灰色模型介紹及應(yīng)用

1、第十章 灰色模 型介紹 及應(yīng) 用 （徐利 艷 天津 農(nóng)學(xué) 院 2. 4 萬字 ）10.1 灰色理論基本知識10.1.1 概言10.1.2 有關(guān)名詞概念10.1.3GM 建模機(jī)理10.2 灰色理論模型應(yīng)用10.2.1GM（ 1， 1）模型的應(yīng)用污染物濃度問題10.2.2 GM（1， 1）殘差模型的應(yīng)用油菜發(fā)病率問題10.2.3 GM模型在復(fù)雜問題中的應(yīng)用 SARS 疫情問題1024 GM（1 , n）模型的應(yīng)用一一因素相關(guān)問題本章小結(jié)思考題推薦閱讀書目第十章 灰色模型介紹及應(yīng)用10.1 灰色理論基本知識10.1.1 概言客觀世界的很多實(shí)際問題，其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及特征并未全部被人們了解，人們

2、不可能象研究白箱問題那樣將其內(nèi)部機(jī)理研究清楚， 只能依據(jù)某種思維邏輯與推斷來構(gòu)造模 型。對這類部分信息已知而部分信息未知的系統(tǒng)， 我們稱之為灰色系統(tǒng)。 本章介紹的方法是 從灰色系統(tǒng)的本征灰色出發(fā)， 研究在信息大量缺乏或紊亂的情況下， 如何對實(shí)際問題進(jìn)行分 析和解決。灰色系統(tǒng)的研究對象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不 確定性系統(tǒng)，它通過對“部分”已知信息的生成、開發(fā)實(shí)現(xiàn)對現(xiàn)實(shí)世界的確切描述和認(rèn)識。 信息不完全是“灰”的基本含義。灰色系統(tǒng)理論建模的主要任務(wù)是根據(jù)具體灰色系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)， 充分開發(fā)并利用不 多的數(shù)據(jù)中的顯信息和隱信息， 尋找因素間或因素本身的數(shù)學(xué)關(guān)系。

3、通常的辦法是采用離散 模型， 建立一個(gè)按時(shí)間作逐段分析的模型。 但是，離散模型只能對客觀系統(tǒng)的發(fā)展做短期分 析，適應(yīng)不了從現(xiàn)在起做較長遠(yuǎn)的分析、 規(guī)劃、決策的要求。 盡管連續(xù)系統(tǒng)的離散近似模型 對許多工程應(yīng)用來講是有用的，但在某些研究領(lǐng)域中，人們卻常常希望使用微分方程模型。 事實(shí)上，微分方程的系統(tǒng)描述了我們所希望辨識的系統(tǒng)內(nèi)部的物理或化學(xué)過程的本質(zhì)。目前， 灰色系統(tǒng)理論已成功地應(yīng)用于工程控制、經(jīng)濟(jì)管理、未來學(xué)研究、生態(tài)系統(tǒng)及復(fù) 雜多變的農(nóng)業(yè)系統(tǒng)中， 并取得了可喜的成就。 灰色系統(tǒng)理論有可能對社會、 經(jīng)濟(jì)等抽象系統(tǒng) 進(jìn)行分析、 建模、預(yù)測、決策和控制， 它有可能成為人們認(rèn)識客觀系統(tǒng)改造客觀系統(tǒng)的

4、一個(gè) 新型的理論工具。10.1.2 有關(guān)名詞概念灰數(shù)：一個(gè)信息不完全的數(shù)，稱為灰數(shù)。 灰元：信息不完全或內(nèi)容難以窮盡的元素，稱為灰元。 灰關(guān)系：信息不完全或機(jī)制不明確的關(guān)系，稱為灰關(guān)系。具有灰關(guān)系的因素是灰因素，灰因素之間的量化作用，稱為灰關(guān)聯(lián)?；疑到y(tǒng)：含灰數(shù)、灰元或灰關(guān)系的系統(tǒng)稱為信息不完全系統(tǒng)。如果按照灰色理論去研 究它。則稱此系統(tǒng)為灰色系統(tǒng)。累加生成：由于灰系統(tǒng)對一切隨機(jī)量都可看作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，因此，為適應(yīng)灰系統(tǒng)建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指對原始數(shù)據(jù)做累加(或累減)處理。累加生成一般可寫成AGO若計(jì)x(0)為原始數(shù)列，x為r次累加生成后數(shù)列，即(0) (0)

