曲線與方程(2)概要

1、曲線與方程（2）（I）課題：求曲線的方程（n）教學(xué)目標(biāo)：1 .知識(shí)目標(biāo)：了解用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的方法，了解解析幾何的基本問(wèn)題.理解曲 線的方程、方程的曲線的概念，能根據(jù)曲線的已知條件求出曲線的方程，了解兩條曲線 交點(diǎn)的概念.2 .技能目標(biāo)：通過(guò)求曲線方程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和全面分析問(wèn)題的能力，幫助 學(xué)生理解解析幾何的思想方法，進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法（出）教材分析：1）知識(shí)結(jié)構(gòu)：曲線與方程是在初中軌跡概念和本章直線方程概念之后的解析幾何的基本概念，在充分討論曲線方程概念后，介紹了坐標(biāo)法和解析幾何的思想，以及解析幾何的基本問(wèn)題，即由曲線的已知條件，求曲線方程；通過(guò)方程，研究曲線的性

2、質(zhì).曲線方程的概念和求曲線方程的問(wèn)題又有內(nèi)在的邏輯順序.前者回答什么是曲線方程，后者解決如何求出曲線方程.至于用曲線方程研究曲線性質(zhì)則更在其后，本節(jié)不予研究.因此，本節(jié)涉及曲線方程概念和求曲線方程兩大基本問(wèn)題.2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的重點(diǎn)是使學(xué)生理解曲線方程概念和掌握求曲線方程方法，以及領(lǐng)悟坐標(biāo)法和解析幾何的思想.本節(jié)的難點(diǎn)是曲線方程的概念和求曲線方程的方法.（IV）過(guò)程設(shè)計(jì)：【引入】1 .提問(wèn)：什么是曲線的方程和方程的曲線.2 .坐標(biāo)法和解析幾何的意義、基本問(wèn)題.對(duì)于一個(gè)幾何問(wèn)題， 在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上， 用坐標(biāo)表示點(diǎn)；用方程表示曲線，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì)，這一研

3、究幾何問(wèn)題的方法稱(chēng)為坐標(biāo)法，這門(mén)科學(xué)稱(chēng)為解析幾何.解析幾何的兩大基本問(wèn)題就是：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程.（2）通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì).事實(shí)上，在前邊所學(xué)的直線方程的理論中也有這樣兩個(gè)基本問(wèn)題.而且要先研究如何求出曲線方程，再研究如何用方程研究曲線.本節(jié)課就初步研究曲線方程的求法.如何根據(jù)已知條件，求出曲線的方程.【實(shí)例分析】例1：設(shè)從 3兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（T，T）、（3, 7）,求線段 垂直平分線，的方程.首先由學(xué)生分析：根據(jù)直線方程的知識(shí)，運(yùn)用點(diǎn)斜式即可解決.由斜率關(guān)系可求得k = -i的斜率為 2解法一：易求線段 W3的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）,于是有廠3即i的方程為1+2

4、y 7 一 °分析、引導(dǎo)：上述問(wèn)題是我們?cè)缇蛯W(xué)過(guò)的，用點(diǎn)斜式就可解決.可是，你們是否想過(guò)恰好就是所求的嗎？或者說(shuō)就是直線j的方程？根據(jù)是什么，有證明嗎？（通過(guò)教師引導(dǎo)，是學(xué)生意識(shí)到這是以前沒(méi)有解決的問(wèn)題，應(yīng)該證明，證明的依據(jù)就是定義中的兩條）.證明：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.設(shè)財(cái)（%, 丁口）是線段 WB的垂直平分線上任意一點(diǎn)，則即J伉+y+瓦+ 卜_ 3）2 +3將上式兩邊平方，整理得%+2%-7 =。這說(shuō)明點(diǎn)M的坐標(biāo)（七，兒）是方程彳+ 2丁-7=。的解.（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)（如M）是方程的任意一解，則%+2%-7 = 02K

5、M到乂、 B的距離分別為卜瓦+11+5+1?= J（8-2yJ+& + iy=小沙；-6乃+13）15| = Jtx1-3j1+（71-7）2=小沙；-6乃+13）所以M4=l*,即點(diǎn)一在直線如上.綜合（1）、（ 2）,是所求直線的方程.至此，證明完畢.回顧上述內(nèi)容我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：在證明（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解中，設(shè) M/，乂）是線段達(dá)力的垂直平分線上任意一點(diǎn)，最后得到 式子 % + 2獷=。,如果去掉腳標(biāo)，這不就是所求方程x + 2y-7 = 0 嗎？可見(jiàn)，這個(gè)證明過(guò)程就表明一種求解過(guò)程，下面試試看：解法二：設(shè)了）是線段乂3的垂直平分線上任意一點(diǎn)，也就是點(diǎn)&q

