人教B版必修52.1.1數(shù)列1學(xué)案含答案

1、人教B版高中數(shù)學(xué)必修5同步學(xué)案第二章數(shù)列§2.1 數(shù)歹U2. 1.1 數(shù)歹 U(一)自主學(xué)習(xí)a知識(shí)梳理1 .數(shù)列的概念按照一定 排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的2 .數(shù)列的一般形式數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成ai, a2, a3,，an,，簡(jiǎn)記為 ,其中 稱為數(shù)列an的第1項(xiàng)(或稱為), a2稱為第2項(xiàng)，稱為第n項(xiàng).3 .數(shù)列的分類(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以將數(shù)列分為兩類：有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù) 的數(shù)列；無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù) 的數(shù)列.(2)按照數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)變化的情況分類：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都 它的前一項(xiàng)的數(shù)列；遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都 它的前一項(xiàng)的數(shù)列；常數(shù)列：

2、各項(xiàng) 的數(shù)列；擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.4 .數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5 .數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的首項(xiàng)(或前n項(xiàng))及相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這 個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式.口自主探究1.數(shù)列1,2,3,4,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .1 1 1一 一一 .，、一2,數(shù)列1,", ",的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .2 3 43 .數(shù)列2,4,6,8,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .4 .數(shù)列1,3,5,7,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .5 .數(shù)列1,4,9,16

3、,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .6 .數(shù)列1,2,4,8,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .7 .數(shù)列1,1, 1,1,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .8 .數(shù)列1, 2,3, 4,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .9 .數(shù)列9,99,999,9 999,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .10 .數(shù)列0.9,0.99,0.999,0.999 9 ,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式【例1】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)1,7, 13,19,；(2)0.8,0.88,0.888 ,；d151329 61.(3)2'4'816'32' 64''小 3

4、 179.叫，1，布，丘，(5)0,1,0,1 ,.總結(jié)解決本類問(wèn)題的關(guān)鍵是觀察、歸納各項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間的聯(lián)系.同時(shí)，要善" 利用我們熟知的一些基本數(shù)列，通過(guò)合理的聯(lián)想、轉(zhuǎn)化而達(dá)到問(wèn)題的解決.變式訓(xùn)練1寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.1.1 / J巧，44 68, 8而，；(2)10,11,10,11,10,11 ,；81, 515 24 7， 9，知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)飛1 = 1,【例2】_*nC N .設(shè)數(shù)列an滿足S1ian=1+an-;(n>1，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前 5項(xiàng).總結(jié)由遞推公式可以確定數(shù)列，它也是給出數(shù)列的一種常用方法.變式訓(xùn)練2 在數(shù)列an中，已知

5、a1=2, a2=3, an+2= 3an+1 2an(n> 1),寫(xiě)出此數(shù)列 的前6項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)三數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用【例3】已知數(shù)列9n2- 9n+ 2 、9n21(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；98(2)氏是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么?101(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；在區(qū)間3 ;內(nèi)有、無(wú)數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒(méi)有，說(shuō)明理由.總結(jié) 判斷某數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)， 只需將它代入通項(xiàng)公式中求 n的值，若存在正整數(shù)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式T nn+1(2n 1 j2n+ 1 j變式訓(xùn)練3(1)寫(xiě)出它的第n,則說(shuō)明該數(shù)是數(shù)列的項(xiàng)，否則就不是該數(shù)列中的項(xiàng).2 一10項(xiàng)；(2)判斷n是

6、不是該數(shù)列中的項(xiàng).33課堂小結(jié)1 .與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項(xiàng)也有三個(gè)性質(zhì)：(1)確定性：一個(gè)數(shù)在不在數(shù)列中，即一個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)是確定的.(2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù).(3)有序性：一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且與這些數(shù)的排列次序也有關(guān).2 .并非所有的數(shù)列都能寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式.例如， 兀的不同近似值，依據(jù)精確的程度 可形成一個(gè)數(shù)列 3,3.1,3.14,3.141,，它沒(méi)有通項(xiàng)公式.3 .如果一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式.例如：數(shù)列一 1,1, 1,1, 1,1,的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成 an= ( 1)n,也可以寫(xiě)成 an=(1)n+2,還可以寫(xiě)

