線性代數行列式計算方法總結ppt課件

1、線代學習小組第線代學習小組第4 4組組例例1 計算四階行列式計算四階行列式 D=4532530121525325例例2 2 計算以下行列式計算以下行列式解：將第i+1i=1,2,n列的 倍加到第1列，得 = 0121112000000000niiniinnb cabbbaaDaaiica1201()niiniibca aa aa012111220000 ,0,1,2,00nninnabbbcaDcaainca 上三角行列式箭形例例3 計算計算n階行列式階行列式 解：這個行列式的特點是各列行的元素之和相等，故可將解：這個行列式的特點是各列行的元素之和相等，故可將各行加到第一行，提出公因子，再化為

2、上三角行列式。各行加到第一行，提出公因子，再化為上三角行列式。 nirri,.,2 , 11加 法xaaaxaaaxxaaaxaaax(1)(1)(1)xnaxnaxnaaxaaax 小提示小提示: : 在求矩陣特征值時假設特征多項式滿足上述行在求矩陣特征值時假設特征多項式滿足上述行列式列式 特征，亦可以運用以簡化運算。特征，亦可以運用以簡化運算。niarri,.,21 111(1)axaxnaaax111100(1)(1)()00nx axnaxna x ax a例例4 4 計算計算n n階行列式階行列式 , ,其中其中 解：由題意得 將第n-1行的-1倍加至第n行，第n-2行的-1倍加至第

3、n-1行，第1行的-1倍加至第2行，有 將第n列分別加到前邊的第 1,2，n-1列.0122110132210432340112310nnnnnnnDnnnnnn012n-2111111111111111111111nnDnijDa( ,1,2, )ijaij i jn逐行相減法 =12(1)2nnn(-1)112310222100221=0002100001nnnnn例例5 5 計算計算n n階行列式階行列式 解： 用加邊法，即構造n+1階行列式，使其按第一列行展開后，等于原行列式 123,1,.ninabbbbabbDbbabainbbbba121000nnbbbabbDbabbbba11

4、22,111100100100irrinnnbbbababab加 邊 法 = 11112110001000000niiiinnbbbbababccababab121()()()(1)nniibab ababab行列式展開定理行列式展開定理 定義2.5 在n階行列式 中劃掉元素 所在的第 行與第 列,剩下的元素按原來的相對位置陳列，構成的n-1階行列式稱為元素 的余子式，記作 ，稱 為元素 的代數余子式。定理2.4 設n階矩陣A= ， 那么A的行列式等于它的任一行列的個元素與其代數余子式的乘積之和，即 或 111212122212A =nnnnnnaaaaaaaaaijaijaijM( 1)ij

5、ijijAM ijaji()ijn na1122iiiiininAa Aa Aa A1122,1,2,.jjjjnjnjAaAaAa Ai jn例例6 6 計算計算n n階行列式階行列式 解：按第一行展開，得 等號兩端減 ，得這是一個關于 的遞推公式，反復運用遞推公式，得， 由于所以 = =n100000110000011000000011000001aaaaaaDaaa12(1),nnnDaDaD1nD111212(1)(1)()nnnnnnnDDaDDaDaDD1nnDD2212321(1) ()(1)()nnnnnDDaDDaDD22212111,(1)1aaDaaDa DDaa1nnDD(1)na221(1)()naDD遞推法即從而總結：當行列式元素陳列很有規(guī)律且維數與n有關是可以思索遞推法 1(1)nnnDDa1221(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnDaaaaaa 1(1)nnnDDa211(1)(1)2nnaaaa 2a =2a例7 求以下行列式的值 D= 解：無妨令 所以，原行列式可化為 14486520143512210004300021分塊三角形法1448501512432121DD，123456C1122DD= D= 12ODCD規(guī)律總結：當遇到如下方式的行列式時，簡記為 ， 這里的A,B必需為方陣。而tt1tt