曲線CzC , 0方向無(wú)關(guān)方向無(wú)關(guān). 所以這種映射又具有伸縮率的不變性所以這種映射又具有伸縮率的不變性. ,)( iers綜上所述綜上所述, 有有具具有有兩兩個(gè)個(gè)性性在在那那末末映映射射且且0)(,0)(zzfwzf 質(zhì)質(zhì): (1) : (1) 保角性保角性; (2) ; (2) 伸縮率不

8、變性伸縮率不變性. .定理一定理一 , ,)(0內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)DzDzfw 三、共形映射的概念 定義定義是共形映射是共形映射在在是共形的，或稱是共形的，或稱在在變性，那末變性，那末具有保角性和伸縮率不具有保角性和伸縮率不在在的鄰域內(nèi)是解析的的鄰域內(nèi)是解析的在在設(shè)設(shè)0000)()(,)(zzfwzzfwzzzfw 闡明闡明:也稱為第一類共形映射也稱為第一類共形映射. , )( 具有伸縮率不變性具有伸縮率不變性如果映射如果映射zfw 但僅堅(jiān)持夾角的絕對(duì)值不變而方向相反但僅堅(jiān)持夾角的絕對(duì)值不變而方向相反, 那么稱之為第二類共形映射那么稱之為第二類共形映射.問(wèn)題問(wèn)

9、題: :關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的映射關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的映射zw 是第一類共形映射嗎是第一類共形映射嗎?答案答案: : 將將 z 平面與平面與 w 平面重合察看，平面重合察看，y(v)x(u)01 2 .z1C2C.z 夾角的絕對(duì)值一樣夾角的絕對(duì)值一樣而方向相反而方向相反. 否否.)()(wz 部部分分縮縮小??？哪哪一一平平面面的的哪哪一一部部分分放放大大？轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)角角，并并說(shuō)說(shuō)明明它它將將處處的的在在試試求求映映射射zizzzzfw212)(2 例例解解, 22)( zzf因因izzf21)(arg 轉(zhuǎn)動(dòng)角轉(zhuǎn)動(dòng)角,2 ,21處處故在故在iz izz21)22arg( )4arg( i )(zf 伸伸縮縮率率, 1)( zf當(dāng)當(dāng),)1(222yx )(iyxz ,21,1的的圓圓內(nèi)內(nèi)縮縮小小半半徑徑為為為為中中心心故故在在以以 z,41)1(22時(shí)時(shí)即即 yx反之放大反之放大.21,1的的圓圓外外放放大大半半徑徑為為為為中中心心以以 z,縮縮小小四、小結(jié)與思索 熟習(xí)