平面向量數(shù)量積運算專題

1、平面向量數(shù)量積運算題型一 平面向量數(shù)量積的基本運算例1 （1）（2014 天津）已知菱形 ABCD勺邊長為2, /BAD= 120° ,點E, F分別在邊BC DC 上，BC= 3BE DC=入DF若AEAF= 1,貝U入的值為.（2）已知圓O的半徑為1,PA P時該圓的兩條切線，A, B為切點，那么鬲PB的最小值為（）A. 4+小B. 3+/C.-4+22D.-3+22變式訓練1 （2015 湖北）已知向量OAlaB, | OA = 3,則OA-Ob=.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例 2 （1）（2015 重慶）若非零向量a, b 滿足 |a|=232|b|,且（ab），（

2、3 a + 2b）,則 a 與 b的夾角為（）D.兀兀（2）若平面向量a與平面向量b的夾角等于 彳，|a| =2, | b| =3,則2a b與a+2b的夾角的余弦值等于（）B.變式訓練2 (2014 課標全國I )已知 A, B, C為圓O上的三點，若 Xb= 2( Ab+A(c ,則 ABfAC勺夾角為.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3 (1)已知平面向量 a和b, |a| =1, |b|=2,且a與b的夾角為120° ,則|2a+b|等于()(2)已知直角梯形 ABC用，AD/ BC /AD住90° , AD= 2, BC= 1, P是腰DC上的動點，則| PA+ 3P

3、B|的最小值為 .1變式訓練3 (2015 浙江)已知e1,e2是平面單位向量，且e &=2.若平面向量b滿足b e1=b , e2 = 1,則 | b| =.高考題型精練1.（2015 山東）已知菱形 ABCD的邊長為a, / ABG= 60° ,則BE）- C葬于（）A.13 22ab為平面向x, x>y,y, x>y,2 .（2014 浙江）記 maxx, y =min x, y=設 a,y, x<y,x, x<y,量，則（）| a + b|,|a-b|<min|a| ,|b| a + b|,|a-b|>min|a| ,|b| a +

4、 b|2, |a-b|2<|a|2+|b|2| a + b|2, |a-b|2>|a|2+|b|23 .（2015 湖南）已知點 A, B, C在圓x2 + y2=1上運動，且 ABL BC若點P的坐標為（2,0）則|PvPfe+PC的最大值為（）4 .如圖，在等腰直角 ABO, OA= OB= 1, C為AB上靠近點 A的四等分點，過 C作AB的垂線l, P為垂線上任一點，設 OA a, OB= b, O鼻p,則p-（ba）等于（）A.3C. -2一 一 一 一 一 一 一 一 1 一5 .在平面上，AB，Afe,|OB| =|0B|=1,AP= AB+Ak 若|OP<2,

5、則|Oa的取值范圍是（）C.(15，2D.(6.如圖所示, ABC中，/ACB= 90 且 AG= BO 4,點 M滿足 BM= 3MA 則CA CBB?于(7.（2014 安徽）設a, b為非零向量，|b|=2|a|,兩組向量 X1,X2,X3,X4和y1,5,空,y4均由2個a和2個b排列而成.若X1 y1 + X2 y2+X3 y3+x4 y4所有可能取值中的最小值為4| a|2,則a與b的夾角為（）8.（2014 江蘇）如圖，在平行四邊形ABCDK 已知 AB= 8, AD= 5, CP= 3Ph Af3- BP= 2,則AB-AD勺值是9 .設非零向量a, b的夾角為0,記f（a,

6、b）=acos 0 - bsin 。.若e, e2均為單位向量,且ei e2=¥3,則向量f (ei, e2)與f(e2, ei)的夾角為10 .如圖，在ABC, O為 BC中點，若 AB= 1, AC= 3,AB, AC =60° ,則| OA =11 .已知向量 a=(sin x, 4), b= (cos x, - 1).當 a/b時，求 cos2x sin 2 x 的值;5 一12 .在ABC中，AC= 10,過頂點 C作AB的垂線，垂足為 D, AD= 5,且滿足AD= rDB(1)求 |AB- AC ;(2)存在實數(shù)t>1,使得向量x = AB+ tAC,

7、y=tAB+AC,令k = x y,求k的最小值.平面向量數(shù)量積運算題型一 平面向量數(shù)量積的基本運算例1 (1)(2014 天津)已知菱形 ABCD勺邊長為2, /BAD= 120° ,點E, F分別在邊BC DC上，BC= 3BE, DC=入DF若AE-AF= 1,貝U入的值為.(2)已知圓O的半徑為1,PA P由該圓的兩條切線，A, B為切點，那么PA比的最小值為()A. 4+姆B. 3+#C.-4+22D. 3+25答案(1)2(2)D解析(1)如圖，-_> > >> > -> 1 > -> 1 _> -> 1 -&g

