空間向量知識點歸納總結

1、空間向量知識點歸納總結知識要點。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示 +同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）oB加法結合律：（a b） c(b c)數(shù)乘分配律：（a b）3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線 向量或平行向量，a平行于b，記作a / b。當我們說向量a、b共線（或a b a b a b b 0 a b a b共面向量說

2、明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量b不共線,與向量共面的條件是存在實數(shù)x, y使xa yb。5.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量，存在一個（1）定義:一般地，能平移到冋一平面內的向量叫做共面向量。唯一的有序實數(shù)組 x, y, z，使若三向量a,b,c叫做基向量，空xa yb zC。若三向量a,b,c不共面，我們把a,b,C叫做空間的一個基底, 間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。P，都存在唯一的三個有序實數(shù)推論：設0,代B,C是不共面的四點，則對空間任一點x, y, z，使 oP xoA yoB zoC6.空間向量的直

3、角坐標系：(1)空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系 0 xyz中，對空間任一點 A，存在唯一的有序實數(shù)組 (x, y,z)，使OA xi yi zk ,有序實數(shù)組(x, y,z)叫作向量A在空間直角坐標系 0 xyz中的坐標， 記作A(x, y, z)，x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為tj,k表示。1,這個基底叫單位正交基底，用(3) 空間向量的直角坐標運算律:若 a (8283)，b (dbb)，2,a4bLlabbJfaJra JFa Jr a3 a b22 aa2以alaa2Z2y1>X1,一個向量在直角坐標系中的坐標等于

4、表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。(4)模長公式：若Jr aJraHu貝b22b32(5)夾角公式:2 22 a3，I a2a2a2b2a3b3b22b32，在空間任取一點o，作b，則 AOB叫做向量a與b的夾角，記作,b ；且規(guī)定0顯然有a,b b, a ；若(2)向量的模：設期則稱a與b互相垂直，記作: ,則有向線段oA的長度叫做向量的長度或模，記作：|3|。(3)向量的數(shù)量積：已知向量a,作a b，即 a b ii ibi cos a,b 。，則 | 才| |b | cos叫做b的數(shù)量積，記(6)兩點間的距離公式：右 A(x1, yi, z-i) , B(x2, y2,z

5、2),、；(X2 為)(y2 yi)(Z2 zi),ABi或 dA,B(X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z， w)27.空間向量的數(shù)量積。(1 )空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量(4) 空間向量數(shù)量積的性質： a e i cos a,e。(5)空間向量數(shù)量積運算律:(b)。 a a (b C) a b a c (分配律)。(a) b (a b)a (bb a (交換律)。a bL=(aibi,a2b2,a3 d)；r b=aibia2b2a3b3;(X2Xi,y2yi,Z2Zi).0X1X2yiy2Z1Z20.(6):空間向量的坐標運算:1.向量的直角坐標運算設 a =佝月223),

6、 b = (bibb)則(1)+ b = (ai bi, a2 b2,a3 d)(3)入 a = ( ai,32,83)(入 R)；2.設 A(Xi,yi,Zi), B(X2, y2, Z2),則 aB3、設 a (Xi,%,乙),b (X2,氐戀，則 b(b4.夾角公式設a=佝厶忌),b = (b|,b2,b3)，則 cos a,b2a2af山2b2naD'C'MDCAB向量ACB2Z22 2 yiw例2.對空間任一點 O和不共線的三點 A, B,C，問滿足向量式：oP xOA yOB zOC （其中x y z 1 ）的四點P,A,B,C是否共面點G在線段MN上，且MG 2G

7、N，用基底向量例3.已知空間四邊形 OABC，其對角線OB, AC，M ,N分別是對邊OA,BC的中點,oA,ob,oc 表示/iSx例4.如圖，在空間四邊形 OABC中，OA 8，AB 6，AC 4，BC 5， OAC 45，已知AB為平面的一個法的一條斜線，n為平面 向量，a到平面的距離為：d |AB|?n|【典型例題】OAB 60；，求OA與BC的夾角的余弦值。5 異面直線所成角cos |cos a,blx/? y°2 Z1Z212 y2lai |b| Jxi26.平面外一點p到平面 的距離例1.已知平行六面體 ABCD- A B C D，化簡下列向量表達式,AB BC ； A

