平新喬微觀經(jīng)濟學十八講課后習題詳解(第10講策略性博弈與納什均衡)

1、平新喬微觀經(jīng)濟學十八講第10講 策略性博弈與納什均衡跨考網(wǎng)獨家整理最全經(jīng)濟學考研考題，經(jīng)濟學考研課后習題解析資料庫,您能夠在那個 地址查閱歷年經(jīng)濟學考研真題，經(jīng)濟學考研課后習題,經(jīng)濟學考研參考書等內(nèi)容,更有跨考 考研歷年輔導的經(jīng)濟學學哥學姐的經(jīng)濟學考研體會，從先輩中取得的體會對初學者來講是寶 貴的財富，這或許能幫你少走彎路，躲開一些陷阱。以下內(nèi)容為跨考網(wǎng)獨家整理，如您還需更多考研資料，可選擇經(jīng)濟學一對一在線咨詢進 行咨詢。1 .假設廠商A與廠商B的平均本錢與邊際本錢都是常數(shù)，Mg =10, M%=8,對廠 商產(chǎn)出的需求函數(shù)是=500 20（1）若是廠商進行Bertrand競爭，在納什均衡下的市

2、場價錢是多少？（2）每一個廠商的利潤別離為多少？（3）那個均衡是帕累托有效嗎？解：（1）若是廠商進行Bertrand競爭，納什均衡下的市場價錢是/人 = 10-£ , 八=10, 其中£是一個極小的正數(shù)。理由如下：假設均衡時廠商A和B對產(chǎn)品的定價別離為p,和/%,那么必有p” 2 10, Ps>8,即廠 商的價錢必然要高于產(chǎn)品的平均本錢。第二，達到均衡時，和力都可不能嚴格大于10。 不然，價錢高的廠商只需要把自己的價錢降得比對手略低，它就能夠夠取得整個市場，從而 提高自己的利潤。因此均衡價錢必然知足4 10，pB<10a可是由于外的下限也是10, 因此均衡時分=

3、10。給定分=10,廠商B的最優(yōu)選擇是令分=10-£,那個地址£是一個 介于。到2之間的正數(shù)，這時廠商B能夠取得整個市場的消費者。綜上可知，均衡時的價錢 為 P人=0, §=（） - £ a（2）由于廠商A的價錢嚴格高于廠商B的價錢，因此廠商R的銷售量為零，從而利潤 也是零。下而來確信廠商B的銷售量，現(xiàn)在廠商B是市場上的壟斷者，它的利潤最大化問題 為：max pq-cq其中 =10-£,= 500-20x（10-）,把這兩個式子代入式中，取得:哨（10 - £-8兒500 - 20（10-初解得£=0,由于£必需嚴

4、格大于零，這就意味著£能夠取一個任意小的正數(shù)，因此廠商B 的利潤為：500-20x（10-£）（10-£）o（3）那個結果不是帕累托有效的。因為廠商B的產(chǎn)品的價錢高于它的邊際本錢，因此 若是廠商B和消費者能夠為額外1單位的產(chǎn)品協(xié)商一個介于8到10-e之間的價錢，那么廠 商B的利潤和消費者的剩余就都能夠取得提高，同時又不損害廠商A的剩余（因為A的利潤 仍是零）。2 .（單項選擇）在下面的支付矩陣（表10-1）中，第一個數(shù)表示A的支付水平，第二 個數(shù)表示B的支付水平，a、葭c、d是正的常數(shù)。若是A選擇“下”而B選擇“右”， 那么：表10-1博弈的支付矩陣B左右A1.c

5、j1滴d,l（1） 且<1（2） cvl且<1（3） < 1 且< 4（4） 且（/ < 1（5） a< < d【答案】（3）【分析】由于（下，右）是均衡策略，因此給定B選擇“右”，“下”是A的最優(yōu)選擇, 這就意味著。<4： 一樣的，給定A選擇"下”，“右”也是B的最優(yōu)選擇，這就意味著<1 03.史密斯與約翰玩數(shù)字匹配游戲，每一個人選擇一、2或3。若是數(shù)字相同，約翰支 付給斯密3美元。若是數(shù)字不同，斯密支付給約翰1美元。（1）描述那個計謀的報酬矩陣，而且證明沒有純策略納什均衡策略組。（2）若是每一個局中人以;的概率選擇每一個數(shù)字，