5、 (0) (0)x X (1), x (2), L x (n)x(r) x(r)(1), x(r)(2), L x(r)(n)則r次累加生成算式為kx(r)(k) x(r 1)(1) x(r 1) (2) L x(r 1)(k)x(r 1)(i)i 1x(r 1)(1) x(r 1 )(2) L x(r 1)(k 1)x(r 1)(k)x(r)(k 1) x(r 1)(k)一般常用的是一次累加生成，即kX(k)x(0) (i)i 1x(1)(k 1) x(0) (k)10.1.3GM建模機(jī)理建立GM莫型，實(shí)際就是將原始數(shù)列經(jīng)過累加生成后，建立具有微分、差分近似指數(shù)規(guī)律兼容的方程，成為灰色建模，

6、所建模型稱為灰色模型，簡記為GM(Grey Model )。如GM(m,n)稱為m階n個(gè)變量的灰色模型，其中 GM( 1，1)模型是GM( 1，n)模型的特例，是灰色系統(tǒng)最基本的模型，也是常用的預(yù)測模型，因此本章重點(diǎn)介紹幾種GM( 1，1)模型的建模過程和計(jì)算方法，并簡單介紹 GM( 1, n)建模過程。GM( 1，1)的建模機(jī)理GM( 1，1)模型是GM( 1，N)模型的特例，其簡單的微分方程形式(白化形式的微分方程)是dxax u dt利用常數(shù)變易法解得，通解為atUx(t) cea或時(shí)間響應(yīng)函數(shù)其中白化微分方程中的時(shí)也將u寫成b )ox(t)x(t 1)ax項(xiàng)中的x(X。-)e ata(

7、x扣dx為巴的背景值,dt按白化導(dǎo)數(shù)定義有差分形式的微分方程，即dx矗 iim。x(t t)tat u也稱為初始值；a, u為常數(shù)(有x(t)顯然，當(dāng)時(shí)間密化值定義為 1,即當(dāng) t1時(shí),上式可記為記為離散形式dxdt iim1x(t 15 x(t)dx杰 x(t 1) x(t)dx這顯然表明巴是一次累計(jì)生成，因此上述方程可改寫為dtdxdtx(1)(t 1) x(1) (t)x(0) (t 1)這實(shí)際也表明，模型是以生成數(shù)x(1)( x(1)是以x(0)的一次累加)為基礎(chǔ)的。當(dāng)t足夠小時(shí)，x(t)到x(tt)不會發(fā)生突變,因此可取x(t)與x(t t)的平均值作為 t 0時(shí)的背景值，因此,背景

8、值便可記為x(1)夕X(t 1)x(t)x(1)扣(k 1)X(k)于是白化的微分方程曲dtax(i)u可改寫為x(0) (k1)1ax(1)(k 1) x(1) (k) ux(0)(k1)2 a x(1) (k 1)x(1) (k)x(0)x(0)jax(1 )(2)ax(1 )(2)MX(1)x(1) (1)x(0)(n)1ax(1)( n)x(1) (n1)因此，上述方程可以改寫為矩陣方程形式，即x(0)x(0)M(0),x (n)ax(1 )(2)2ax(1 )(2)2x(1)X(1)引入下列符號，設(shè)Ynx(0)(2) x(0) (3)Mx(0)(n)于是便有Yn1 (1)2ax(n)

9、（1）X(n1)ax(1 )(2)21 (1) -ax()(2)2aXuEXMExx2ax(1)(n)a XMEu1ax(1 )(2)fax(1 )(2)ax(1)( n)x(1)(n1)xxx(1)(n1)Yn aX uE XME a b2 u解得(BTB) 1BtYn將求解得到的代入微分方程的解式(也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù))，則X (k 1) (X u)eak -aa由于x(0) (1) x(1)(1)，因此求導(dǎo)還原得X(0) (k 1) a(x(0) (1) u)e aka上述兩式便為 GM( 1，1)的時(shí)間響應(yīng)式，及灰色系統(tǒng)預(yù)測模型的基本算式，當(dāng)然上述 兩式計(jì)算結(jié)果只是近似計(jì)算值。為簡記，一般

10、可以將 GM( 1，1 )的建模過程記為IAGO GM AGOx (0) GM(x(1);a,u) X (k 1)X(0) (k 1)10.2灰色理論模型應(yīng)用10.2.1GM( 1，1)模型的應(yīng)用一一污染物濃度問題GM( 1，1)模型是灰色系統(tǒng)最基本的模型，下面以污染物濃度問題說明GM( 1，1 )模型的建立及求解過程。例10.1某污染源中某種污染物質(zhì)量濃度測量值如表10.1，試建立GM( 1，1)模型表10.1某污染物質(zhì)量濃度測量值(mg/L)年份200120022003200420052006x(0)3.9364.5754.9685.0635.9685.507解：第一步，設(shè)原始數(shù)據(jù)為X(0

