全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽二試模擬訓(xùn)練題

1、加試模擬訓(xùn)練題（17）1、設(shè)ABCD是梯形，AB / CD,在其兩腰 AD , BC上分別存在點(diǎn) P,Q ,使得.APB CPD,. AQB 二.CQD ,證明點(diǎn)P,Q到梯形兩對(duì)角線的交點(diǎn)的距離相等。2、已知a,b,c E （0, +型），且a + b + c =1,求證：a3化產(chǎn)人b3b-2為一&3c蘭0. 1+a21+b21+c23、 在由 18 個(gè)隊(duì)參加的足球循環(huán)賽中，彼此之間已賽過(guò)8 輪，即每個(gè)隊(duì)都與8 個(gè)不同的隊(duì)進(jìn)行過(guò)比賽.證明：一定能找出三個(gè)隊(duì)彼此之間至今還沒有進(jìn)行過(guò)一次比賽.4、 證明不存在正整數(shù)n ，使2n2+1 ， 3n2+1， 6n2+1 都是完全平方數(shù)。加試模擬訓(xùn)

2、練題(17)1、設(shè)ABCD是梯形，AB / CD,在其兩腰 AD ,BC上分別存在點(diǎn) P,Q ,使得APB =/CPD, AQB CQD ,證明點(diǎn)P,Q到梯形兩對(duì)角線的交點(diǎn)的距離相等。(20屆全俄)證明設(shè)APB與CPD的外接圓 交于點(diǎn)Qi,則有.CQf BQf = 180 -/CDP 180' -/BAP =180 ,所以點(diǎn) Qi 在 BC 上。又因?yàn)?ZCQ-iD = - CPD = ? APB = - AQ-iB,所以 QA Q。設(shè)二 APB V=CPD 的外接圓半徑分別為RR, . APB八，則AB =2Rsin R ,因此 人。與BD的交點(diǎn)O是CD 2R> siR 2AP

3、B的外接圓與 CPD的外接圓的位似中心，設(shè) ，APB與CPD的外接圓的圓心分別為O1Q2，則。在。1。2上，且。1。2是PQ的中垂線，于是有 OP =OQ。2、已知 a,b,c : =(0, ?：:)，且 a b c = 1,求證:a(3a-1)b(3b-1)十。(31)二 01 a21+b21 c2” -.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)1 x 3(x3)(1 *2 10) 一 °,貝U 再分別令x =a, b,c ,代入上式,x2,易知f(x)在(0,1)上為增函數(shù)1 +x所以對(duì)任意x (0,1),有x(革)X>(3x 1),10相加得33(a b c) - 3 =0. 10a(3a

4、 -1) b(3b 1) c(3c1)2221 a21 b21 c28輪，即每個(gè)隊(duì)都與 8個(gè)不同的隊(duì)3、在由18個(gè)隊(duì)參加的足球循環(huán)賽中，彼此之間已賽過(guò)進(jìn)行過(guò)比賽 池明：一定能找出三個(gè)隊(duì)彼此之間至今還沒有進(jìn)行過(guò)一次比賽8個(gè)隊(duì)比賽，與9個(gè)隊(duì)未賽過(guò)？而【證】 從某隊(duì)A開始考慮，由已知在前八輪比賽中它與在這未賽的9個(gè)隊(duì)中一定有兩個(gè)隊(duì)彼此沒有賽讓事實(shí)上這9個(gè)隊(duì)彼此間共有C冷36場(chǎng)比賽，而在每輪中他們之間的比賽最多只能安排 4場(chǎng)(一個(gè)隊(duì)輪空)，故在前8輪中，最多只賽32場(chǎng)?所以一定有兩隊(duì) 彼此沒有 賽過(guò)，設(shè)為B、C.那么，A、B、C三隊(duì)在前8輪中彼此沒有賽過(guò)一場(chǎng).4、證明不存在正整數(shù) n,使2n2+1, 3n2+1, 6n2+1都是完全平方數(shù)。2 2 2證明：假設(shè)存在這樣的正整數(shù)n，使2n + 1, 3n + 1, 6n + 1都是完全平方數(shù)，那么(2n2+1) ( 3n2+1)( 6n2+1 )也必定是完全平方數(shù)。而(2n2+1)( 3n2+1)( 6n2+1)= 36n6+36n4+11n2+1;(6n3 3n)2 = 36n6+36n4+9n2；(6n3 3n 1)2 =36n6+36n4+12n3+9n2+6n+1 ；所以 (6n3 3n)2 :： : (2n2+