小船渡河——數(shù)學(xué)建模11

1、2. 一只小船渡過寬為d的河流，目標(biāo)是起點(diǎn) A 正對(duì)著的另一岸B點(diǎn)，已知河水流速vi與船在 靜水中的速度V2之比為k,(1)建立小船航線的方程，求其解析解；(2)設(shè) d=100,vi=1m/s,v2=2m/s,用數(shù)值解法求渡河所需時(shí)間、任意時(shí)刻小船的位置及航行曲線， 作圖，并與解析解比較。(3)若流速 vi 為 0, 0.5, 1.5, 2 (mis),結(jié)果將 如何.模型建立：如圖所示，以 B為原點(diǎn)， 沿河岸向右為x軸正向，垂直河 岸向下為y軸正向，建立坐標(biāo)系。 設(shè)在t時(shí)刻，船在x方向上的位 移是x(t),在Y方向上的位移是 y(t)。在t時(shí)刻，船在x方向上的速 度是x'(t),在y方

2、向上的速度是 y'(t),將船的速度v和水度v1在 x,y軸方向上分解，可得：'v x= v1-v2sinv y=-v2cos又因?yàn)榇^始終指向 B點(diǎn)，所以:1、解析解：令x= r sinq; y=r cosn,將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù) 的的鏈?zhǔn)椒▌t，我們可以得到：dy = cosdr - r sin d由于 dx= vxdt, dy= vydt,代入上式，可得:vxdt = sin 二 dr r cos d.vydt = cos dr - r sinQ - dj最終解得：(其中k=)MATLAB 仿真:我們可以通過 MATLAB觀察小船的運(yùn)動(dòng)軌跡:a=pi/2:-0.01

3、*pi:0;d=100;k=2;r=d*abs(tan(a/2).Ak./sin(a);polar(a,r,'-o')hold onk=1;r= d*abs(tan(a/2).Ak./sin(a);polar(a,r,'.')k=5;r=d*abs(tan(a/2).Ak./sin(a);polar(a,r,'-A')k=0.8;r=d*abs(tan(a/2).Ak./sin(a);polar(a,r, -*')legend('k=2','k=T,'k=5','k=08)解析解結(jié)論:A由于

4、當(dāng)趨近于0時(shí)，的極限存在與否與 k有關(guān)，即:。k>1=一,k=1(其中 k=)l ,k<1由于x= r sin , ; y=r cosQ ,最終可以得到小船運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為：x=d tank() coty=d tank()(其中 k=1)2、數(shù)值解：下面將用龍格庫塔方法(ode45)對(duì)微分方程和微分 方程組進(jìn)行近似求解。源程序如下：%fun.m%此函數(shù)是微分方程組function Xdot = fun(t, x, v1, v2)d=100, v1=1 , v2=2;if (norm(x)>1e-5)Xdotv1-v2*x(1)/sqrt(x(1)A2+x(2)A2),-v

5、2*x(2)/sqrt(x(1).2+x八2;elseXdot=0,0;endhold off;x0=0,-d;t,x=ode45(fun,0,1000,x0口 v1, v2);plot(x(:,1),x(:,2), 7)；hold on;t, x(:,1),x(:,2)%下面是作由精確解的圖像Seta=linspace(-pi/2,0,100);d=100, v1 =1, v2=2;rou=d*(abs(tan(seta/2).A ( v2/v1)/sin(seta);xp=-rou.*cos(seta);yp=-rou.*sin(seta);plot(xp,yp, 'r*'

6、);圖2 W=1時(shí)渡河路線圖3 vi=0時(shí)渡河路線圖5 vi=l.5時(shí)渡河路線圖6 vi=2時(shí)渡河路線圖 7 vi=注：在fun.m 中, 加入了 (norm(x)>1e- 5) 的限制條件, 以保證在船離B 點(diǎn)足夠近時(shí)中止運(yùn)算, 否則無法得出正確結(jié)果。依次修改參數(shù), V 1運(yùn)行結(jié)果如下 :圖 2 所示為v1=1 的渡河路線, 所用時(shí)間為 : 66.7 秒。圖 3 所示為v1=0 時(shí)的渡河路線, 說明在靜水中 , 船沿直線到達(dá) B 點(diǎn)。這與直觀經(jīng)驗(yàn)相符合, 渡河時(shí)間為 50 秒。圖4 所示為v1=0.5 時(shí)的渡河路線, 渡河時(shí)間為: 53.3 秒。圖5 所示為v1=1.5 時(shí)的渡河路線,

7、 渡河時(shí)間為: 114.3 秒圖6所示為Vi=2時(shí)的渡河路線，從圖上看由,到t=1000秒時(shí) , 船已到達(dá)對(duì)岸 , 但是并沒有到達(dá)B 點(diǎn) , 而是在 B 點(diǎn)下游50 米處。 由于船頭指向 B 點(diǎn) , 即船頭指向逆流方向 , 且船速( 靜水 ) 等于水速 , 可知船將保持原地不動(dòng)。 也就是說 , 船永遠(yuǎn)到達(dá)不了 B 點(diǎn)。所以渡河時(shí)間為無窮大。圖 7 所示為v1=2.5 時(shí)的渡河路線, 渡河時(shí)間與v1=2 時(shí)情況類似 , 船能到達(dá)對(duì)岸 , 但是在 B 點(diǎn)下游。 由于船速 ( 靜水 ) 小于水速 , 船將被水沖得順流而下 , 同樣永遠(yuǎn)到達(dá)不了 B 點(diǎn)。結(jié)果分析：用龍格- 庫塔方法求得的曲線圖，同解析解的結(jié)果相比較， 可以看出， 兩種方法的結(jié)果基本上是相符的。 但在接近 B 點(diǎn)時(shí)，解析解將無法得到正確解(分母為零的情況)。隨著 v1 的變化，船的航線也在變化：1) . 當(dāng) v1=0 時(shí)，航線為直線；2) . 當(dāng) 0< v1<2 時(shí)，航線呈一個(gè)類似于拋物線的曲線， v1 越大， “類拋物線 ”