11、) (X(0) (1), X(0) (2), L , X(0) (6)(3.936, 4.575, 4.968,5.063,5.968,5.507)第二步，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加生成，即xAGOx (0)Xx(0) (2)3.9364.575x(1)x(1)x(0) (3)13.479x(1)x(1)x(0) (4)18.542X(5)x(1 *4)x(0) (5)24.510x(1 )(6)x(1) (5)x(0) (6)30.017(1)3.9368.511x(1)(2)xx(0)因此累加生成數(shù)據(jù)為x(1)AGOx (0)(3.936,8.511,13.479,18.542,24.510,30

12、.017)第三步，構(gòu)造矩陣B,Yn扣(1) 1x(1)(2) 1x(1)(3)扣(1)1x(1 )(5)xxxx(5)x (6)Yn(0)-6.2235-10.9950-16.0105-2 1.5260-27.26351.00001.00001.00001.00001.0000x(0) (2), x(0)(3), L ,x(0)(6)T4.5754.9685.0635.9685.507第四步，計(jì)算(BTB) 1 BTYn先求(BTB) 1btb1622.6-82.0-82.0根據(jù)逆矩陣的求解方法,(BtB)10.00360.05920.05921.1706再求BTYn的值,進(jìn)而求得a的值為BT

13、Yn-442.764126.0810? (BtB) 1 BtYn-0.0539a4.3322u0.0036 0.0592-442.76410.0592 1.170626.0810計(jì)算GM1_1的程序如下fun ctio n 10toliti01(X0)m, n=size(X0);X仁 cumsum(XO);X2=;for i=1: n-1X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1);endB=-0.5.*X2;t=on es( n-1,1);B=B,t；YN=X0(2:e nd);P_t=YN./X1(1:(le ngth(X0)-1)A=i nv(B.*B)*B.*YN.;a=A(1)u=A(

14、2)Bb1= B.*Bb2=i nv(B.*B)b3=B.*YN.b4=u/ab5=X1(1)-b4b6=-a*b5第五步，將a,u的值代入微分方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù),令奴 x（0）3.936，得0)(k 1)(x(1)Uak)eU 84.3264 e0.0539 k 80.3904aa第六步，求導(dǎo)還原得爐(k 1)a(x(1)uak0.0539 k)e4.5443 ea第七步，對上述模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)。常用的方法是回代檢驗(yàn)，即分別用x（0）模型求出各時(shí)刻值，然后求相對誤差。先利用時(shí)間響應(yīng)函數(shù)模型X(k 1)84.3264 e0.0539 k 80.3904求各時(shí)刻值(k 1, 2丄，5 ),并計(jì)算

15、相對誤差，結(jié)果如表10.2所示.表10.2精度檢驗(yàn)實(shí)測值、殘差值表k 1,2丄，5GM+算值實(shí)測值殘差相對殘差(k 1)x(k 1)e(1)(k 1)q(k 1)8.60598.5110-0.0949-0.011213.534413.4790-0.0554-0.004118.735918.5420-0.1939-0.010524.225424.51000.28460.011630.019030.0170-0.0020-0.0001再利用時(shí)間響應(yīng)函數(shù)模型X(0) (k 1)4.5443 e0.0539 k求各時(shí)刻值(k 1,2, L ,5)，并計(jì)算相對誤差，結(jié)果如表10.3 所示.表10.3計(jì)算

16、值與實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)值對照表k 1,2丄，5GM+算值實(shí)測值殘差相對殘差5?(0) (k 1)x(0) (k 1)e(0) (k 1)q(0) (k 1)4.79604.5750-0.2210-0.04835.06164.9680-0.0936-0.01885.34195.0630-0.2789-0.05515.63775.96800.33030.05535.94995.5070-0.4429-0.0804從殘差檢驗(yàn)結(jié)果看，累計(jì)生成數(shù)列曲線擬合較好，相對誤差在0.01即19左右；而還原數(shù)列的相對誤差較大，其原因是累加生成數(shù)據(jù)將原始數(shù)據(jù)的隨機(jī)性弱化， 正負(fù)誤差有抵消的， 當(dāng)數(shù)據(jù)再被還原回來時(shí)便表現(xiàn)出