8、t;> 1 >>AE AF= (AB+ Bq(AN D9 = (AB+ BC ( AA DC)=AB- AN 彳 ABDO -BC-AA3人人31 >?yBC DC3人= 2X2Xcos 120。+ -1 X2X2+1X2X2+ jx2X2Xcos 120 ° =- 2+ = + 23 入33人入 33入 3人23，又 AE- Af= 1,入=2.1023人-3 (2)方法一 設|PA = |Pb = x, / APB= e ,則tan£ 11 - tan 2-2-22 x 1從而 cos 9 =- =x2-y.1 + tan 2工PA- PEB=

9、| PA | PB| cos 0x21 x4x2x2+12-3 x2+1+2x2+ 12.2 c、c ,c c=x + 1 H-2+ 1 3 > 2 弋2 3,當且僅當x2+i=y2 即x2=y2i時取等號，故PApb勺最小值為2423.方法二 設/ apb= e , o<e <兀，一 1則 |PA=|PB=rtan 1少一 個 一pa pb= | PAI PBcos e=(一1)2cos 8utan 一 2cos2 2 ”(1202sin y)1 - sin 2-21 2sin 2|.2 9sin 一2令 x = sin t，0<x< 11 2x貝UPApb=

10、2x+ 3>2、/23當且僅當2x = ；,即x=¥時取等號.故PA南勺最小值為2小-3.方法三以O為坐標原點，建立平面直角坐標系xOy,則圓O的方程為x2+y2=1,設 A(xi, yi) , B(xi, yi) , P(xo,0),貝UPA PB= (xi xo, yi)(xi x。，一 yi) = x2 2xix0+x2 y2.由 OALPA? 6A PA= (xi, yi) (xi-xo, yi) =0? xi xixo + yi=0,又 x2 + y2= i,所以 xix° = i.從而 PA PB= x22xix0+x2y2=xi2 + x0(i xi)=

11、 2x2 + x0-3>2 啦3.故PA-PB勺最小值為2啦-3.點評(i)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式： 一是依據(jù)長度和夾角， 二是利用坐標運算，具 體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇 .注意兩向量a, b的數(shù)量積a-b與代數(shù)中a, b的 乘積寫法不同，不應該漏掉其中的“” .(2)向量的數(shù)量積運算需要注意的問題：a-b = 0時得不到a=0或b=0,根據(jù)平面向量數(shù)量n o積的性質有| a| =a，但| a b| w I a| |切.變式訓練1 （2015 湖北）已知向量就危 |a =3,則8v6b=.答案 9解析 因為血屆 所以8V 加=o.所以8V 6b=8v（6%龜=或+8v

12、 ab= o2+o= 32=9.題型二 利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2 （1）（2015 重慶）若非零向量a, b滿足|a| =攣| b| ,且（ab），（3a + 2b）,則a與b 的夾角為（）D.兀7t（2）若平面向量a與平面向量b的夾角等于 可，|a| =2, | b| =3,則2a b與a+2b的夾角 o的余弦值等于（）答案(1)A(2)B22解析 (1)由(ab)，(3 a+2b)得(ab) (3 a+2b) = 0,即 3a a b 2b = 0.又a| =b| ,設a, b> = 0 , o22即 3| a| -1 a| | b| - cos e - 2| b| =0,

13、82 2/222 ；|b| 一r-|13| - cos 6 -2| b| = 0. ooyj2 ,7tcos 0 =.又: 0w 8 0 n， 0 =(2)記向量2a b與a+2b的夾角為 e , 2又(2a b)= 4 X 2 2 + 32 4 X 2 X 3X cos13,3(a+2b) 2= 22+4X 3 2 + 4X 2X 3Xcos g=52,3(2 a - b) ( a+ 2b) = 2a2- 2b2 + 3a b= 818+9= 1,故cos2a- b a+2b |2 a-b| - | a+ 2b|126'r.,， 一、一1即2a b與a + 2b的夾角的余弦值是點評

