正定矩陣的判定

1、泰 山 學(xué) 院畢業(yè)論文材料匯編正定矩陣的判定 所 在 學(xué) 院 專(zhuān) 業(yè) 名 稱(chēng) 申請(qǐng)學(xué)士學(xué)位所屬學(xué)科 年 級(jí) 學(xué)生姓名、學(xué)號(hào) 指導(dǎo)教師姓名、職稱(chēng) 裝 訂 日 期 2015 年 6 月 30 日 材料匯編目錄一、開(kāi)題報(bào)告二、任務(wù)書(shū)三、論文1. 封面2. 中文摘要 3. 英文摘要 4. 目錄5. 正文6. 參考文獻(xiàn)7. 致謝 四、成績(jī)?cè)u(píng)定書(shū) 泰山學(xué)院畢業(yè)論文開(kāi)題報(bào)告 題 目 正定矩陣的判定 學(xué) 院 年 級(jí) 專(zhuān) 業(yè) 姓 名 學(xué) 號(hào) 指導(dǎo)教師簽字 學(xué)生簽字 2014 年 12 月 15 日題目來(lái)源指導(dǎo)教師推薦 自選 其它 題目類(lèi)別基礎(chǔ)研究 應(yīng)用研究 其它 各位老師好，我的論文題目是“正定矩陣的判定”。為

2、了達(dá)到學(xué)校對(duì)論文的要求，同時(shí)保證論文的準(zhǔn)確性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，所以在寫(xiě)論文之前，我做了大量的準(zhǔn)備工作。一方面我從學(xué)校圖書(shū)館借閱了一些和論文內(nèi)容相關(guān)的書(shū)籍，另一方面上網(wǎng)搜集了大量相關(guān)的材料，經(jīng)過(guò)近一個(gè)月的仔細(xì)審讀、思考與完善，我一定能夠按時(shí)交出一份滿意的論文。我將全力以赴、克服困難，用大學(xué)四年所學(xué)得的專(zhuān)業(yè)知識(shí)廣泛調(diào)研，去組織、完善論文，使論文的層次更加清晰、論證更加充分，更重要的是使自己各方面的能力得到提高，給大學(xué)生活交上一份滿意的答卷。 一、選題依據(jù)和目的（一）選題依據(jù)二次齊次多項(xiàng)式在實(shí)際工作和理論研究中是一種重要的多項(xiàng)式，其中實(shí)二次型中的正定二次型占有特殊的位置，正定二次型的系數(shù)矩陣就是正定

3、矩陣。因此，對(duì)正定矩陣的討論無(wú)論在矩陣?yán)碚摲矫妫€是實(shí)際應(yīng)用方面都有重要的意義。因而對(duì)正定矩陣的討論是必要的，本文給出了正定矩陣的基本概念、性質(zhì)，意在給出正定矩陣的判定方法。代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基礎(chǔ)分支,而正定矩陣又是高等代數(shù)中的重中之重，特別是正定矩陣部分的應(yīng)用很廣泛。正定矩陣是計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、控制論等領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用的重要矩陣類(lèi),其應(yīng)用引起人們極大的研究興趣。目前對(duì)正定矩陣的研究,主要集中在理論研究與工程應(yīng)用方面。最重要的是，在大學(xué)期間我們開(kāi)設(shè)的主修課目高等代數(shù)就有關(guān)于正定矩陣的學(xué)習(xí)，所以對(duì)這個(gè)課題更容易找到切入點(diǎn)，并且也提高了自己的知識(shí)水平，使自己組織語(yǔ)言的等的能力得到很大的

4、提高。（2） 選題目的復(fù)方陣的正定性在數(shù)學(xué)理論或應(yīng)用中具有重要意義和應(yīng)用價(jià)值，正定矩陣的判定是矩陣論中重要的熱門(mén)課題之一。本文從正定矩陣的定義出發(fā),對(duì)正定矩陣性質(zhì)進(jìn)行了深刻的討論并從這些性質(zhì)出發(fā)給出了一系列關(guān)于矩陣正定的判定條件且利用這些判定條件證明了矩陣、不等式以及函數(shù)極值的相關(guān)問(wèn)題。從而提高運(yùn)用矩陣正定性思想解決問(wèn)題證明問(wèn)題的能力。希望能夠通過(guò)對(duì)正定矩陣的判定的研究熟練掌握矩陣的判定性質(zhì)及運(yùn)用矩陣正定的思想解決問(wèn)題的方法和技巧。 1、 主要研究?jī)?nèi)容及研究方法（1） 研究?jī)?nèi)容我通過(guò)老師的講解、自己查閱資料得出以下幾種正定矩陣的判定方法：方法一（定義法）用正定矩陣的定義進(jìn)行判定。方法二（標(biāo)準(zhǔn)形

