焦半徑公式的證明

1、焦半徑公式的證明【尋根】 橢圓的根在哪里？自然想到橢圓的定義：到兩定點Fi,K（| FiFa|=2 c）距離之和為定值 2a（2a>2c）的動點軌跡（圖形）.這里，從橢圓的“根上”找到了兩個參數c和a.第一個參數c，就確定了橢圓的位置； 再加上另一個參數 a,就確定了橢圓的形狀和大小.比較它們的“身 份”來，c比a更“顯貴”.遺憾的是，在橢圓的方程2 2工y（+= 1廠-廣里，卻看不到c的蹤影，故有人開玩笑地說：橢圓方程有“忘本”之嫌為了“正本”，我們回到橢圓的焦點處，尋找c，并尋找關于c的“題根”一、用橢圓方程求橢圓的焦點半徑公式數學題的題根不等同數學教學的根基，數學教學的根基是數學概

2、念，如橢圓教學的根基是橢圓的定義 但是在具體數學解題時，不一定每次都是從定義出發(fā)，而是從由數學定義引出來的某些已知結論（定理或公 式）出發(fā)，如解答橢圓問題時，經常從橢圓的方程出發(fā)【例1】已知點P（x，y）是橢圓-<1上任意一點,Fi（ -c,0 ）和F2（c,0）是橢圓的兩個焦CCX X點求證:| PF|=a+-i ； | PB|=a 【分析】可用距離公式先將| PF|和| PR|分別表示出來然后利用橢圓的方程“消 y”即可【解答】由兩點間距離公式，可知(1)| PF|=從橢圓方程 J 一解出代（2）于（1）并化簡，得a- x| PF|= 門(-aw xw a)Ca- X同理有 | PF

3、2|=J(- aw xw a)【說明】通過例1,得出了橢圓的焦半徑公式r i=a+ex2=a-ex(e=& )從公式看到，橢圓的焦半徑的長度是點P （x,y ）橫坐標的一次函數.ri是x的增函數，r2是x的減函數，它們都有最大值a+c,最小值a-c.從焦半徑公式，還可得橢圓的對稱性質 （關于x,y軸，關于原點）.二、用橢圓的定義求橢圓的焦點半徑用橢圓方程推導焦半徑公式，雖然過程簡便，但容易使人誤解，以為焦半徑公式的成立是以橢圓方程為其依賴的為了看清焦半徑公式的基礎性，我們考慮從橢圓定義直接導出公式來橢圓的焦半徑公式，是橢圓“坐標化”后的產物，按橢圓定義，對焦半徑直接用距離公式即可【例2

4、】P （x,y ）是平面上的一點，P到兩定點Fi（-c，0）,F2（ c，0）的距離的和為 2a（ a>c>0）.試用x，y的解析式來表示 ri=| P冋和2=| PB|.【分析】問題是求ri=f（x）和r2=g（x）.先可視x為參數列出關于ri和2的方程組，然后從中得出ri 和2.【解答】 依題意，有方程組勺+乜=2盤+十/謂（X Y尸+護-得-：-A代于并整理得ri-r2=：聯(lián)立，得I盤【說明】 橢圓的焦半徑公式可由橢圓的定義直接導出，對橢圓的方程有自己的獨立性 .由于公式中含c而無b其基礎性顯然.三、焦半徑公式與準線的關系x二-為準線的橢圓上任意一點.PDL l 1于D.按橢

5、圓的第二定義，則有e PF I-&PD |=+即 ri=a+ex,同理有2=a-ex.對中學生來講，橢圓的這個第二定義有很大的“人為性”因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質定理更符合邏輯性A= ± .準線缺乏定義的“客觀性”【例3】P(x，y)是以F(-c,0), F2 (c, 0)為焦點，以距離之和為2a的橢圓上任意一點.直線I為x=- 一 , PD丄 I 交 I 于 D.求證：【解答】由橢圓的焦半徑公式| PF|=a+ex.對| PD|用距離公式（-JPD|= x- =x+IMITW故有如蘭） 和-亍 T+ X +CC【說明】此性質即是:該橢圓上任意一點,到定點 F（

6、-c, 0） （ F2（c, 0）與定直線 li：x=-（l2：x=：）的距離之比為定值 e (0<e<1).四、用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程現行教材在橢圓部分，只完成了“從曲線到方程”的單向推導，實際上這只完成了任務的一半而另一半，從“方程到曲線”，卻留給了學生（關于這一點，被許多學生所忽略了可逆推導過程并不簡單，特別是逆過程中的兩次求平方根） 其實，有了焦半徑公式，“證明橢圓方程為所求”的過程顯得很簡明【例4】 設點P（x, y）適合方程-.求證：點P（x, y）到兩定點Fi（ -c, 0）和F2（c，0）的距離之和為2a（ c2=a2-b2）.【分析】這題目是為了完成“從方程到曲線”的這一逆向過程利用例2導出的焦點半徑公式，很快可推出結果.【解答】P（x，y）到Fi（-c,0 ）的距離設作ri=| PF|.由橢圓的焦點半徑公式可知ri=a+ex同理還有r2=a-ex+得ri+2=2a即1PF|+| PB|=2a.即P（x，y）到兩定點Fi（ - c，0）和H（ c, 0）的距離之和為 2a.【說明】