14、求向量的夾角時要注意：（1）向量的數(shù)量積不滿足結合律， （2）數(shù)量積大于0說明不共 線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于 0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于 0且兩向量 不能共線時兩向量的夾角為鈍角 .1 一 .變式訓練2 （2014 課標全國I ）已知 A, B, C為圓O上的三點，若AO= 2（AB+AC,則A/ 成的夾角為.答案 900解析AO= 2（ AB+AC）,點OABCf邊BC的中點，.BC為直徑，根據(jù)圓白幾何性質得 A的AC勺夾角為90。.題型三 利用數(shù)量積求向量的模例3 （1）已知平面向量a和b, |a| =1, |b|=2,且a與b的夾角為120° ,則|2a+b

15、|等于(2)已知直角梯形 ABCW, AD/ BC / AD090° , AD= 2, BC= 1, P是腰DC上的動點，則| PA+ 3PB|的最小值為 .答案(1)A(2)5解析(1)因為平面向量a和b, | a| = 1, | b| = 2,且a與b的夾角為120° ,所以 |2a+b| =q 2a 2+b2+2x|2 a| x | b|cos 120 °= 22X12+ 22+2X2X 1X2X2 = 2.(2)方法一 以D為原點，分別以DA DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系, 設 DC= a, DP= x. D(0,0) ,A：2,0)

16、,C(0,a),B(1, a) ,R0, x),PA= (2, -x), PB= (1 , a-x),- PAv 3PB= (5,3 a-4x),| PA+ 3PB|2=25+(3a-4x)2>25,.I Ph 3曲的最小值為5.方法二設 Dp= xDCC0< x<1),.PC=(i x)DcPA= DA- DP= DA- xDC-> > >, .、-> 1 >PB= PO CB= (1 x) DO DA(3 4x) DC4x)2 DC= 25+(34x)2DC>25,| 加 3PB| 2= 25-DA+ 2x25x(3-4x) DA- D

17、O (3 .|P甘3色的最小值為5.點評（1）把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，給有關向量賦以具體的坐標求向量的模，如向量a=（x,y）,求向量a的模只需利用公式| a| =dx2+y2即可求解.（2）向量不放在坐標系中研究， 求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數(shù)量積公式，關鍵是會把向量a的模進行如下轉化： ai = ya2.一1 _變式訓練3 （2015 浙江）已知e1,e2是平面單位向重，且e 巳=2.右平面向重 b滿足b - e1 =b , e2 = 1,則 | b| =.答案2731解析 因為| e = |國=1且e1 e2= 2.所以e1與&的夾角為6

18、0° .又因為b e = b &= 1, 所以 b - e1- b - e2= 0,即 b （e1一 e2） = 0,所以 b1（ e e2）.所以 b 與 e1 的夾角為 30° ,所 以 b e1 = | b| I a |cos 30 ° = 1.所以|b|二半3高考題型精練1.（2015 山東）已知菱形 ABCD的邊長為a, / ABC= 60° ,則前y C葬于（）A.13 22aB3a2答案 D解析 如圖所示，由題意，得 BOa, CD= a, Z BCB=120Bt5= Bd+Cl5-2BC- CD- cos 120 ° =

19、 a2+ a2- 2a , ax _5 =3a2,BD=，5a.BD-也=| 函| Cq）cos30= 樨2>< 亭=#x, x>y,y, x>y,2 .（2014 浙江）記 maxx, y =min x, y=設 a, b 為平面向y, x<y,x, x<y,量，則（）| a + b| , | a- b| <min| a| , | b| a + b| , | a- b| >min| a| , | b| 2222I a + b| , |a-b| <| a| +1 b| 2222I a + b| , |a-b| ） > I a| + |

20、 b|答案 D解析 由于|a+b|, | a b|與| a| , |b|的大小關系與夾角大小有關，故A, B錯.當a, b夾999角為銳角時，|a+b|>|ab|,此時，|a+b| >| a| +| b| ；當a, b夾角為鈍角時，|a+b|<|a-b| ,此時，|ab>|a十|b|2；當 a，b 時，| a + b-= | ab| | a| 之+| b| 故選 D.3 .（2015 湖南）已知點A, B, C在圓x? + y2=1上運動，且 ABL BC若點P的坐標為（2,0）,則|昂白亂的的最大值為（）答案 B解析 . A, B, C在圓 x2+y2= 1 

21、7;,且 ABLBC.AC為圓直徑，故 PAvPb= 2PO>(-4,0),設 B(x, y),則 x2+y2= 1 且 xC 1,1 , Pb= (x2, y),，PAPB+PC= (x- 6, y).故| 熱通血=412x+37, . x= 1 時有最大值，49= 7, 故選B.4 .如圖，在等腰直角 ABO, OA= O由1, C為AB上靠近點 A的四等分點，過 C作AB的垂 線l, P為垂線上任一點，設 OA= a, O由b, O恒p,則p(ba)等于()3C. -2答案 A解析 以OA OB所在直線分別作為x軸，y軸,O為坐標原點建立平面直角坐標系，3 1則 A(1,0) ,

