(完整版)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)大全、經(jīng)典高考題帶解析、練習(xí)題帶答案

1、空間向量在立體師審MMfi產(chǎn) + 5+ （石一 -1）2【考綱說明】1 .能夠利用共線向量、共面向量、空間向量基本定理證明共線、共面、平行及垂直問題；2 .會(huì)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩點(diǎn)間的距離公式、夾角公式等解決平行、垂直、長(zhǎng)度、角、距離等問題;3培養(yǎng)用向量的相關(guān)知識(shí)思考問題和解決問題的能力；【知識(shí)梳理】一、空間向量的運(yùn)算1、向量的幾何運(yùn)算(1)向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： ；.r r人rr(2)向量共線定理：向量a a0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.2、向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若，則.一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的

2、終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。若，則，(3)夾角公式：(4)兩點(diǎn)間的距離公式：若，則二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2 .利用空間向量證明平行問題對(duì)于平行問題，一般淮,用共線向量和羋叫向量定理進(jìn)行證明十二產(chǎn)3 .利用空間向量證明垂直W題二一：- 7； 十說席忑西對(duì)于垂直問題，一般是利用進(jìn)行證明；4.利用空間向量求角度(1)線線角的求法：設(shè)直線AB、CD對(duì)應(yīng)的方向向量分別為 a、b,則直線AB與CD所成的角為(2)線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為(線線角白范圍。0,900)(3)二面角的求法：設(shè)m, n2分別是二面角 其補(bǔ)角的大小(如圖)的兩個(gè)面，的法向量，則

3、就是二面角的平面角或5.利用空間向量求距離(1)平面的法向量的求法：設(shè)n=(x,y,z),利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向a, b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一組解，即得到平面的一個(gè)法向量(如圖) 。次方程，聯(lián)立后取其(2)利用法向量求空間距離(a)點(diǎn)A到平面的距離：(b)直線與平面之間的距離：(c)兩平行平面之間的距離：,其中，是平面的法向量。,其中，是平面的法向量。,其中，是平面的法向量?！窘?jīng)典例題】【例1】(2010全國(guó)卷1理)正方體ABCD-ABiCiDi中，BBi與平面ACDi所成角的余弦值為()：2326(A)(B) +(C) (D)=3 333【解析】D【例2】(20i0全國(guó)卷

4、2文)已知三棱錐S ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面 ABC ,SA=3,那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為()(A)乎 (B)李 (C),(D) 34 444【解析】D【例3】(20i2全國(guó)卷)三棱柱ABC AiBiCi中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，ABAAiCAAi 60°,則異面直線 ABi與BCi所成角的余弦值為 【例4】(20i2重慶)如圖，在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，AB=4 , AC=BC=3 , D為AB的中點(diǎn)。(I )求異面直線 CO和AB的距離；(II)若ABiXAiC,求二面角 AiCDBi的平面角的余弦值。D不同【例5】

5、(20i2江蘇)如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，AR ACi , D , E分別是棱BC , CCi上的點(diǎn)(點(diǎn)于點(diǎn)C),且AD DE , F為BiCi的中點(diǎn).求證：(1)平面ADE 平面BCCiBi;(2)直線A1F 平面ADE.【例6】(2012山東)在如圖所示的幾何體中, AE± BD, CB=CD=CF.(I )求證：BDL平面AED;(II)求二面角 F-BD-C的余弦值.1一 一5【解析】二面角 F-BD-C的余弦值為.5【例7】(2012江西)在三棱柱 ABC A1B1C1中，已知AB AC AAV5, BC4 ,點(diǎn)Ai在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O。(1

6、)證明在側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)E ,使彳導(dǎo)OE 平面BB1C1C ,并求出(2)求平面 ABC與平面BB1C1C夾角的余弦值。5.30【解析】 ,510【例 8】(2012 湖南)四棱錐 P-ABCD 中，PAL平面 ABCD, AB=4 , BC=3 , AD=5 , / DAB= / ABC=90 ° ,E是 CD 的中點(diǎn).(I )證明：CD,平面PAE;(n)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐 P-ABCD的體積.1 C 1 . 8 .5S PA 16 128.51533【例9】(2012廣東)如圖所示，在四棱錐 P ABCD中，AB 0平面

7、PAD, AB/CD,PD AD, E是PB中-1一點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)，且DF -AB , PH為PAD中AD邊上的高。2(1)證明：PH 平面ABCD；若PH 1,AD 2,FC 1,求三棱錐E BCF的體積；(3)證明：EF 平面PAB .，1八11-【解析】三棱錐E BCF的體積V S bcf h FC AD33 2_ .1【例10】(2012新課標(biāo))如圖，直二棱枉 ABCAB。中，AC=BC=-2(1)證明：DCBC;(2)求一面角 A1-BD-。的大小.【解析】二面角A1 BD C1的大小為30【例11 如圖所不，在四棱錐 p abcd中，底面ABCD為矩形，P平面BDE (1)證明

