部編版2020七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)新幫手專題21從不同的方向看試題(新版)新人教版

1、21從不同的方向看閱讀與思考20世紀(jì)初，偉大的法國(guó)建筑家列柯爾伯齊曾說：“我想，到目前為止，我們從沒有生活在這樣的幾何時(shí)期，周圍的一切都是幾何學(xué).”生活中蘊(yùn)含著豐富的幾何圖形，圓的月亮，平的湖面，直的樹干，造型奇特的建筑，不斷移動(dòng)、反轉(zhuǎn)、放大縮小的電視畫面圖形有的是立體的，有的是平面的，立體圖形與平面圖形之間的聯(lián) 系，從以下方面得以體現(xiàn)：1 .立體圖形的展開與折疊；2 .從各個(gè)角度觀察立體圖形；3 .用平面去截立體圖形.觀察歸納、操作實(shí)驗(yàn)、展開想象、推理論證是探索圖形世界的基本方法.例題與求解【例1】如圖是一個(gè)正方體表面展開圖，如果正方體相對(duì)的面上標(biāo)注的值相等，那么x + y =13（四川省中

2、考試題）解題思路：展開與折疊是兩個(gè)步驟相反的過程，從折疊還原成正.方體入手.【例2】如圖，是.由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個(gè)幾何體所用的小立方塊的個(gè)數(shù)是（A. 5個(gè)主視圖B. 6個(gè)（四川省成都中考試題）解題思路：根據(jù)三視圖和幾何體的關(guān)系，分別確定該幾何體的列數(shù)和每一列的層數(shù).【例3】由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖如圖.（1）請(qǐng)你畫出這個(gè)幾何體的一種左視圖；（2）若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n ,求n的值.（貴州省貴陽市課改實(shí)驗(yàn)區(qū)中考試題）解題思路：本例可以在“腦子”中想象完成，也可以用實(shí)物擺一擺.從操作實(shí)驗(yàn)入手，從俯視 圖可推斷左視

3、圖只能有兩列，由主視圖分析出俯視圖每一列小正方形的塊數(shù)情況是解本例的關(guān)鍵， 而有序思考、分類討論，則可避免重復(fù)與遺漏.1 ,且這些正方體【例4】如圖是由若干個(gè)正方體形狀木塊堆成的，平放于桌面上.其中，上面正方體的下底面四 個(gè)頂點(diǎn)恰是下面相鄰正方體的上底面各邊的中點(diǎn)，如果最下面的正方體的棱長(zhǎng)為 露在外面的面積和超過 8,那么正方體的個(gè)數(shù)至少是多少？按此規(guī)律堆下去，這些正方體露在外面的面積和的最大值是多少?（江蘇省常州市中考試題）解題思路：所有正方體側(cè)面面積和再加上所有正方體上面露出的面積和，就是所求的面積.從 簡(jiǎn)單入手，歸納規(guī)律.【例5】把一個(gè)正方體分割成 49個(gè)小正方體（小正方體大小可以不等）

4、，請(qǐng)畫圖表示.（江城國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解題思路：本例 是一道圖形分割問題，解答本例需要較強(qiáng)的空間想象能力和推理論證能力，需 要把圖形性質(zhì)與計(jì)算恰當(dāng)結(jié)合.（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）【例6】建立模型 18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式.請(qǐng)你觀察下列幾種簡(jiǎn)單多面體模型，解答下列問 題.（1）根據(jù)上面的多面體模型，完成表格中的空格:多面體頂點(diǎn)數(shù)（V面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四向體44長(zhǎng)方體8612正八面體812正十二面體201230你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（切、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是.（2）一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8,且有30條棱，則這個(gè)多面

5、體的面數(shù)是.（3）某個(gè)玻璃飾品的外形是簡(jiǎn)單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成,且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有 3條棱.設(shè)該多面體外表面三角形的個(gè)數(shù)為x個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為y個(gè)，求x +y的值.解題思路：對(duì)于（1）,通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn) V, F, E之間的關(guān)系，并遷移應(yīng)用于解決（2）, （3）.模型應(yīng)用如圖，有一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長(zhǎng)都相等，求正五邊形、正六邊形個(gè)數(shù).（浙江省寧波市中考試題改編）能力訓(xùn)練A級(jí)1 .如圖是正方體的展開圖，則原正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字之和的最小值是（山東省荷澤市中考試題）第2題2 .由幾個(gè)相同的小

6、正方體搭成的幾何體的視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（湖北省武漢市中考試題）3、一個(gè)長(zhǎng)方體的左視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為（山東省煙臺(tái)市中考試題）4 .如圖，下列幾何體是由棱長(zhǎng)為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），則第n個(gè)幾何體中只有兩個(gè)面涂色的小立方體共有fl圖圖（山東省青島市中考試題）5 . 一個(gè)畫家有14個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方體，他在地面上把它們擺成如圖的形式，然后他把露出的表面都涂上顏色，那么被涂顏色的總面積為（2A. 19m2B. 41mC.233mD. 34m（山東省煙臺(tái)市中考試題）6. 一個(gè)幾何體由一些大