22、B(0,1),q4, 4),直線l的方程為y： = x 441即 x-y-2= 0.11設 P(x, x-2),則 p= (x, x萬),而 b a= ( 1,1),一,11所以 p- (b-a) = -x+(x-2)=-2.，一_. .f ff1-f ，.一一5 .在平面上，A B±A B,| O B| =|O B| = 1, A2 A B + A B.若|0冊1則|O A的取值范圍是（）A.（0 ,監(jiān)B.（挈坐C.（U ,2D.模 2答案 D1解析 由題意，知B，艮在以O為圓心的單位圓上，點P在以O為圓心，耳為半徑的圓的內部.又AfeAfe, AP= Afe+Ah,所以點A在以為

23、直徑的圓上，當P與O點重合時，|Oa取得最大值2/2,當p在半彳空為1的圓周上時，| OA取得最小值 平，點M滿足BM= 3MA則CvF &等于（故選D.6 .如圖所示， ABC中，/ACB= 90° 且 AG= BC= 4答案 C解析在 ABC43,因為/ ACB= 90° 且 AC= BC= 4,所以AB= 4/，且B= A= 45° .因為BMk4.23MA 所以 BMh 3BA 所以麗 Cb=(Cb+ BM . Cb=CB+bm/i- Cb=CB+bA- Cb= 16+Jx444X4cos 135 ° = 4.7.(2014 安徽)設 a

24、, b 為非零向量，|b|=2|a|,兩組向量 xb X2, X3, X4和 y1, p, y4均由2個a和2個b排列而成.若xi yi + X2 y2+X3 y3+X4 y4所有可能取值中的最小值為4| a|2,則a與b的夾角為()答案 B解析 設a與b的夾角為0 ,由于Xi, yi(i =1,2,3,4)均由2個a和2個b排列而成，記 SXi yi),則S有以下三種情況:S= 2a2+2b2；S= 4a b；S=|a|2+ 2a b+|b|2. I b| =2| a| ,中 S= 10|a|2,中 S= 81a12cos e ,中 S= 5| a| 2+4| a| 2cos 0.易知最小，

25、即 81a12cos 0 = 4| a|2,cos 0=；,可求 0 =-,故選 B.238 .(2014 江蘇)如圖，在平行四邊形 ABCM,已知 AB= 8, AD= 5, Ca 3而 京。BP 2, 貝U Afe. AD勺值是.答案 22解析 由昆3PD),得荏 1DC= 1AB, AfAd>dfAd> 1AB, BfAfAb=A>Ab-AAd 4444-4 AB因為巾 通 2,所以(AD> 4曲 (Ab- 4麗 =2,即AD 加 AB-磊回 2.又因為AD= 25, 而=64,所以 AB- AD= 22.9 .設非零向量a, b的夾角為8,記f(a, b) =

26、acos 0 - bsin 。.若ei, e2均為單位向量，且ei e2=乎，則向量f(ei, e2)與f(e2, ei)的夾角為.答案解析由 ei e2= 2 ,可得 cosei, e2>ei e2羽|ei| e2 廠2故ei, e2>7t一e261e25兀ei > =兀 一 e2, ei > = 6f (eie2)= eicose2sin ： = ei 1e2,66622'f (e25兀ei) = e2cos -6- ( ei)sin5兀f (ei,e2)- f(e2,e。=(暮2.3 i2 ei - 2e2)ei , e2= 0,所以 f( ei, e2)

27、±f (e2, - ei).兀故向量f(ei, e2)與f(e2, ei)的夾角為 5.10 .如圖，在ABC, O為 BC中點，若 AB= i, AC= 3,的 AC =60° ,則| OA =答案-23,.一一 .rr- f 7f r1371f解析 因為ABA。=60 ,所以 ABAC= | AB - I AC|cos 60 =iX3X 2 = -,又 AO= -(AB+ AC,所以AO=；(Ab+A<c2=4(A + 2Ab- AC>AC),即AO=；(i +3+9)=* 所以 |OA. 211 .已知向量 a= (sin x, 4), b= (cos x, i).(i)當 a/b 時，求 cos2xsin 2 x 的值；(2)設函數(shù)f(x) = 2(a+b) b,已知在 ABO,內角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,若a的取值范圍.弧 b=2, sin B=坐，求 f (x) + 4cos(2 A+。)( x C 0 , -y)“ 一，3解 (i)