5、法）實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充要條件是A與單位矩陣E合同。方法三（順序主子式法）對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充要條件是A的所有順序主子式全大于零。方法四（特征值法）對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充要條件是A的特征值全大于0。方法五（矩陣分解法）如果矩陣有分解式：,則 列滿秩時(shí)，正定。（2） 研究方法主要運(yùn)用理論知識(shí)與舉例相結(jié)合的方法、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法來(lái)研究求一元函數(shù)極限的方法。3、 進(jìn)度安排1. 調(diào)研、收集資料務(wù)必于2014年12月10日前完成。2. 寫(xiě)作初稿務(wù)必于2015年4月10日前完成。3. 修改、定稿、打印務(wù)必于2015年5月30日前完成。4、 主要參考文獻(xiàn)1 王萼芳，石生明.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，1996.2

6、 王品超.高等代數(shù)新方法M.濟(jì)南：山東教育出版社，1989.3 毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納M.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1993.4 錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精粹M.北京：中央民族大學(xué)出版社，2002.5 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室. 高等代數(shù)( 第三版)M.北京：高等教育出版社，2003.6 于增海.高等代數(shù)考研選講M.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2012. 7 楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題集M.濟(jì)南：山東科技出版社，2003.評(píng)委評(píng)語(yǔ)及其建議： 評(píng)委簽字：學(xué)院蓋章： 2014年12月20日泰 山 學(xué) 院畢業(yè)論文任務(wù)書(shū) 題 目 正定矩陣的判定 學(xué) 院 年 級(jí) 專(zhuān) 業(yè) 姓 名 學(xué) 號(hào) 指導(dǎo)教師簽字 學(xué)

7、生簽字 2014 年 12 月 20 日你的畢業(yè)論文開(kāi)題報(bào)告已通過(guò)，現(xiàn)將畢業(yè)論文工作任務(wù)下達(dá)給你,請(qǐng)按照要求認(rèn)真完成。主要內(nèi)容如下：題 目正定矩陣的判定基本要求論文寫(xiě)作前必須充分收集關(guān)于“正定矩陣的判定”的相關(guān)資料；在參考已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，矩陣作為科學(xué)研究的一項(xiàng)重要工具，在數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、自然科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，要有一定的新見(jiàn)解；論文的文字要通順、書(shū)寫(xiě)規(guī)范、表述準(zhǔn)確. 倡導(dǎo)獨(dú)立思考、杜絕抄襲和盡可能減少雷同；文字?jǐn)?shù)控制在6000字左右。應(yīng)收集的資料及主要參考文獻(xiàn)1 王萼芳，石生明.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，1996.2 王品超.高等代數(shù)新方法M.濟(jì)南：山東教育出版社，

8、1989.3 毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納M.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1993.4 錢(qián)吉林.高等代數(shù)題解精粹M.北京：中央民族大學(xué)出版社，2002.5北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室. 高等代數(shù)( 第三版)M.北京：高等教育出版社，2003.6 張禾瑞，郝炳新. 高等代數(shù)(第四版)M.北京：高等教育出版社，1999. 進(jìn)度安排1. 調(diào)研、收集資料務(wù)必于2014年12月10日前完成。2. 寫(xiě)作初稿務(wù)必于2015年4月10日前完成。3. 修改、定稿、打印務(wù)必于2015年5月30日前完成。本畢業(yè)論文完成期限任務(wù)書(shū)下達(dá)于2014年12月20日。任務(wù)完成后，2015年6月5日前按照規(guī)定格式打印交至學(xué)

9、院，由指導(dǎo)教師評(píng)閱后提交畢業(yè)論文答辯委員會(huì)。泰 山 學(xué) 院本科畢業(yè)論文正定矩陣的判定所 在 學(xué) 院 專(zhuān) 業(yè) 名 稱(chēng) 申請(qǐng)學(xué)士學(xué)位所屬學(xué)科 年 級(jí) 學(xué)生姓名、學(xué)號(hào) 指導(dǎo)教師姓名、職稱(chēng) 完 成 日 期 二一五年六月 摘要摘 要矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，是代數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象及應(yīng)用的重要工具，它貫穿于線性代數(shù)的各個(gè)部分。并且矩陣?yán)碚撛趲缀螌W(xué)、物理學(xué)、概率論及最優(yōu)化理論等諸多學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用而且一直都是重要的熱門(mén)課題。矩陣作為科學(xué)研究的一項(xiàng)重要工具，在數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、自然科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，掌握好矩陣?yán)碚撌菍W(xué)好線性代數(shù)必不可少的條件 。正定矩陣作