6、證明那個計謀的混合策略確實有 一納什均衡。那個計謀的值是什么？解：（1）依照題意，構造如下的支付矩陣（表10-2）（其中每一欄中前一個數(shù)字是史密 斯的支付，后一個數(shù)字是約翰的支付）：表10-2玩數(shù)字匹配游戲的支付矩陣約翰123史密期13,-3-1J-1J2-13,-3-1,13-1,13,-3第一由史密斯來選擇，假設史密斯選擇1,并期望約翰選擇1，從而使自己取得3的支 付?？墒?，若是史密斯選擇1,那么約翰必然會選擇2或3,從而使自己取得1,而不是-3。 假設約翰選擇2,他期望史密斯選擇1或3,以使得自己取得1,而事實上史密斯會選擇2, 使得約翰取得-3,等等。不斷的循環(huán)反復，最終也無法達到一個

7、使得兩邊都能夠同意的方案。 因此，那個計謀沒有一個純策略納什均衡，（2）假設均衡時，約翰選擇一、二、3的概率別離為a和1-為-公,那么現(xiàn)在史 密斯在選擇一、二、3之間是沒有區(qū)別的，即：從而解得類似的方式能夠解得史密斯在均衡狀態(tài)下選擇一、二、3的概率別離為1/3。4.假定世界上氮的整個供給由20個人操縱，每一個人擁有這種強有力的礦物10000 克。世界對頰的需求是2 = looo-iooop其中是每克的價錢。（1）若是所有擁有者合謀操縱氮的價錢，他們設置的價錢是多少？他們能夠賣出的量 是多少？（2）什么緣故（1）中計算的價錢是不穩(wěn)固的？（3）通過改變要求維持市場價錢的產(chǎn)出，在沒有廠商能夠獲利的意

8、義下存在一個穩(wěn)固 的均衡時，頰的價錢是多少？解：（1）所有擁有者合謀操縱氨的價錢，現(xiàn)在總的利潤函數(shù)為：利潤最大化的一階條件為:解得總供給量為。=500 （克）?，F(xiàn)在 =1-一匚0 = 0.5,每一個廠商的供給量為 1000500/20 = 25 （克）。（2）對第一個廠商而言，給定其他每一個廠商的供給量為25克，那么他的利潤最大化問題為：依照一階條件解得:q = 262.5可見在其他廠商的供給量為25克的條件下，廠商1增加供給量會提高自己的利潤。類 似的結論對市場上的其他廠商也成立，因此合謀是不穩(wěn)固的。（3）題目要求完全競爭巾場的均衡結果。令 = MC,取得氨的價錢為零。市場上的總 供給量為1

9、000克，每一個成員的出售量為50克。5 .在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占優(yōu)均衡。表10-3博弈的支付矩陣2LR1U4,35,16,2M2J8,43,6D3,09,62,8答：關于行為人2而言，R優(yōu)于M,因此行為人2將會剔除掉M策略，只在R、L這 兩個策略中進行選擇：關于行為人1來講，明白了行為人2會在L、K策略當選擇，那么U 占優(yōu)于M和。策略。當行為人2明白行為人1選擇了 U策略時，他那么最終會選擇L策略。 因此，最終的占優(yōu)均衡為（U, L），6 .模型化下述劃拳博弈：兩個老朋友在一路劃拳飲酒，每一個人有四個純策略：桿子、 老虎，雞和蟲子。輸贏規(guī)那么是：桿子降考虎，老虎降雞，