17、來。10.2.2 GM( 1，1 )殘差模型的應(yīng)用一一油菜發(fā)病率問題當(dāng)GM(1 ,1)模型的精度不符合要求時(shí)，可用殘差序列建立GM(1 ,1)模型， 對原來的模型進(jìn)行修正，以提高精度，即建立殘差GM(1 ,1)模型，步驟如下第一步，利用原始數(shù)據(jù)建立 GM( 1, 1)模型，得時(shí)間響應(yīng)式X（k 1） （x U）e ak UaaX（0） （k 1） a（x（0） （1） U）eak a其中第二個(gè)式子也成為導(dǎo)數(shù)還原值。鑒于導(dǎo)數(shù)還原值與原始數(shù)據(jù)（累減還原值）不一致，為減少往返運(yùn)算造成的誤差，往往用原始數(shù)據(jù)與導(dǎo)數(shù)還原值的殘差修正的 x（0）模擬值X（0）。第二步，利用殘差數(shù)列建立新的GM（ 1，1）模型

18、。建立殘差模型的過程和計(jì)算方法同于GM（ 1，1）建模過程，只不過建立殘差模型所用的原始數(shù)列采用的是殘差數(shù)據(jù)。令g(0) (k)為殘差，則g(0)(k) x(0)(k) X(0)(k)即g(0) (g(0) (k), g(0) (k 1),L g(0)(n)(k i,i 1丄，n)或g(0) (g(0)(1),g(0)(2),L g(0)(n i 1)利用殘差序列g(shù)（0）建立新的GM（ 1，1）模型，求解得時(shí)間響應(yīng)式g(k 1)g(0)(k 1)(g(1)(ko)與eak”aaa（g（k。）扣ak第三步，結(jié)合上兩步的 GM（ 1，1）模型，建立殘差 GM（ 1，1）模型結(jié)合上兩步的 GM（ 1

19、，1）模型，則相應(yīng)的殘差修正時(shí)間響應(yīng)式為(k1)a(x(0) 1a(x(0) 1U ak)e au、 ak )ea(a)(g(k。)uakk kokko稱為導(dǎo)數(shù)還原式的殘差修正模型。例10.2某縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)如表10.4所示，試建立殘差 GM莫型并進(jìn)行求解。序號12345678910111213x(0)620402540453521141815.51715表10.4某縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)(妁解：第一步，建立原始數(shù)據(jù)的GM( 1, 1)模型設(shè)原始數(shù)據(jù)為x(0) (x(0) (1), x(0)，L ,x(0) (13)0.01*6, 20, 40, 25, 40, 45,35, 21,14,18,1

20、5.5,17,15建立GM( 1，1)模型，利用 GM( 1，1)的求解程序得時(shí)間響應(yīng)式為艾 k 15.680e 0.06486k5.740舁 k 10.368e 0.06486k第二步，誤差檢驗(yàn)利用時(shí)間響應(yīng)函數(shù)模型 艾 k 10.368e 0.06486k計(jì)算各時(shí)刻值(k 1,2, L ,12)，并計(jì)算相對誤差，程序如下fun ctio n10toliti02(X0) %format long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15;m,n=size(X0);s(1)=1;for i=1:12y(i+1)=0.368*exp(-0.

21、06486*i);z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1);w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1);s(i+1)=i+1;end yX0才w z*zsum(abs(w)/12計(jì)算結(jié)果如表10.5所示表10.5計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)值對照表k 1,2, L ,12GM計(jì)算值實(shí)測值殘差相對殘差曲(k 1)x(0) (k 1)e(0) (k1)q(0) (k 1)0.34490.2-0.1449-0.72440.32320.40.07680.19190.30290.25-0.0529-0.21170.28390.40.11610.29020.26610.450.18390.40870.24940

22、.350.10060.28750.23370.21-0.0237-0.11290.21900.14-0.0790-0.56450.20530.18-0.0253-0.14040.19240.155-0.0374-0.24120.18030.17-0.0103-0.06060.16900.15-0.0190-0.1265由表可以看出，最大誤差高達(dá)72.44%，最低的也達(dá)到6.06%，模擬誤差較大，進(jìn)一步計(jì)算平均相對誤差1 13q(0)(k)28.01%12 k 2平均相對誤差很較大，相對精度約70%因此為了提高遠(yuǎn)原點(diǎn)(即現(xiàn)時(shí))精度，即將最后個(gè)誤差減小，需采用殘差模型進(jìn)行修正。第三步，以部分殘差數(shù)

23、據(jù)為原始數(shù)據(jù)建立新的GM( 1，1)模型取k0 9得殘差尾端，即取最后5個(gè)數(shù)據(jù)的殘差：-0.0790,-0.0253,-0.0374,-0.0103,-0.0190,用此尾段可建立殘差尾段模型，取絕對值，得殘差數(shù)列g(shù)(0) q(0)0.0790,0.0253,0.0374,0.0103,0.0190(1)k10. 1 732e 0.1894k 0.2522(0)g10.1894k1 0.0328e 0.1894k第四步，將原始數(shù)據(jù)和部分殘差數(shù)據(jù)的兩個(gè)GM（ 1，1）模型即0.06486 k0.368e 0.06486k(0)少 k 10.1457k0. 1 876 e 0.1457k結(jié)合，得到