6、uot;屬于集合產(chǎn)制網(wǎng)=|網(wǎng)由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)所適合的條件可表示為將上式兩邊平方，整理得/2廠7 =0果然成功，當(dāng)然也不要忘了證明，即驗(yàn)證兩條是否都滿(mǎn)足.顯然，求解過(guò)程就說(shuō)明第一條是正確的(從這一點(diǎn)看，解法二也比解法一優(yōu)越一些)；至于第二條上邊已證.這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線方程的理論，又非常自然， 還體現(xiàn)了曲線方程定義中點(diǎn)集與對(duì)應(yīng)的思想.因此是個(gè)好方法.讓我們用這個(gè)方法試解如下問(wèn)題：例2：點(diǎn)M與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)班0)求點(diǎn)M的軌跡方程.分析：這是一個(gè)純粹的幾何問(wèn)題，連坐標(biāo)系都沒(méi)有.所以首先要建立坐標(biāo)系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標(biāo)軸，建立

7、直角坐標(biāo)系.然后仿照例i中的解法進(jìn)行求解.求解過(guò)程略.【概括總結(jié)】通過(guò)學(xué)生討論，師生共同總結(jié)：分析上面兩個(gè)例題的求解過(guò)程，我們總結(jié)一下求解曲線方程的大體步驟：首先應(yīng)有坐標(biāo)系；其次設(shè)曲線上任意一點(diǎn)；然后寫(xiě)出表示曲線的點(diǎn)集；再代入坐標(biāo)；最后整理出方程，并證明或修正.說(shuō)得更準(zhǔn)確一點(diǎn)就是：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)例如(工，y)表示曲線上任意一點(diǎn) "的坐標(biāo)；(2)寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M的集合產(chǎn)二“(")；(3)用坐標(biāo)表示條件 pM ,列出方程/卜，丁)=。；(4)化方程 心，為最簡(jiǎn)形式；（5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).般情況下，求解過(guò)程已表明曲線上的點(diǎn)

8、的坐標(biāo)都是方程的解；如果求解過(guò)程中的轉(zhuǎn)化都是等價(jià)的，那么逆推回去就說(shuō)明以方程的解為坐 圖2標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).所以，通常情況下證明可省略，不過(guò)特殊情況要說(shuō)明.上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：建系設(shè)點(diǎn)；寫(xiě)出集合；列方程；化簡(jiǎn)；修正.下面再看一個(gè)問(wèn)題：例3：已知一條曲線在 X軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到 力（0,2）點(diǎn)的距離減去它到 x軸 的距離的差都是2,求這條曲線的方程.【動(dòng)畫(huà)演示】用幾何畫(huà)板演示曲線生成的過(guò)程和形狀，在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中尋找關(guān)系.解：設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，MS 1工軸,垂足是B （如圖2）,那么點(diǎn)"屬于集合p=m M卜阿1 = 2）由距離公式，點(diǎn) M適合的條件可表示為而+卜-2

9、） = 2將式移項(xiàng)后再兩邊平方，得EM'"）?；?jiǎn)得由題意，曲線在 工軸的上方，所以 70,雖然原點(diǎn) 0的坐標(biāo)（0, 0）y = 1/是這個(gè)方程的解，但不屬于已知曲線， 所以曲線的方程應(yīng)為8它是關(guān)于 /軸對(duì)稱(chēng)的拋物線，但不包括拋物線的頂點(diǎn)，如圖 2中所示.【練習(xí)鞏固】題目：在正三角形 ABC內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,已知產(chǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為|尸d、 冏、pq,且有眼卜閥卜陽(yáng)求點(diǎn)p軌跡方程.分析、略解：首先應(yīng)建立坐標(biāo)系，以正三角形一邊所在的直線為一個(gè)坐標(biāo)軸，這條邊的垂直平分線為另一個(gè)軸，建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單，如圖3所示.設(shè)3、C的坐標(biāo)為加0）,則R的坐標(biāo)為（0,屈），p的坐標(biāo)為（T，y）.根據(jù)條件代入坐標(biāo)可得X2 + （y- J3aj =（彳十十刀工一白十刀，化簡(jiǎn)得由于題目中要求點(diǎn) P在三角形內(nèi)，所以 J。，在結(jié)合式可進(jìn)一步求出