7、成 an = 1一111)其中"|1(n=2k)課時(shí)作業(yè)一、選擇題1 .設(shè)數(shù)列V2,乖,2y2, 而，則24是這個(gè)數(shù)列的()A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng) C.第8項(xiàng) D.第9項(xiàng)2 .數(shù)列1,3,6,10,的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A . an=n2n+1B . a.= "(' 1)n n 12C. an=-"2D . an= n + 13,已知數(shù)列an中，an=2n+1,那么22門為()A. 2n+1 B. 4n-1 C. 4n+1 D. 4n4.若數(shù)列的前4項(xiàng)為1,0,1,0,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不可能是()A. an=21 + (-1)n 1_1B. an= 2口

8、 cos(n 180 )C. an= sin2(n 90 )D. an= (n1)(n 2)+2口 +(1)n15,已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2-n-50,則一8是該數(shù)列的()A.第5項(xiàng) B.第6項(xiàng) C.第7項(xiàng) D,非任何一項(xiàng)二、填空題6 .用火柴棒按下圖的方法搭三角形：按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個(gè)數(shù) n之間的關(guān)系式可以是7 .傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,約公元前570年一公元前500年)學(xué)派的數(shù)學(xué)家 經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題， 他們?cè)谏碁┥袭?huà)點(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù).比如，他們將石子擺成如圖所示的三角形狀，就將其所對(duì)應(yīng)石子個(gè)數(shù)稱為三角形數(shù)，則第10

9、個(gè)三角形數(shù)是8 .數(shù)列a, b, a, b,的一個(gè)通項(xiàng)公式是 三、解答題9 .根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測(cè)第n個(gè)圖中的點(diǎn)數(shù).10 .數(shù)列an中，a=1,對(duì)所有的n>2, 都有 a & a3 an= n2. 求a3+a5；256 一(2)探究225是否為此數(shù)列中的項(xiàng)；(3)試比較an與an+1 (n>2)的大小.第二章數(shù)列§2.1數(shù)歹U2. 1.1 數(shù)歹 U(一)知識(shí)梳理1. 順序項(xiàng)2. an a1 首項(xiàng) an3. (1)有限無(wú)限(2)大于小于相等 自主探究1. an= n11. an=n3. an= 2n4. an=2n125. an= n n

10、 16. an= 27. an=(1)n8. an=(-1)n 1n9. an=10n 110. an=1 0.1n對(duì)點(diǎn)講練【例1】解(1)符號(hào)問(wèn)題可通過(guò)(一1)n或(一1)n+1表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為:后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6,故通項(xiàng)公式為 an=(-1)n(6n-5) (n N*).各項(xiàng)的分母分別為z122?3?4,2- 3項(xiàng)變?yōu)?因此原數(shù)列可化為一(2)數(shù)列變形為 9(1-0.1), 8(10.01), 9(1-0.001),，.an = 811手/(nC N*).易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第12， 23，T '，對(duì)于分子3,5,7,

11、9,，是序號(hào)的2倍加1,可得分子21- 322 323- 3 24-32n3* -an=(-1)n(nC N ).3 579(4)將數(shù)列統(tǒng)一為2, 5,行，, 2 5 10 1/的通項(xiàng)公式為bn=2n+1,對(duì)于分母2,5,10,17,聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16即數(shù)列 n2,可得分 母的通項(xiàng)公式為Cn=n2+1,2n +1*，可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=-2(nC N ).0 (n為奇數(shù))、1+(-1 n *1 + cos n %*(5)an= 或 an=(n C N )或 an=" (nC N ).1n為偶數(shù)22變式訓(xùn)練1解(1)這是個(gè)混合數(shù)列，1 . 1 , 1 _1可看成 2+-