24、修正后的殘差 GM（1， 1）模型,k 90.368 e 0.06486 kx0 (k 1)0.368 e 0.06486 k 0.03280.1894 ke ,k 9第五步，用修正后的模型對 k 8,9, L ,12 的模擬值進(jìn)行修正，結(jié)果為：( x?(0) (9), x?(0) (10), L , x?(0) (13)0.2118,0.1993,0.1874,0.1762,0.1656第六步，精度檢驗(yàn)建立如下程序：function 10toliti021(X0)%format long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15;m,

25、n=size(X0);s(1)=1;for i=8:12y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i)-0.0328*exp(-0.1894*i); z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1);w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1);s(i+1)=i+1;endyX0z*zsum(abs(w)/5計(jì)算結(jié)果如表10.6所示表10.6修正后計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)原始數(shù)據(jù)值檢驗(yàn)結(jié)果k 8,9, L ,12GM計(jì)算值實(shí)測值殘差相對殘差5?(0) (k 1)x(0) (k 1)e(0) (k1)q(0) (k 1)0.21180.14-0.0718-0.51300.19930.18-0.0193-0

26、.10730.18740.155-0.0324-0.20930.17620.17-0.0062-0.03660.16560.15-0.0156-0.1040按此模型，可對k 9,10,11 ,12,13五個(gè)模擬 值進(jìn)行 修正，修 正后的 平均相 對誤 差1- q(k) 19.4%，精度有明顯的提高。尤其對于原點(diǎn)附近的兩個(gè)數(shù)據(jù)：0.17 ,0.155 k 9相對誤差分別降低為 3.66%和10.4%，低于允許誤差要求。這說明，對原點(diǎn)數(shù)據(jù)GM( 1，1)模型修正是有必要的。10.2.3GM模型在復(fù)雜問題中的應(yīng)用SARS疫情問題例10.3SARS疫情問題2003年的SARS疫情對我國的發(fā)展產(chǎn)生了一定

27、影響，尤其在經(jīng)濟(jì)發(fā)展方面產(chǎn)生了很大的影 響，下面就SAR疫情對我國經(jīng)濟(jì)的影響問題建立 GM模型并求解。10.2.3.1 問題的提出2003年的SARS疫情對中國部分行業(yè)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生了一定影響，特別是對部分疫情較 嚴(yán)重的省市的相關(guān)行業(yè)所造成的影響是顯著的，經(jīng)濟(jì)影響主要分為直接經(jīng)濟(jì)影響和間接影 響。直接經(jīng)濟(jì)影響涉及商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)等行業(yè)。很多方面難以進(jìn)行定量地評估，現(xiàn)僅就SARS疫情較重的某市商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)的影響進(jìn)行定量的評估分析。1月到2003年12月的商品零售額、接待旅游人數(shù)和綜合服務(wù)收入的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表10.7 10.9所示（億表10.7商品的零售額1997199

28、819992000200120022003元）1月 2 月3 月4月5 月6 月7月8 月9 月10 月11 月12 月83.079.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.793.392.590.996.9101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5104.2 102.3 101.092.2114.093.3101.0 103.5 105.2 109.5 109.2109.6111.2121.7131.3105.0125.7106.6116.0 117.6 118.0 121.7 118.7120.2127.8121.8121.9139

29、.3129.5122.5124.5 135.7 130.8 138.7 133.7136.8138.9129.6133.7137.5135.3133.0133.4 142.8 141.6 142.9 147.3159.6162.1153.5155.9163.2159.7158.4145.2 124.0 144.1 157.0 162.6171.8180.7173.5176.5123.5表10.8 接待海外旅游人數(shù)（萬人）月份 年份1月2月3月4月5月6月7月8月9 月10月11月12月19979.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.4199818.6

30、19999.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.1200015.9200110.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.6200216.5200311.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.511.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.713.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.915.417.123.511.61.782.618.816.220.124.926

31、.5表10.9 綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)額（億元）月份年份2月3 月4 月5 月6 月7 月8 月9 月10 月11 月12 月1997961441942763834665546527478329721998111169235400459565695805881101111391999151238335425541641739866975108712382000164263376531600711913103811731296149720011823184455767088561000 114512921435166720022163615046428189791142 130514791644192