8、：BD 平面PAC ;若PA 1, AD 2,求一面角B PC A的正切值.【解析】二面角B PC A的平面角的正切值為 3AB圖5h工1 聲 6212-AA1, D 是棱 AA1 的中點(diǎn)，DCiXBD.C1_ 仆力丁/:、11DgBAA 平面ABCD點(diǎn)E在線段PC上，PCBC【例12】(2012天津)如圖，在四B P ABCD中，PAL平面ABCD,AC ± AD , AB ± BC ,ABC =450,PA=AD=2 , AC=1.(I )證明 PC ± AD ；(n)求二面角 A PC D的正弦值;(出)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線 BE與CD所成的角為

9、300,【解析】3【課堂練習(xí)】10101、(2012上海)若n ( 2,1)是直線i的一個(gè)法向量，則i的傾斜角的大小為(用反三角函數(shù)值表示)2、(2012四川)如圖，在正方體ABCD ABiCiDi中，M、N分別是CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線 AM與DN所成角的大小是A1A3、(2012全國(guó)卷)如圖，四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為菱形，PA 底面ABCD , AC 2灰,PA 2,E是PC上的一點(diǎn)，PE 2EC。(I)證明：PC 平面BED ;(n)設(shè)二面角 APBC為90°,求PD與平面PBC所成角的大小。4、（2010 遼寧理）已知三棱錐 PABC 中，PAX ABC,

10、 AB± AC, PA=AC= ? AB, N 為 AB 上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S 分別為PB,BC的中點(diǎn).(I )證明：CM ±SN;(n)求SN與平面CMN所成角的大小5、(2010遼寧文)如圖，棱柱 ABC AB1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，BC AB(I)證明：平面 AB1C 平面ABG;(n)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且 A1B 平面B1CD ,求A1D :DC1的值.MCD 平面 BCD, AB 平面 BCD,6、(2010全國(guó)文)如圖，直三棱柱 ABC-AiBiCi中，AC=BC , AA 1=AB , D為BB1的中點(diǎn)，E為ABi上的一點(diǎn),AE=3 EB1

11、(I )證明：DE為異面直線 AB1與CD的公垂線；(II)設(shè)異面直線 ABi與CD的夾角為45°,求二面角 Ai-ACi-Bi的大小7、(20i0江西理)如圖 BCD與4MCD都是邊長(zhǎng)為 2的正三角形，平面AB 2向。(1) 求點(diǎn)A到平面MBC的距離；(2) 求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。8、(20i0重慶文)四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為矩形，PAABCD, PA AB J2,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).(I)證明：AE 平面PBC；底面(n)若AD i,求二面角B EC D的平面角的余弦值.9、(2010浙江文)如圖，在平行四邊形DE翻折成 A'DE,使平

12、面ADE，平面(I )求證：BF/平面ADE;(II)設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線ABCD中，AB=2BC, / ABC=120 ° °E為線段 AB的中點(diǎn)，將 ADE沿直線FM與平面ADE所成角的余弦值。PA 底面 ABCD, PA=AB=疾，點(diǎn)E是棱 PB的中BCD, F為線段AC的中點(diǎn)。10、(2010重慶理)四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為矩形,點(diǎn)°(1)求直線 AD與平面PBC的距離；(2)若AD= J3,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。11、(2010北京理)如圖，正方形ABCD和四邊形 ACEF所在的平面互相垂直， CELAC,EF/

13、AC,AB= J2 , CE=EF=1.(I)求證：AF/平面BDE;(n)求證：CH平面BDE;(出)求二面角 A-BE-D的大小。12、如圖，弧 AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)，平面AEC夕卜一點(diǎn)F滿足FC 平面BED,FB=V5a(1)證明：EB FD(2)求點(diǎn)B到平面FED的距離.13、(2010江蘇卷)如圖，在四棱錐P-ABCD 中，PD，平面 ABCD, PD=DC=BC=1 , AB=2 , AB/DC, /BCD=90°。求證：PCX BC;(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離。14、(2012上海)如圖，在四棱錐AD

14、=2亞'，PA=2.求：(1)三角形P-ABCD中，底面 ABCD是矩形,PCD的面積;(2)異面直線BC與AE所成的角的大小15、（2012 四川）如圖，在三麴t P ABC 中， APB 90°, PAB 6（°, AB BC CA,平面 PAB 平面 ABC。(I)求直線PC與平面ABC所成角的大小;(n)求二面角B AP C的大小。16、(2012安徽)長(zhǎng)方體ABCD ABGD中，底面ABGD是正方形，。是BD的中點(diǎn)，E是棱AA1上任意一點(diǎn)。(I)證明：BD ECi ;(n )如果 AB =2 , AE = J2, OE ECi,求 AA 的長(zhǎng)。17、(20

15、12北京文)如圖1,在Rt ABC中， C 90°, D,E分別為AC, AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將 ADE沿DE折起到 ADE的位置，使 AF CD ,如圖2。(I)求證： DE平面 AiCB ； (n)求證： AF BE；(出)線段AB上是否存在點(diǎn)Q ,使AC 平面DEQ ?說明理由。18、(2012湖南)如圖 6,在四棱錐 P-ABCD中，PAL平面ABCD,底面 ABCD是等腰梯形，AD/ BC, ACXBD.(I )證明：BDXPC;(II)若AD=4 , BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30° ,求四棱錐P-ABCD的體積.19、如圖，在三麴