8、B AD aAAB AD CC；（AB AD aA）。23標出化簡結杲的向量。A'G說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如135易錯寫成<45 ,切記!例5.長方體ABCD與B1C的交點，又AFA1B1C1D1 中，AB BCBE ,求長方體的高BB14 , E為A1C1與B1D1的交點，F(xiàn)為BC1A.(1,2, 1) B. ( 1,2, 1)C.( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)空間向量與立體幾何練習題一、選擇題1.如圖，棱長為 2的正方體ABCD A1B1C1D1在空間直角坐標 系中，若E,F分別是BC, DD1中點，貝U eF的坐標為（ ）BiEi = DFi= AB

9、，貝U BE 與 DF4所成角的余弦值是（)A 151A.B.1728C.3 D.1723.在四棱錐P2.如圖，ABCABCD是正方體,圖pa a, pBABCD中，底面 ABCD是正方形,C，則 BEE為PD中點，若A.ia2B.1- 2Jra1- 2(T c1- 2圖JJD1 - 2Jra1 - 2Jra1 - 2,則點C的坐標為二、填空題4.若點 A(1,2,3) , B( 3,2,7),且5在正方體 ABCD ABiGDi中，直線AD與平面AiBCi夾角的余弦值為三、解答題1、在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB i與底面 ABCD所成的角為一，4(1)求證BDi面ABiC (2)求二

10、面角Bi AC B的正切值2 在三棱錐 P ABC中, AB AC 3AP 4, PA 面 ABC , BAC 90 , D 是 PA 中點，點 E 在 BC 上,且BE 2CE,(i)求證：AC BD ; (2)求直線DE與PC夾角 的余弦值；(3)求點A到平面BDE的距離d的值3.在四棱錐 PABCD中，底面 ABC是一直角梯形，/ BA=90°, AD/ BC AB=BC=a, At=2a, 且PA!底面ABCD PD與底面成30°角.(i )若AEL PD E為垂足，求證：BEL PD(2)求異面直線 AE與CD所成角的余弦值.4、已知棱長為1的正方體ACi, E、

11、F分別是BCi、C1D的中點.(1)求證：E、F、D、B共面;(2)求點A到平面的BDEF的距離;(3)5、已知正方體 ABCD AiBiCD的棱長為2，點E為棱AB的中點，求：(I) DE與平面BCD所成角的大??；(H)二面角 D- BC C的大小;【模擬試題】(2) aBi(BD21.已知空間四邊形 ABCD，連結AC,BD，設M ,G分別是BC,CD的中點，化簡下列 各表達式，并標出化簡結果向量：(1) AB BC CD ;(3)AG 1(AB AC)。2.已知平行四邊形 ABCD從平面AC外一點0引向量。kQB,oG k0C,OH kODO ( 1)求證：四點E, F,G,H 共面;(

12、2)平面AC /平面EG o3.如圖正方體 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1求BE1與DF1所成角的余弦。D1F1AB ,45)o4.已知空間三點 A (0, 2, 3) , B ( 2, 1 , 6), C(1 , 1 ,為一組鄰邊的平行四邊形的面積求以向量S；若向量a分別與向量垂直，且| a I =3，求向量a的坐標。5.已知平行六面體 ABCD ABC D 中，AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90?, BAA DAA 60：，求 AC 的長。1.解:如圖,2.AB BC CD ACAB (BD BC) AB 1BC 1 bD 。2 2 2 ab bM mG AG ；

13、(3) Ag 1(AB Ac) AG aM MG2(1)(2)解：（1）證明：四邊形 ABCD是平行四邊形，k/ eG oG oE ,k(OC')OA) E,F,G,H 共面；kOaD)(2)解： EF OF oE k(OB oA) k aB，又 eG k aC , EF /AB, EG/AC。所以，平面AC/平面EG 。3.C.解：不妨設正方體棱長為 1,建立空間直角坐標系 O xyz ,31則 B(1,1,0), E"，1) , D(0,0,。),叫1),詛(0, P，df11吋）， be1 idFBE； df1 0 011)15o16cos151617 .1715174.分析：n Ab(1, 3,2), cos BAC12/ BAC= 60°S | AB | AC | sin60 Z),則 a aB7/3設a =( x,a Ac x解得 x= y = z = 1 或