10、為一類(lèi)特殊的矩陣在矩陣?yán)碚撝姓加蟹浅Ｖ匾牡匚?，而正定矩陣的判定又是正定矩陣研究的重要?nèi)容，接下來(lái)文中文中給出了定義法、標(biāo)準(zhǔn)型法、順序主子式法、特征值法、矩陣分解法五種判斷實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定的方法，并舉例說(shuō)明如何判斷一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣是否正定。關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；正定矩陣；基本概念；性質(zhì)；判定方法IABSTRACTABSTRACTMatrix theory is the core content of linear algebra, is one of the most important basic concepts in mathematics, is an important tool for t

11、he main research object algebra and its application, it runs through every part of linear algebra. And the matrix theory in geometry, physics, probability theory and the optimization theory and other disciplines is widely used and has been a hot topic of. Matrix is an important tool of scientific re

12、search, play an important role in the field of mathematics,engineering technology, natural science and economic management, master matrix theory is essential to learn linear algebra.Positive definite matrix as a kind of special matrix plays a very important role in matrix theory, and determine the p

13、ositive definite matrix and positive definite matrix is an important content of the research. This paper gives the definition of Chinese method, standard method, sequence analysis, eigenvalue method, matrix decomposition method of five kinds of methods to judge the positive real symmetric matrix, an

14、d an example is given to illustrate how to judge whether a real symmetric positive definite matrix.Key words: Linear algebra , Positive definite matrix, The basic concept, Nature, Judging methodII目錄目 錄1 引言.12 正定矩陣的基本概念.13 正定矩陣的性質(zhì).24 正定矩陣的判定方法.3 4.1定義法. 3 4.2標(biāo)準(zhǔn)形法.4 4.3順序主子式法.5 4.4特征值法.64.5矩陣分解法.85 參考

15、文獻(xiàn)106 致謝11III泰山學(xué)院本科畢業(yè)論文1 引 言矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，是代數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象及應(yīng)用的重要工具，它貫穿于線性代數(shù)的各個(gè)部分。并且矩陣?yán)碚撛趲缀螌W(xué)、物理學(xué)、概率論及最優(yōu)化理論等諸多學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用而且一直都是重要的熱門(mén)課題。矩陣作為科學(xué)研究的一項(xiàng)重要工具，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程技術(shù)以及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，掌握矩陣?yán)碚撌菍W(xué)好線性代數(shù)必不可少的條件 。正定矩陣作為一類(lèi)特殊的矩陣在矩陣?yán)碚撝姓加惺种匾牡匚唬ň仃嚨呐卸ㄓ质钦ň仃囇芯康闹匾獌?nèi)容，接下來(lái)文中文中給出了定義法、標(biāo)準(zhǔn)型法、順序主子式法、特征值法、矩陣分解法五種

16、判斷實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定的方法，并舉例說(shuō)明如何判斷一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣是否正定。2 正定矩陣的基本概念定義1 實(shí)二次型稱(chēng)為正定的，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，有定義2 若實(shí)數(shù)域上的一個(gè)元二次型是正定二次型，則稱(chēng)為正定矩陣。其中，注：（1）正定二次型和正定矩陣是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 （2）經(jīng)非退化的線性替換，新二次型的矩陣和原二次型的矩陣合同。3 正定矩陣的性質(zhì)1、與正定矩陣合同的矩陣一定是正定矩陣。實(shí)際上由合同的傳遞性、正定矩陣均與單位矩陣合同可知結(jié)論成立。2、正定矩陣的主對(duì)角線上的元素全大于零。事實(shí)上當(dāng)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定矩陣時(shí)，由它確定的二次型必為正定二次型。不妨假設(shè)，取，代入上式得，這與正定矛盾，所以假

17、設(shè)不成立，即。3、正定矩陣的行列式大于零。正定矩陣與單位矩陣合同，存在可逆矩陣，使得，由此還可看出：正定矩陣一定是可逆矩陣。4、正定矩陣的元素的絕對(duì)值的最大者一定是主對(duì)角線上的元素。設(shè)是正定矩陣，其中為絕對(duì)值最大者，則，又知道所有主子式都大于零，與假設(shè)矛盾，正定矩陣中元素的絕對(duì)值的最大者一定是主對(duì)角線上的元素。注：這個(gè)結(jié)論常用于判定某些實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不是正定的矩陣。這是因?yàn)橹灰幸粋€(gè)非主對(duì)角線上的元素的絕對(duì)值不小于主對(duì)角線上元素的絕對(duì)值的最大者，則這個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必定不是正定矩陣。5、正定矩陣乘積的特征根都大于零。設(shè)均為正定矩陣，則有可逆矩陣，使得，可逆，又是正定矩陣，從而與正定矩陣相似，而相似矩陣