7、小相同的小正方體組成,如圖是它的主視圖和俯視 圖，那么組成該幾何體所需.小正方體的個(gè)數(shù)最少為（A. 3B. 4C.D. 6主視圖 俯視圖（河北省中考試題）7.從棱長(zhǎng)為2的正方體毛坯的一角，挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，得到一個(gè)如圖所示的零件則這個(gè)零件的表面積是（A. 20B. 22C. 24D. 26（河北省中考試題）8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計(jì)算方法.“牟合方蓋”是正面由兩個(gè)圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體.圖乙所示的幾何 體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是（2012年溫州市中考試題）9 . 5個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體組

8、成如圖的幾何體.,表面積是 （平方單位）（1）該幾何體的體積是 （立方單位）（2）畫出該幾何體的主視圖和左視圖.（廣州市中考試題）的平面圖形如圖所示，從上面看到10 .用同樣大小的正方體木塊搭建的幾何體，從正面看到的平面圖形如圖所示.（1）如果搭建的幾何體由 9個(gè)小正方體木塊構(gòu)成，試畫出從左面看這個(gè)幾何體所得到的所有可 能的平面圖形.（2）這樣的幾何體最多可由幾塊小正方體構(gòu)成？并在所用木塊最多的情況下，畫出從左面看到 的所有可能的平面圖形.（“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試.題）1 .如圖，是一個(gè)正方體表面展開圖，請(qǐng)?jiān)趫D中空格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使這個(gè)正方體相對(duì)兩個(gè)面上標(biāo)注的數(shù)值相等.（時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)試題

9、）2 .如圖是由一些大小相同的小正.方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主 ,視圖和俯視圖，若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為 n ,則n的所有可能的取值之和為.（江蘇省江陰市中考試題）3 .如圖是一個(gè)立方體的主視圖、左視圖和俯視圖，圖中單位為厘米，則立體圖形的體.積為立方厘米.左視圖金華羅庚金杯賽”試題）4.若干個(gè)正方體形狀的積木擺成如圖所示的塔形,平放于桌面上，上面正方體的下底四個(gè)頂.點(diǎn)是下面相鄰正方體的上底各邊中點(diǎn)，最下面的正方體棱長(zhǎng)為1,如果塔形露在外面的面積超過 7,則正方體的個(gè)數(shù)至少是（）A. 2B. 3C. 4D. 5（江蘇省常州市中考試題）5 .由若干個(gè)單位立方體組成一個(gè)較大的立方體，然后把

10、這個(gè)大立方體的某些面 涂上油漆，油漆干后，把大立方體拆開成單位立方體，發(fā)現(xiàn)有45個(gè)單位立方體上任何一面都沒有漆，那么大立方體被涂過油漆的面數(shù)是（A. 1B. 2C. 3D. 4新創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題）6.小明把棱長(zhǎng)為4的正方體分割成了29個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的小正方體，則其中棱長(zhǎng)為1的小正方體的個(gè)數(shù)是（A. 22B. 23C. 24D. 25（浙江省競(jìng)賽試題）如果你打算搬走其中部分小正7 .墻角處有若干大小相同的小正方體堆成如圖所示的立體圖形,方體（不考慮操作技術(shù)的限制），但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時(shí)，在墻面及地面上的影子不變，那么你最多可以搬走多少個(gè)小正方體？（江蘇省競(jìng)賽試題）8

11、 . 一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)、寬、高分別是a , b , c （a>b>c）厘米.如圖，將它展開成平面圖，那么這個(gè)平面圖的周長(zhǎng)最小是多少厘米？最大是多少厘米?（江蘇省競(jìng)賽試題）9 .王老師將底面半徑為 20厘米、高為35厘米的圓柱形容器中的果汁全部倒入如圖所示的杯子中，若杯口直徑為 20厘米，杯底直徑為 10厘米，杯高為12厘米，杯身長(zhǎng)13厘米，問果汁可以倒?jié)M多少杯?（世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽試題）10 .一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方體，它是由125個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體組成的.P為上底面ABCD勺中心，如果挖去（如圖）的陰影部分為四棱錐，剩下的部分還包括多少個(gè)完整的棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體?（深

12、圳市“啟智杯”數(shù)學(xué)思維能力競(jìng)賽試題）專題21從不同的方向看例 1 14 提示：2x=8, y=10, x+y=14.例2 D例3 (1)左視圖有以下5種情形：(2) n=8, 9, 10, 11.例4正方體個(gè)數(shù)至少為 4個(gè).正方體露在外面的面積和的最大值為9.提示：最下面正方體1個(gè)面的面積是1,側(cè)面露出的面積和是 4,每相鄰兩個(gè)正方體中上面的1個(gè)正方體每個(gè)面的面積都正好, 1 i 是其下面正萬體 1個(gè)面面積的2,所有正萬體側(cè)面面積之和加上所有正萬體的上面露出的面積和(正好是最下面正方體上底面的面積1)即是這些正方體露在外面的面積和.如：2個(gè)正方體露出的一 一 4 4 4面積和是4+ 2+1=7