10、雞降蟲子，蟲子降桿子。兩個 人同時出令。若是一個打敗另一個，贏者的效用為1,輸者的效用為-1;不然，效用均為0。 寫出那個博弈的收益矩陣。那個博弈有純策略納什均衡嗎？計算出混合策略納什均衡。答，（1）該題的支付矩陣（表10-4）為：表10T劃拳博弈的支付矩陣游戲者2桿子老虎雞蟲子游戲者1桿子0,01,-10,0-1J老虎-1,1。,01,-10,0雞0,0-1,10,01,-1蟲子1,-10,0-140,0（2）這是一個零和博弈，沒有純策略納什均衡°這是因為：對兩個參與者，給定對方策略時，本方的占優(yōu)策略對應的支付以下劃線標注，均衡存在 當且僅當在同一欄中顯現(xiàn)兩個下劃線。由此可知，該博

11、弈沒有純策略納什均衡。（3）記游戲者1別離選擇各個策略的概率為/不生.3，幾，游戲者2別離選擇各個策 略的概率為,%,%，% °當游戲者2別離以概率血,%選擇四個策略時，游戲者1的四個策略的收益應該 相等（依照一樣支付原那么）：lx%+（T）x% =（-1）x1+1X/ =（T）x% + lx% =lx+（-l）x%又因為 +q,+ q4 = 1，能夠取得：彷=5 = % %。4同理，當關于游戲者1別離以概率ppj選擇四個策略時，游戲者2的四個策略 的收益應該相等（依照一樣支付原那么）：lxp2+(-l)Xp4 =(-l)XP|+lxp3=(_l)X2+lX4= lxP|+(_l)X

12、3又因為 P1 + P? + P. + /乙=1，能夠取得：Pi =五。因此混合策略納什均衡為：（名,4），其中7 .巧克力市場上有兩個廠商，各自都能夠選擇去市場的高端（高質量），仍是去低端（低質量）。相應的利潤由如下收益矩陣（表10-5）給出：表105巧克力商的博弈一.- - -一一.廠商2低高廠商1低-20, -30900,6001100,80050,50（1）若是有的話，哪些結果是納什均衡？（2）若是各企業(yè)的經(jīng)營者都是保守的，并都采納最大最小化策略，結果如何?（3）合作的結果是什么？（4）哪個廠商從合作的結果中得益處最多？哪個廠商要說服另一個廠商需要給另一個 廠商多少益處？解：（1）納什

13、均衡的結果是（高，低）和（低，高），相應的收益別離為（100, 800） 和（900, 600）o（2）若是1選擇低，那么有niin-20,900） = -20 ：若是1選擇高，那么有min100.50 = 50。因此若是1想要最大化它的最小支付，其最優(yōu)決策為：niax min -20,900. min 100.50 = niax -20,50 = 50因此1會選擇高。類似的分析說明2也會選擇高，因此兩個人都采納最大最小策略的均 衡結果為（高，高），相應的支付為（50, 50）o（3）若是兩邊進行合作，那么他們的目標確實是總利潤最大化，如此最終的結果確實 是（低，高），相應的支付為（900,

14、600）0（4）廠商1從合作的結果中取得的益處多。為了使得廠商2不選擇另外一個納什均衡 （高，低），廠商1應當給廠商2一筆800-600 = 200的支付.8 .考慮在c, g,三個要緊汽車生產(chǎn)商之間的博弈。每一個廠商能夠生產(chǎn)要么大 型車，要么小型車，但不可同時生產(chǎn)兩種型號的車。即，關于每一個廠商i, i = c, /, g,他的行動集合為4= SM.LG。用出代表,所選擇的行動，"A，代表廠商i的利潤。假設，每一個廠商的利潤函數(shù)概念如下："三人若是。，j =C > f 9 g ;y，若是 a'=SM, j = c , f , g；a,若是 =LG,且a，=S