16、t P ABC中，PA，底面ABC, D是PC的中點(diǎn)，已知/ BAC = , AB 2, AC 2 J3 ,2PA 2 ,求：(1)三棱錐P ABC的體積(2)異面直線BC與AD所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)20、(2008安徽文)如圖，在四棱錐O ABCDK底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形， ABC , OA 底面ABCD, 4OA 2,M為OA的中點(diǎn)。(I )求異面直線 AB與MD所成角的大小;(II)求點(diǎn)B到平面OCD的距離。【課后作業(yè)】1. (2008全國(guó)n)如圖，正四棱柱 ABCD AB1clD1中,(I)證明：AC平面BED ;(n)求二面角A DE B的大小.2、(2008

17、湖南)四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，/ BCD= 60° ,E是CD的中點(diǎn)，PA，底面ABCD, PA= 2.(I )證明：平面 PBE1平面PAB;(n)求平面 PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小 .3、(2008福建)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，則面PAD，底面 ABCD,側(cè)棱PA=PD=J2,底面ABCD為直角梯 形，其中 BC/ AD,AB± AD,AD=2AB=2 BC=2,O 為 AD 中點(diǎn).(I)求證：POL平面ABCD; (n)求異面直線 PD與CD所成角的大小;(ID)線段AD上是否存在點(diǎn) Q,使得它到平面 PCD的距離為

18、g?2若存在，求出AQ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由QD4、(2008海南、寧夏理)如圖，已知點(diǎn) P在正方體 ABCDAiBiCiDi的對(duì)角線 BDi上，/ PDA=60(1)求DP與CCi所成角的大小;(2)求DP與平面AAiDiD所成角的大小。5、(2005湖南文、理)如圖 1,已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為 2和6,高為J3的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OOi折成直二面角，如圖 2。(I)證明：ACXBOi;(n)求二面角O-AC-Oi的大小。6、(2007安徽文、理)如圖，在六面體ABCD ABiCQi中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形ABigDi是 邊長(zhǎng)為i的正方形，DD1 平面A

19、iBiCiDi ,DDi 平面ABCD, DDi=2。(I )求證：A1cl與AC共面，BD與BD共面.(n )求證:平面AiACCi 平面BiBDDi；(出)求二面角A BBi C的大小.7、(2007海南)如圖，在三棱錐S ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形， BAC 90°, O為BC中點(diǎn).(I)證明：SO 平面ABC;(n)求二面角 A SC B的余弦值.8、(2007 四川理)如圖，PCBM 是直角梯形，/PCB = 90 ,PM / BC, PM = 1, BC = 2,又 AC = 1, / ACB = 120° , AB，PC,直線AM與直線PC

20、所成的角為60°.(i)求證：平面 PAC，平面ABC；(n)求二面角 M AC B的大??；(m)求三棱錐P MAC的體積.9、(2006全國(guó)I卷)如圖，li、I2是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點(diǎn)A、B在li上，C在I2上,AM MB MN o (I)證明 ACXNB；1211CNB(n )若 ACB 60O ,求NB與平面ABC所成角的余弦值。10、(2006福建文、理)如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA CB CD BD 2,AB AD J2.(I)求證：AO 平面BCD;(II)求異面直線 AB與CD所成角的大小;(III)求點(diǎn)E到平面AC

21、D的距離。11、(2010福建文)如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD -A舊1C1D1中，E, H分別是棱 AiBi,DiCi上的點(diǎn)(點(diǎn) E與Bi不重合)， 且EH/A1D1。過EH的平面與棱 BBi,CCi相交，交點(diǎn)分別為 F, G。(I)證明：AD平面EFGH;(II)設(shè)AB=2AAi=2a。在長(zhǎng)方體 ABCD-A舊。口1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)， 記該點(diǎn)取自于幾何體 AiABFE - DiDCGH內(nèi)的概 率為p。當(dāng)點(diǎn)E, F分別在棱AiBi, BiB上運(yùn)動(dòng)且滿足 EF=a時(shí)，求p的最小值。12、如圖，四棱錐 P ABCD的底面是正方形，PD 底面ABCD，點(diǎn)E在PB上.(I )求證：平面 AEC 平面PDB

22、 ;(n)當(dāng)PD 72AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求 AE與平面PDB所成的角的大小.4, AB 2.以AC的中點(diǎn)O13、在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD , PA AD為球心、AC為直徑的球面交 PD于點(diǎn)M ,交PC于點(diǎn)N .(1)求證：平面ABM，平面PCD ；(2)求直線CD與平面ACM所成的角的大?。?3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離.14、如圖4,在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB J2AA。D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AG上，且DE AE。(1)證明平面 ADE 平面ACC1A18(2)求直線AD和平面ABC所成角的正弦值。【課堂練習(xí)】1、arctan22、 90°3、 30°4、SN與面CMN所成角為 45° 5、A1D