13、, 3個(gè)正萬體露出的面積和是4 + - + 4+1 = 8, 4個(gè)正萬體露出的面積和是4+ ；7+7+%+1=8< 5個(gè)正方體露出的面積和是 4+- + - + -+ + 1 = 8-；, 6個(gè)正方體露出的面積2 4 822 4 8 164和是4 + ： + ;+? +1 = 8：, 故隨著小正方體木塊的增加，其外露的面積之和都不會(huì)2 4 8 16 328超過9.例5為方便起見，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為6個(gè)單位，首先不能切出棱長(zhǎng)為5的立方體，否則不可能分割成49個(gè)小正方體.設(shè)切出棱長(zhǎng)為1的正方體有a個(gè)，棱長(zhǎng)為2的正方體有b個(gè)，如果能切出1個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體,則有”，匕64=1216,解之得b=1

14、46.不合題意，所以切不出棱長(zhǎng)為4的正方體.a+b=4917設(shè)切出棱長(zhǎng)為1的正方體有a個(gè)，棱長(zhǎng)為2的正方體有b個(gè)，棱長(zhǎng)為3的正方體有c個(gè)，b=9, c= 4,a+8b+27c=216 在刀/曰“I，解得a=36,a+b+c=49故可分割棱長(zhǎng)分別為1, 2, 3的正方體各有36個(gè)，9個(gè)，4個(gè)，分法如圖所示例6(1)6 6V+ F E= 2 (2)20 (3)這個(gè)多面體的面數(shù)為 x+ y,棱數(shù)為24尸 =36條.根據(jù) V+ F- E= 2,可得 24+(x + y) 36 = 2, . .x + y=24.模型應(yīng)用設(shè)足球表面的正五邊形有x個(gè)，正六邊形有y個(gè)，總面數(shù)F為x+y個(gè).因?yàn)橐粭l棱連著兩個(gè)面

15、，1所以球表面的棱數(shù) E為2(5x+6y),又因?yàn)橐粋€(gè)頂點(diǎn)上有三條棱，一條棱上有兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)“，12 1數(shù) V= -(5 x+ 6y) - -= -(5 x + 6y). 23 3由歐拉公式 V+ F-E= 2 得(x + y)+1(5x+ 6y) 1x (5x+6y) = 2,解得 x=12. 32所以正五邊形只要12個(gè).又根據(jù)每個(gè)正五邊形周圍連著 5個(gè)正六邊形，每個(gè)正六邊形又連著3個(gè)正五邊形，所以六邊形個(gè)5x數(shù)刀=20,即需20個(gè)正六邊形.31. 6 2 . 5 3 . 8 4 . 4(2 n-1) 5. C 6 . B 7 . C 8 . B 9(1)5 22 (2)10.B級(jí)，、

16、-1 、一1 .上空格填-,下空格填2 2 .38 3 .2兀 4. B5 . D提示：設(shè)大立方體的棱長(zhǎng)為 n, n>3,若n=6,即使6個(gè)面都油漆過，未油漆的單位立方體也有43 = 64個(gè)>45,故n=4或5.除掉已漆的單位立方體后，剩下未漆的構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)其長(zhǎng)、寬、高分別為 a, b, c, abc= 45,只能是3X3X5=45,故n=5.6 . C提示：若分割出棱長(zhǎng)為3的正方體，則棱長(zhǎng)為 3的正方體只能有1個(gè)，余下的均是棱長(zhǎng)為 1的正方體，共37個(gè)不滿足要求.設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體有x個(gè)，棱長(zhǎng)為1的正方體有y個(gè)，則x + y=298x+ y=64x= 5 y=24,7 .有

17、不同的搬法.為保證“影子不變”，可依如下原則操作：在每一行和每一列中，除保留 一摞最高的不動(dòng)以外，該行（列）的其余各摞都搬成只剩最下面的一個(gè)小正方體.如圖所示，20個(gè)方格中的數(shù)字，表示5行6列共20摞中在搬完以后最終留下的正方體個(gè)數(shù).照這樣，各行可搬個(gè)數(shù)累計(jì)為27,即最多可搬走27個(gè)小正方體8.要使平面展開圖的周長(zhǎng)最小，剪開的七條棱長(zhǎng)就要盡量小，因此要先剪開四條高（因?yàn)閏最?。?再剪開一條長(zhǎng)a厘米的棱（否則，不能展開成平面圖）,最后再剪開兩條寬b厘米的棱（如圖中所表示的？這七條棱）.由此可得圖甲，這時(shí)最小周長(zhǎng)是cx 8+ bx4+ ax 2= 2a+4b+8c 厘米.圖甲要使平面展開圖的周長(zhǎng)最大，剪開的七條棱長(zhǎng)就要盡量大，因此要先剪開四條最長(zhǎng)的棱（長(zhǎng)a）,再剪開兩條次長(zhǎng)的棱（寬b）,最后剪開一條最短的棱（高c）,即得圖乙，這時(shí)最大周長(zhǎng)是aX8+bX4 + cX2= 8a+ 4b+ 2c 厘米.9 .如圖，由題意知 AB= 12, CD= 13, AC= 12, BD= 13,過點(diǎn)D作DE垂直于AB于點(diǎn)E,則DE= 12,于是 RtABD