15、M , ja f 若是a' =SM ,且a，=LG, j ；P，若是 a'=a，=LG,且 a*=SM , j 手k 7B ,若是 a'=a，=SM,且 a； = LG 9 j w k w i ；（1）當a>P>y>0時，是不是存在納什均衡？請證明。（2）當a>y>>0時，是不是存在納什均衡？請證明。證明：該博弈的支付矩陣如表10-6和10-7所示。表10-6 G汽車廠生產(chǎn)SX型汽車一一C汽乍廠SMLGF汽車廠SMLGa出出BA"表10-7 G汽車廠生產(chǎn)LG型的汽車C汽乍廠SMLGF汽車廠SM6,6,aLG0,。,四（1）該

16、博弈存在納什均衡。第一考慮三家選擇的行動相同，那么任一個廠家都將取得 數(shù)量為y的利潤。因為a>A>y,因此任何廠商只要選擇和其他兩個工廠生產(chǎn)不同型號的產(chǎn) 品，就能夠夠取得更高的利潤，因此三家工廠生產(chǎn)相同的產(chǎn)品不是納什均衡。若是三個工廠生產(chǎn)不同的產(chǎn)品，比如說（”,a，ag） = （SWLG5W）,因為a>尸 >人 因此C廠已經(jīng)取得了 它可能取得的最高利潤，因此它可不能背叛：給定其他廠商的選擇，F(xiàn)廠生產(chǎn)LG型號的汽 車只能取得數(shù)量為尸的利潤，高于它生產(chǎn)SM型號的汽車取得的數(shù)量為y的利潤，因此F廠 也可不能背叛：給定其他廠商的選擇，G廠在生產(chǎn)兩種型號的汽車之間是沒有不同的，因

17、為 不管那種情形下，他都只能取得數(shù)量為夕的利潤，因此G廠一樣可不能背叛。綜上可知（"©'a）VSM.LGSW）是一個納什均衡。類似的分析說明，只要三個工廠 生產(chǎn)不同的產(chǎn)品，確實是納什均衡。（2）只要三個工廠生產(chǎn)的汽車型號不完全相同，如此的結果確實是納什均衡。分析類 似于第（1）問。9 .考慮以下策略型博弈（表10-8）：表10-8博弈的支付矩陣一LMRAU1,-2-2,10,0-2,11,-20,0D0,0o,o1,1請問，該博弈里有幾個均衡？什么緣故?答：（1）該博弈的純策略均衡為3 R）。（2）下面分析混合策略均衡。設參與人A別離選擇策略U、M和。的概率為伍,生

18、,烏： 設參與人B別離選擇策略L、"和R的概率為下而分三種情形討論:達到混合均衡時，若是參與人A別離選擇策略U、M和。的概率都嚴格大于零，那 么他選擇策略U、M和。的期望收益就要相等，即：-2%=-21+%=%從而解得q=%=-%,矛盾，因此對參與人B而言，不存在使得小,外，隊同時大于 零的混合均衡；對參與人A也有類似的結論成立。盡管如此，以上的分析并非能說明不存在混合均衡。因為達到均衡時，有可能存在參 與人選擇某一行動的概率為零的可能。對A而言，在U、M、。三個行動當選擇某一行動 的概率等于零的情形共有三種可能。對B也是一樣，如此均衡時共有九種可能的情形，下面 別離討論：a. A選

19、擇行動0的概率為零，B選擇行動R的概率為零，即生=%=0,從而取得如表 10-9所示的支付矩陣：表10-9博弈的支付矩陣BLAU1,-2-2,1M-2,11,-2達到均衡時，A選擇”和U應當取得相同的期望支付，即d-2G=-2+5，整理取得 %=%:又因為% =0,因此從而解得.=0,5 ；同理可得P = = 0.5。因此q =05,% =05,% =0和叢=0.5也=0.5e=0確實是一個混合均衡.b.A選擇行動。的概率為零，B選擇行動M的概率為零，采納類似于的做法可知, 在這種情形下，不存在混合均衡。c. A選擇行動。的概率為零，B選擇行動L的概率為零，采納類似于的做法可知, 在這種情形下