32、020032414045847419231114 1298 1492168418852218試根據(jù)這些歷史數(shù)據(jù)建立預(yù)測評估模型，評估2003年SARS疫情給該市的商品零售業(yè)、旅游業(yè)和綜合服務(wù)業(yè)所造成的影響。10.2.3.2模型的假設(shè)與分析模型假設(shè)：（1）假設(shè)該市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都是可靠準(zhǔn)確的；（2） 假設(shè)該市在SARS疫情流行期間和結(jié)束之后，數(shù)據(jù)的變化只與SARS疫情的影響有關(guān)， 不考慮其它隨機(jī)因素的影響。模型分析：根據(jù)所掌握的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，在正常情況下，全年的平均值較好地反映了相關(guān)指標(biāo)的變化規(guī)律，這樣可以把預(yù)測評估分成兩部分：（1） 利用灰色理論建立 GM（1,1）模型，由1997 200

33、2年的平均值預(yù)測2003年平均值；（2） 通過歷史數(shù)據(jù)計(jì)算每個(gè)月的指標(biāo)值與全年總值的關(guān)系，從而可預(yù)測出正常情況下2003年每個(gè)月的指標(biāo)值，再與實(shí)際值比較可以估算出SARS疫情實(shí)際造成的影響。1023.3 建立灰色預(yù)測模型 GM(1,1)第一步，數(shù)據(jù)處理(1) 原始數(shù)據(jù)：根據(jù)表中的已知數(shù)據(jù)，計(jì)算 1997 - 2002年某項(xiàng)指標(biāo)的年平均值，作為原始數(shù)據(jù)，記為x(0) (x(0)(1), x(0) (2), L ,x(0)(6)并要求級比 (i) x(0) (i 1)/x(0) (i)(0.7515,1.3307)( i 1,2,L ,6)(2) 數(shù)據(jù)的累加生成：對原始數(shù)據(jù)x(0)進(jìn)行一次累加生成

34、，X x(0) (1)，k 1X(1) (k 1) x(k) X(0) (k 1) X(0) (i), k 1,2, L ,n 1i 1因此累加生成數(shù)據(jù)x(1)記為(1) (0) / (1) (1) ，X AGOx (x (1), x (2), L ,x (6)(2)背景值的選擇：取累加生成數(shù)據(jù)X的加權(quán)平均值為背景值Z，即z(1)(k 1) x(1) (k 1)(1)x(1) (k),( k 1,2,L ,5)其中為確定參數(shù)。背景值z記為z(x(1)(2), x(1) (3), L , x(1) (6)第二步，GM( 1，1)模型的建立(1)建立GM( 1 , 1)的白化微分方程模型dxdta

35、x u其中是a發(fā)展灰度，u是內(nèi)生控制灰度。(2)轉(zhuǎn)化為灰微分方程x(0) (k) az(1) (k)u,(k 2,3, L ,6)即矩陣形式為其中x(0) (k)az(k) u,(k2,3, L ,6)BA丫 (x(0) (2), x(0) (3),L,x(0) (6), Bz(1 )(2)z(1 )(3)MzM,A(3) 轉(zhuǎn)化為時(shí)間響應(yīng)函數(shù)利用最小二乘法得到參數(shù)的估計(jì)值a,u，進(jìn)而得到灰微分方程的解，對求導(dǎo)還原得(0)。即參數(shù)的估計(jì)值T 1 T(B B) BY微分方程的解式(也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù))為1)(XU ak)ea(0)(k1)a(x(0)(1)-)eaak其中 x(0)(1) x(1)(

36、1)，(0) (k 1)稱為還原值。第三步，利用模型預(yù)測指標(biāo)值根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)可以預(yù)測出正常情況下2003年的平均值，則 X，則預(yù)測2003年的總值為Z12x。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出2003年第i個(gè)月的指標(biāo)值占全年總值的比例為Ui，6aij,(i1,2,L ,12)j 1ui6aiji 1 j 1記為u (u1,u2,L ,u12)，于是可以可到2003年每一個(gè)月的指標(biāo)值 V Zu10.244模型求解及結(jié)果分析(1) 商品零售額根據(jù)商品零售額的數(shù)據(jù)表，計(jì)算得年平均值(即原始數(shù)據(jù)x(0) (1)和一次累加生成值X，分別為x(0) (1)(87.6167, 98.5,108.475,118.41

37、67,132.8083,145.4083)x(1)(87.6167,186.1167, 294.5917, 413.0083, 545.8167, 691.225)顯然x(0)的所有級比都在可容區(qū)域內(nèi)，這里取0.5，計(jì)算可得背景值(1)z (136.8667,240.3542,353.8000,479.4125,618.5208)計(jì)算得參數(shù)的估計(jì)值為 a 0.0983, U 84.7563，進(jìn)而得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)949.6443 e0.0983 k 862.0276X(0) (k 1)93.3710 e0.0983 k再根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)預(yù)測可得，2003年的月平均值為 X 160.4135億元；

