27.1.2垂直于弦的直徑(2)

1、垂徑定理垂徑定理 定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦, ,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧. .OABCDMCDAB,如圖如圖 CD是直徑是直徑,AM=BM, AC =BC, AD=BD.推論：平分弦推論：平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。所對的兩條弧。課堂討論課堂討論根據(jù)已知條件進行推導(dǎo)：根據(jù)已知條件進行推導(dǎo)：過圓心過圓心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所對優(yōu)弧平分弦所對優(yōu)弧 平分弦所對劣弧平分弦所對劣?。? 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并

2、且平分弦所 對的兩條弧。對的兩條弧。（3 3）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（2 2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分 弦所對的另一條弧。弦所對的另一條弧。三個命題三個命題命題一：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且命題一：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。平分弦所對的兩條弧。命題三：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分命題三：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。弦所對的兩條弧。命題二：平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，命題二：

3、平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。并且平分弦所對的另一條弧。.OAEBDC已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB。求證：求證：CD是直徑，是直徑， ADBD，ACBC已知：已知：CD是直徑，是直徑，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB。求證：求證：CDAB，ADBD，ACBC已知：已知：CD是直徑，是直徑，AB是弦，并且是弦，并且ADBD （ACBC）。）。求證：求證：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB 根據(jù)垂徑定理與推論可知：對于一個圓和一條直根據(jù)垂徑定理與推論可知：對于一個圓和一條直線來說，如果具備：線來說，如果具備： 那么

4、，由五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他那么，由五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論。三個結(jié)論。注意要點注意要點 經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的優(yōu)弧 平分弦所對的劣弧平分弦所對的劣弧1. 1. 平分已知弧平分已知弧 AB .AB .你會四等分弧你會四等分弧ABAB嗎嗎? ?AB601.在直徑是在直徑是20cm的的中，中， AOB的度數(shù)是的度數(shù)是，那么弦，那么弦AB的弦心距是的弦心距是. D A B O5 3cm O練習(xí)：練習(xí)：2.弓形的弦長為弓形的弦長為6cm，弓形的高為，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為則這弓形所在的圓的半

5、徑為. D C A B O134cm3cm3.已知：已知：P為為內(nèi)一點，且內(nèi)一點，且OP2cm，如果，如果的半徑是的半徑是那么過那么過P點的最短點的最短的弦等于的弦等于. E D C B A P O2 5cm O O已知：已知： O的半徑為的半徑為5 ,弦弦ABCD ， AB = 6 ，CD =8 .求：求： AB與與CD間的距離間的距離 ABCDP2.已知：如圖，在已知：如圖，在 O中，直徑中，直徑AB與弦與弦CD相交于相交于P， 且且APC=45,AP=5,PB=1 求求 CD的長的長EEDCBAO4.已知：如圖已知：如圖ABC的三個頂點都在的三個頂點都在 O 上，上，ADBC，E為為BC

6、的中點的中點 求證：求證：EAD=OAEABCEF3.已知：如圖，已知：如圖， O中中AB和和AC的中點分別的中點分別是點是點F和點和點E,EF分別交分別交AC和和AB于于P,Q兩點，兩點，判斷判斷APQ是什么三角形？是什么三角形？PQO 趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為米，拱高（弧的中點到弦的距離）為的弦的長）為米，拱高（弧的中點到弦的距離）為米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？問題？問題？OAB 例例1 1：趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對：趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）

7、為米，拱高（弧的中點到弦的距離）為米，的弦的長）為米，拱高（弧的中點到弦的距離）為米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？問題？問題？OABDCr 例例2 2 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧( (即圖中弧即圖中弧CD,CD,點點O O是弧是弧CDCD的圓心的圓心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E為弧為弧CDCD上的一點上的一點, ,且且OECDOECD垂足為垂足為F,EF=90m.F,EF=90m.求這段彎路的半徑求這段彎路的半徑. .n解解: :連接連接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm則設(shè)彎路的半徑為,

8、CDOE ).(3006002121mCDCF得根據(jù)勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解這個方程.545m這段彎路的半徑約為(1)(1)如圖如圖, ,已知已知O O的半徑為的半徑為 6 6 cmcm, ,弦弦 ABAB與半徑與半徑 OAOA的夾的夾角為角為 30 30 , ,求弦求弦 AB AB 的長的長. .OAOCABM(2)(2)如圖如圖, ,已知已知O O的半徑為的半徑為 6 6 cm cm, ,弦弦 ABAB與半徑與半徑 OCOC互相互相平分平分, ,交點為交點為 M M , , 求求 弦弦 AB AB 的長的長. .630EB（3 3）. .如圖，

9、有一圓弧形橋拱，拱形的半徑為如圖，有一圓弧形橋拱，拱形的半徑為1010米，橋拱的跨度米，橋拱的跨度AB=16AB=16米，則拱高為米，則拱高為 米。米。ABCD4O船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎? ?例例3.3.如圖如圖, ,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋, ,橋下水面寬為米橋下水面寬為米, ,拱頂高出拱頂高出水面米水面米. .現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3 3米、船艙頂部為長方形并高出水面米、船艙頂部為長方形并高出水面2 2米的貨船要經(jīng)過這里米的貨船要經(jīng)過這里, ,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？此貨船能順利通過這座拱橋嗎？船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎解解: :如圖如圖, ,用用 表示橋拱表示橋拱, , 所

10、在圓的圓心為所在圓的圓心為O,O,半徑為半徑為Rm,Rm,經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OD,DOD,D為垂足為垂足, ,與與 相交于點相交于點C.C.根根據(jù)垂徑定理據(jù)垂徑定理,D,D是是ABAB的中點的中點,C,C是是 的中點的中點,CD,CD就是拱高就是拱高. .由題設(shè)得由題設(shè)得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 （m）.在在RtONH中，由勾

11、股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此貨船能順利通過這座拱橋此貨船能順利通過這座拱橋.1.1.過過o o內(nèi)一點內(nèi)一點M M的最長的弦長為的最長的弦長為1010, ,最短弦長為最短弦長為8 8, ,那么那么o o的半徑是的半徑是2.2.已知已知o o的弦的弦AB=6AB=6, ,直徑直徑CD=10CD=10, ,且且ABCD,ABCD,那那么么C C到到ABAB的距離等于的距離等于3.3.已知已知O O的弦的弦AB=4AB=4, ,圓心圓心O O到到ABAB的中點的中點C C的距離為的距離為1 1, ,

12、那么那么O O的半徑為的半徑為4.4.如圖如圖, ,在在O O中弦中弦ABAC,ABAC,OMAB,ONAC,OMAB,ONAC,垂足分別為垂足分別為M,M,N,N,且且OM=2,0N=3,OM=2,0N=3,則則AB= ,AB= ,AC= ,OA=AC= ,OA=BAMCON51或或956413cm練習(xí)：練習(xí)：5.在在 中，、中，、AC為為互相垂直且相等互相垂直且相等的兩條的兩條弦，弦，于，于，于于求證：四邊形是正方形求證：四邊形是正方形1.1.在直徑為在直徑為650mm650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示所示. .若油面寬若油面寬AB = 600mmAB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. . BAOED 600CD 在直徑為在直徑為650mm650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面的的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面的油面寬油面寬