20、，不存在混合均衡,B選擇行動R的概率為零,采納類似于的做法可知，d. A選擇行動M的概率為零, 在這種情形下，不存在混合均衡。采納類似于的做法可知,e. A選擇行動M的概率為零，B選擇行動M的概率為零, 在這種情形下，不存在混合均衡，f. A選擇行動M的概率為零，B選擇行動L的概率為零，采納類似于的做法可知, 在這種情形下，不存在混合均衡。g.A選擇行動U的概率為零，B選擇行動R的概率為零，采納類似于的做法可知, 在這種情形下，不存在混合均衡。h. A選擇行動U的概率為零，B選擇行動M的概率為零，采納類似于的做法可知, 在這種情形下，不存在混合均衡。i. A選擇行動U的概率為零，B選擇行動L的

21、概率為零，采納類似于的做法可知, 在這種情形下，不存在混合均衡。綜合上述分析可知，唯一的混合均衡確實是：cr4= 0.5.0.5.0, q =05050。均衡時，若是A選擇某兩個行動的概率都等于零，即A只能選擇一個行動，這就要求 在B的行動中，至少有一對行動能夠給自己帶來相同的支付，可是由支付矩陣可知，這一條 件并非知足，如此均衡時，B也只能選擇一個行動，這就退化成了純策略均衡。因此A選擇 某兩個行動的概率都等于零的混合均衡是不存在的：同理B選擇某兩個行動的概率都等于零 的混合均衡也是不存在的。綜合上述分析可知，該博弈只有唯一的混和均衡，即：% =05% =05% =。和 =05 =0.5,0

22、 =010-考慮如表10-10和10-11所示的策略型博弈表10-10參與人3選擇A時的支付矩陣2LR1U0,0,10- 5, -5,0D-5, -5,01/，-5表10-11參與人3選擇B時的支付矩陣2LR1U-2, -2,0-5, -5,0D-5, -5,0-1 > - 1,5每一格左側的數(shù)字是游戲者1的得益，中間的數(shù)字為游戲者2的得益，右邊的數(shù)字為游戲者3的得益°游戲者3的策略是選A矩陣或選B矩陣。（1）上述博弈中有幾個純策略納什均衡？什么緣故？（2）若是三個游戲者中能夠有兩個人結盟一起對付另一個人，會顯現(xiàn)什么結果？解：（1）上述博弈中有兩個純策略納什均衡。它們別離為（U

23、, L，A）和（。，R， 8）。對任意的參與人，給定其他兩個參與者的行動，他的占優(yōu)行動用下劃線表示出來，由 此能夠取得這兩個純策略納什均衡。（2）假設三人中有兩人結盟，那么不外乎下面三種情形：參與人1和2結盟，支付矩陣如表10-12所示，該博弈的均衡是（OR, B ）0表10-12參與人1和2結盟后博弈的支付矩陣參與人3AB結盟方UL0,10-4,0UR-10,0-10,0DL-10,0-10,0DR2,-5-2,5參與人1和3結盟，支付矩陣如表10-13所示，該博弈的均衡是（, L ）和（08 ,表10-13參與人1和3結盟后博弈的支付矩陣參與人2LR結盟方UA10,0-5,-5DA-5-4

24、,1UB-2,-2-5, - 5DB-5,-54,-1參與人2和3結盟，支付矩陣如表10T4所示，該博弈的均衡是（LA , U）和（股， D ）.表10-14參與人2和3結盟后博弈的支付矩陣參與人1UD結盟方140,10-5,-5R4-5,-51,-4LB-2. -2-5 9 -5RB-5, 5假設參與人1和2結盟，博弈的結果只能是（。，R, B）。由于結果（U, L, A） 對應的支付對每一個人而言都優(yōu)于（O, R, 8）對應的支付，因此不結盟至少能夠使每 一個人的境況和參與人1，2結盟時一樣好，因此不結盟相對參與人1和2而言反而更優(yōu)。假設參與人1和3結盟，博弈的結果完全同不結盟。假設參與人