18、的特征根相同，所以的特征根都大于零。注：不一定是對(duì)稱(chēng)矩陣。6、若是一個(gè)階正定矩陣，則（其中是主對(duì)角線上元素全大于零的上三角形矩陣）。事實(shí)上有可逆矩陣,使得(其中是正交矩陣， 是一個(gè)上三角矩陣且主對(duì)角線上的元素均為正數(shù))。7、正定矩陣的逆矩陣必為正定矩陣。正定矩陣與單位矩陣合同，存在可逆矩陣，使得，取逆矩陣，即有，則與單位矩陣合同， 是正定矩陣。4 正定矩陣的判定方法正定矩陣是一類(lèi)特殊重要的矩陣，正定矩陣的判定又是正定矩陣討論的重要內(nèi)容，以下給出了五種正定矩陣的判定方法。4.1 定義法階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣稱(chēng)為正定矩陣，如果對(duì)于任意的維實(shí)非零列向量，都有.正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣簡(jiǎn)稱(chēng)為正定矩陣，記作：。例1 設(shè)是

19、正定矩陣，是非奇異實(shí)方陣，則也是正定矩陣。證明 是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣， 也是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，又對(duì)任何實(shí)的非零列向量，由于，即是正定矩陣 例2 設(shè)都是階正定矩陣，證明：也是正定矩陣。證明 顯然矩陣是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，任取 知，由，知存在階可逆矩陣，使得,即，所以對(duì)任意的，因?yàn)椋钥偞嬖谝粋€(gè)，使得，又有：對(duì)以上的成立。所以，即。注：用定義證明矩陣正定需證明兩點(diǎn)：1）為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。2）對(duì)任何的非零實(shí)列向量，4.2標(biāo)準(zhǔn)形法（合同變換法） 下面五個(gè)陳述是等價(jià)的： 1）階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的； 2）正慣性指數(shù)等于； 3）合同于單位矩陣； 4）存在可逆矩陣，使得； 5）的特征值全大于零。推論 與正定矩陣合同的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣也是正

20、定矩陣。例2 證明：若是正定矩陣，則也是正定矩陣。證明 是正定矩陣，是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，可逆，且，即也是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。例3 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：為正定矩陣的充要條件為對(duì)所有的正定矩陣恒有證明 必要性 由正定，則存在實(shí)可逆矩陣，使得，于是充分性 設(shè)不是正定的，由，必有負(fù)特征值，設(shè)為由實(shí)對(duì)稱(chēng),則存在正交矩陣,使得,這里令則正定.令,則正定,但是,矛盾.4.3 順序主子式法1）的所有順序主子式全大于零。2）的所有主子式全大于零。注：類(lèi)似的我們可以得到半正定矩陣的7個(gè)等價(jià)命題：a）階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是半正定的；b)負(fù)慣性指數(shù)為零；c)合同于；d)存在階矩陣,使得；e)的特征值全非負(fù)。例4 判斷二次型是否正定。解

21、 二次型的矩陣為三角矩陣的任意的階順序主子式=，所以矩陣為正定矩陣，原二次型為正定二次型。例5 取何值時(shí)，二次型是正定二次型。解 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為要使二次型正定，則的各階順序主子式全大于零，即滿足： 得到， 時(shí)，二次型為正定二次型。4.4 特征值法 的特征值全大于零，于是存在正交矩陣，使得，即存在正交線性替換，使得，例6 證明：二次型為正定二次型。證 設(shè)的矩陣為，則由，可知的特征值，由于特征值全為正數(shù)，所以是正定矩陣，從而為正定二次型。例7 設(shè),問(wèn)滿足什么條件正定。解 （1）當(dāng)變?cè)膫€(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，的矩陣為，于是，故的特征值為（均為重），故正定（2）當(dāng)變?cè)膫€(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，故的特征值為正定綜上所

22、述，4.5矩陣分解法如果矩陣有分解式:，則列滿秩時(shí)，正定；行滿秩時(shí)，半正定。一般地，如果矩陣能分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單矩陣的和、積等，則可能將問(wèn)題化難為易，矩陣分解也是一種解決問(wèn)題的方法。例8 證明：是半正定矩陣。證明：因?yàn)?，其中是行滿秩的，所以是半正定矩陣。例9 設(shè)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，而且正定，求證：存在正定矩陣，使，且是唯一的。證明 由正定，則存在正交矩陣，使得 ，這里令 ，則是正定矩陣，且下證唯一性。設(shè)存在正定矩陣使得,則是反對(duì)稱(chēng)矩陣，于是的特征值為零和純虛數(shù)。若能證明的特征值全為零，則。由正定，則存在正定矩陣，使得，于是由實(shí)對(duì)稱(chēng)，則其特征值皆為實(shí)數(shù)，又知的特征值皆為實(shí)數(shù)，于是的特征值皆為實(shí)數(shù)。由的特征值為和純虛數(shù)，則的特征值全為，故，注意到可逆，所以可得，故，唯一性得證。 參考文獻(xiàn)1 王萼芳，石生明.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，1996.2 王品超.高等代