38、年總值為Z 12X1925.0億元。又根據(jù)比例 Ui的表達(dá)式計(jì)算出每月的比例為ui(0.0794, 0.0807, 0.0749, 0.0786, 0.0819, 0.0818,0.0845, 0.0838, 0.0872, 0.0886, 0.0866, 0.092)因此2003年112月的預(yù)測值(單位：億元)為V Zu (152.8654,155.3486,144.1859,151.2177,157.7157,157.4140,162.5660,161.3128,167.9501,170.5260,166.7433,177.1169)將預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如表10.10所示表10.

39、10 2003年商品的零售額比較表(億元)月份實(shí)際值預(yù)測值1月2 月3月4 月5月6 月7月8 月9 月10月11月12月163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5176.5152.9 155.3 144.2 151.2 157.7 157.4 162.6 161.3 168.0 170.5 166.7177.1圖形如圖10-1 ：(藍(lán)線為實(shí)際值，紅線為預(yù)測值)180170160150 -120 匚1L0248 10 12圖10-1 2003年商品的零售額實(shí)際值與預(yù)測值比較圖通過圖形可以直觀的看出：(1)預(yù)

40、測值波動(dòng)比較小，真實(shí)值波動(dòng)比較劇烈；(2) 5月份左右真實(shí)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于預(yù)測值，年初和年末都高于預(yù)測值。這是由實(shí)際情況造成的，年初當(dāng)SARS疫情剛剛開始的時(shí)候，人們儲備保健藥品和保健食物等，拉動(dòng)了零售額的增長；5月份左右，SARS疫情比較猖獗，此時(shí)好多學(xué)校和單位等實(shí)行封閉管理，大大限制了人們的消 費(fèi)，因此零售額明顯降低；年末SARS疫情慢慢遠(yuǎn)去，此前被限制的消費(fèi)得以充分實(shí)現(xiàn)，又促進(jìn)了零售額的增長。當(dāng)然可以根據(jù)模型所得數(shù)據(jù)，對SARS疫情給該市的商品零售業(yè)造成的影響進(jìn)行定量分析，這里不再詳述。計(jì)算的MATLAB程序如下：fun ctio n 10toliti03clcclc,clearload sh

41、uju1.txt %把原始數(shù)據(jù)保存在純文本文件shuju1.txt 中han 1(e nd,:)=;x0=mea n(han 1,2) m=size(ha n1,2);n=size(x0,1);z1=;x1=cumsum(x0)alpha=0.5;for i=1:n-1z1(i,:)=(1-alpha)*x1(i)+alpha*x1(i+1);endz1Y=x0(2:n);B=-z1,ones(n-1,1);A=inv(B*B)*B*Y;a=A(1)u=A(2)b4=u/ab5=x1(1)-b4b6=-a*b5k=6;x7hat=(x0(1)-u/a)*(exp(-a*k)-exp(-a*(k

42、-1)z=m*x7hat u=sum(han1)/sum(sum(han1)v=z*u(2) 接待海外旅游人數(shù)根據(jù)接待海外旅游人數(shù)的數(shù)據(jù)表，計(jì)算得年平均值(即原始數(shù)據(jù)x(0) (1) )和一次累加生成值X(1),分別為x(0) (1)(19.1000,18.1083,20.8333,24.3917,24.7500,27.1750)X(1)(1) (19.1000,37.2083,58.0417,82.4333,107.1833,134.3583)顯然 X(0) 的所有級比都在可容區(qū)域內(nèi),這里取0.5, 計(jì)算可得背景值(1)z(1) ( 28.1542,47.6250,70.2375,94.80

43、83,120.7708)計(jì)算得參數(shù)的估計(jì)值為a0.0938, U 16.2671 ，進(jìn)而得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)0.0938 k1)192.4955 e173.3955X(0)(k 1) 192.4955e0.0938k再根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)預(yù)測可得，2003年的月平均值為x 30.2649萬人；年總值為Z 12x363.1785萬人。又根據(jù)比例 山的表達(dá)式計(jì)算出每月的比例為ui (0.0407, 0.0732, 0.0703, 0.0878, 0.0907, 0.0848,0.0836, 0.1022, 0.101,0.1041,0.0914, 0.0701)因此2003年112月的預(yù)測值(單位：萬人)