25、2和3結盟，博弈的結果完全同不結盟。綜合上述分析可知，在那個博弈中，任何兩方都可不能有結盟的動機。11 .在表10T5所示的策略型博弈里，什么是占優(yōu)解？什么是純策略納什（Nash）均 衡解？表10-15博弈的支付矩陣'游戲32LMR游戲有1/2,01.14,2M3,41,22,3D1,30,2解：（1）那個博弈沒有占優(yōu)均衡。理由如下：在那個問題中，關于游戲者1而言，7占 優(yōu)于。，因此能夠將。排除掉。現(xiàn)在博弈的支付矩陣如表10-16所示。當游戲者1的可選 策略只有r和M時，對游戲者2而言，R占優(yōu)于因此能夠把“排除掉，現(xiàn)在博弈的支 付矩陣如表10-17所示。至此，用剔除法尋覓占優(yōu)均衡的方式

26、無法繼續(xù)進行，因此那個博弈 沒有占優(yōu)均衡。表10-16排除掉。以后的支付矩陣游戲擰2LMR游戲者】T2,01 J4,2M3,41,22,3表10-17排除掉M以后的支付矩陣游戲者2LR游戲者1T2,04,2M3,42,3（2）純策略納什均衡為（"，L）, （T，R）.由表10T7可知，當游戲者2選擇L時, 游戲者1的最優(yōu)策略為M,當游戲者2選擇R時，游戲者1的最優(yōu)策略是7。一樣，當游 戲者1選擇T時，游戲者2的最優(yōu)策略是R,當游戲者1選擇M時，游戲者2的最優(yōu)策略 為L。因此，純策略納什均衡為（M, L）, （7, R）,現(xiàn)在游戲者取得的支付為（3, 4）, （4, 2）。12 .判定

27、對錯，并簡要說明理由。（1）占優(yōu)均衡必然是納什均衡。（2）在囚徒窘境中，若是每一個囚犯都相信另一個囚犯會抵賴，那么兩個人都會抵賴。3. ） 一個將軍有兩個純策略，要么把所有的軍隊從陸地運輸，要么把所有的軍隊從海 洋上運輸。那么把1/4的軍隊從陸地運輸，把其余3/4的軍隊從海洋運輸組成一個混合策 略。答：（1）正確。理由如下：若是在博弈中，每一個參與人都有自己的占優(yōu)策略，這就意 味著對任何一個參與人而言，不管其他參與人的策略如何，該參與人的占優(yōu)策略對他而言都 是最優(yōu)的，專門地，當其他的參與人也選擇自己的占優(yōu)策略時，該參與人的占優(yōu)策略對他仍 是最優(yōu)的，依照納什均衡的概念，可知占優(yōu)均衡必然是納什均衡

28、。（2）錯誤。理由如下：在囚徒窘境中，若是每一個囚犯都相信另一個囚犯會抵賴，那 么對每一個囚犯而言，坦白將是他的最優(yōu)選擇。若是兩個囚犯都如此考慮，那么均衡的結果 確實是兩個人都坦白。（3）錯誤。因為混合策略是在純策略集合上確信的一個概率散布，而在此題中，將軍 分割軍隊的決定事實上是擴大了純策略的集合，即將軍的決定仍然是一個純策略,13. 一個小鎮(zhèn)中，有N個人，每人有100元錢，若是每人都向一個集資箱中捐一筆錢 （能夠為零）而共搜集到£元，那么從一個基金中拿出相同數(shù)量的錢放入集資箱，最后當 集資被分派時，每人取得2F/N元，求解這一博弈的均衡。解:假設參與人i的捐錢為的,他的收益為力,又記尸=尸-尸,那么給定尸一=廣，參與人i的收益為：盧+廣）_/=k+2_廣n I n ） N專門地,才是F'的線性函數(shù)，因此:（1）當N>2時，-1<0»因此參與人i的最優(yōu)選擇是尸=0。N（2）當N = 2時，三-1 = 0,因此不管參與人的捐錢數(shù)量為多少，都可不能阻礙他的 N收益，從而尸e（O.+oc）。（3）當N = 1時，-1X）,這時參與人的捐錢數(shù)量會趨向于正無窮，即尸一+8。 N由于所有行動者的行為