12、, 4+1，6 + -, 8+ , .2 48161.*故通項(xiàng)公式 an=2n + 2 (nC N ).(2)該數(shù)列中各項(xiàng)每?jī)蓚€(gè)元素重復(fù)一遍，可以利用這個(gè)周期性求an.原數(shù)列可變形為:10+0,10+1,10+0,10+1,.1 人 y-Nt 1f故其一個(gè)通項(xiàng)為：an = 10 + 一2一-，10, n為奇數(shù) 或a、=111, n為偶數(shù)(3)通項(xiàng)符號(hào)為(1),如果把第一項(xiàng)1看作3,則分母為3,5,7,9,，分母通項(xiàng)為 32n+1;分子為 3,8,15,24,，分子通項(xiàng)為(n+1)21 即 n(n + 2),nn2+2n*所以原數(shù)列通項(xiàng)為：an= ( 1)n (n C N ).2n+ 1【例2】

13、解由題意可知3253,85.a2 = 1 + - = 1+ = 2,a3 = 1 + -= 1 + z=a22a4=1 + - = 1+| =a33a5= 1 + = 1+3 =a45變式訓(xùn)練2 解 a1=2, a2= 3,a3=3a22ai=3X 3 2X2=5,a4=3a32a2=3X 5 2X3=9,a5=3a4-2a3=3X 9-2X5=17,a6=3a5-2a4=3X 17-2X 9= 33.一 29n 一 9n + 2例 3(1)解 設(shè) f(n)=2一-一(3n 113n 2 ) 3n2 (3n1 j3n+ 1 ) 3n+1令 n = 10,得第 10 項(xiàng) a1o=f(10) =

14、28. 3 13n 298(2)解 令=777,得 9n =300.3n+1101 一98此方程無(wú)自然數(shù)解，所以 需不是該數(shù)列中的項(xiàng).(3)證明 an3n-2 3n+1 333n+1 3n+1'又 nCN*,0<3n+ 13<13n+ 1,0<an<1.數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi).1 3n 2 2(4)解令 3<an = <3,3n+1<9n 6：9n-6<6n+2n>76,即8 n<3,78,6<n<3.又nC N*, .當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，上式成立，故區(qū)間3j上有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一、，4項(xiàng)為a2 = 7.

15、11399.、一、“ 雨(TX11變式訓(xùn)練3 解aio=，=七19 A 2 1n+ 1(2)令二(2n 1 j2n+ 1 j工33'化簡(jiǎn)得:8n2-33n-35=0,7 ， 一22解得n=5或n=鼻(舍去).當(dāng)n=5時(shí)，a5=一833 3、2，舄不是該數(shù)列中的項(xiàng).33課時(shí)作業(yè)1. B 數(shù)列通項(xiàng)公式為 an = n- 1,令#n-1 =2-75,解得n=7.2. C3. C4. D 令n = 1,2,3,4代入驗(yàn)證即可.5. C n2-n-50 = -8,得 n=7 或 n= 6(舍去).6. an=2n+17. 55解析三角形數(shù)依次為：1,3,6,10,15,，第10個(gè)三角形數(shù)為：1 + 2+3+4+ 10a+ b a- b b=-2_-_2-,a - b、c2= 55.o a + b 1 ( d、n+18. an= 2 +( 1)a+ b a- b解析a=-2-+-2-a + b1故 an= 2-+ ( 1)n+9 .解 圖(1)只有1個(gè)點(diǎn)，無(wú)分支；圖(2)除中間1個(gè)點(diǎn)外，有兩個(gè)分支，每個(gè)分支有1個(gè)點(diǎn)；圖(3)除中間1個(gè)點(diǎn)外，有三個(gè)分支，每個(gè)分支有2個(gè)點(diǎn)；圖(4)除中間1個(gè)點(diǎn)外，有n個(gè)