44、為V Zu ( 14.7992,26.5801,25.5439,31.8961,32.9548,30.7923,30.3644,37.1220,36.6715,37.7978,33.1800,25.4763)將預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如表10.11所示(萬人)表10.11 2003年接待海外旅游人數(shù)月份實(shí)際值預(yù)測值1月2 月3月4 月5月6 月7月8 月9 月10月11月12月15.4 17.123.511.61.782.618.816.220.124.9 26.521.814.8 26.625.531.933.030.830.4 37.136.737.8 33.225.5圖形如圖10-2

45、 :(藍(lán)線為實(shí)際值，紅線為預(yù)測值)35 -30 -25 - -jr20 - -_-I/15 -/- /10 - ； /5-0 LITIT :024681012圖10-2 2003年接待海外旅游人數(shù)實(shí)際值與預(yù)測值比較圖通過圖形可以直觀的看出：(1)預(yù)測值波動(dòng)比較小，真實(shí)值波動(dòng)比較劇烈；(2)真實(shí)值低于預(yù)測值，尤其5月份左右真實(shí)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于預(yù)測值，年初和年末相差不太大。這是由實(shí)際情況造成的，5月份左右SARS疫情比較猖獗，此時(shí)好多學(xué)校和單位等實(shí)行封閉管理，大大限制了人們的出行，同時(shí)人們也基于自身安全的因素，能不出門就不出門，因此旅游人數(shù)大大降低，旅游業(yè)處于低谷；年初和年末SARS疫情對人們出行的影響

46、不大，因此年初和年末年末海外旅游人數(shù)的實(shí)值略低于預(yù)測值。(3) 綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)據(jù)根據(jù)綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)表，計(jì)算得年平均值(即原始數(shù)據(jù)x(0) (1)和一次累加生成值X(1),分別為x(0) (1)(483.3,588.2,657.8,778.4,874.9,1000.9)x(1) (483.3,1071.5,1729.3,2507.6,3382.5,4383.5)顯然x(0)的所有級比都在可容區(qū)域內(nèi)，這里取0.5，計(jì)算可得背景值z(777.4,1400.4,2118.5,2945.1,3883.0)計(jì)算得參數(shù)的估計(jì)值為a 0.1343, u 481.2013。進(jìn)而得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)X（k

47、 1）406.59 e0-1343 k 358.26X（0） （k 1） 546.1129 e0.1343k再根據(jù)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)預(yù)測可得，2003年的月平均值為 x 1144.0億元；年總值為Z 11x1258.4億元。又根據(jù)比例Ui的表達(dá)式計(jì)算出每月的比例為ui (0.0191, 0.031,0.0433, 0.0591,0.0728, 0.085,0.1046, 0.1205, 0.1358, 0.1515, 0.1749)因此2003年112月的預(yù)測值(單位：億元)為V Zu (240.1,389.7,545.2,743.8,915.8,1100.9,1316.2,1516.6,1708.

48、7,1906.5,2200.9)將預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如表10.12所示表10.12 2003年綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)據(jù)的比較表（億元）月份 2月3月4月5月6月7月8 月9 月10 月11月12月實(shí)際值 241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218預(yù)測值 240 390 545 744 916 1101 1316 1517 1709 1907 2201圖形如圖10-3 :（藍(lán)線為實(shí)際值，紅線為預(yù)測值）250020001500100050012345678910110圖10-3 2003年綜合服務(wù)業(yè)累計(jì)數(shù)據(jù)實(shí)際值與預(yù)測值比較圖通過圖形可以

49、直觀的看出：（1）預(yù)測值與真實(shí)值相差不大；（2）5月份左右真實(shí)值與預(yù)測值最接近。這是由實(shí)際情況造成的，SARS疫情對于綜合服務(wù)業(yè)中的部分行業(yè)影響較大，如航空交通運(yùn)輸、賓館餐飲等，但有些行業(yè)影響不大，如電信、通訊等，因此總平均來看， 影響還不算太大。（4）模型的評價(jià)從三方面的結(jié)果分析，可以看出模型的結(jié)論與實(shí)際情況相符， 這說明了模型的正確性和可靠性。雖然該模型是就某經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行評估預(yù)測而建立的，但類似地也適用于其它方面的一些數(shù)據(jù)規(guī)律的評估預(yù)測問題，即該模型具有很廣泛的應(yīng)用性。10.2.4 GM（ 1，n）模型的應(yīng)用一一因素相關(guān)問題GM（ 1，n）模型表示一階的含有 n個(gè)變量灰色模型，適合于建立系統(tǒng)的狀態(tài)模型與各變量的動(dòng)態(tài)分析，與 GM（ 1，1）模型不同，不適合預(yù)測用；但建模與計(jì)算過程與GM（ 1，1）模型類似。GM（ 1，2）模型是G